CABRI 3D环境下圆锥曲线的认知过程设计*

◆孙凤丹 吴华

1 Duval几何认知理论与CABRI 3D

Duval几何认知理论 空间关系与演绎推理是几何学习的两个核心主题，而图形的理解是几何学习的关键因素。几何图形可以促进几何问题情境中的直观思维的形成，然而一些学习者在几何学习中往往无法从中获得一些关键性的资讯。法国数学教育学者Raymond Duval为研究此问题，在1995年提出了几何学习中涉及的四种认知理解[1]。

1）知觉性理解（Perceptual Apprehension）：关于图形的外观 感知（形状、大小等），能区分和辨别图形的子图形，但这些子图形未必完全建立在原图形的基础上。

2）序列性理解（Sequential Apprehension）：在构图过程中图形的不同单位组成部分会依序呈现。

3）论述性理解（Discursive Apprehension）：几何概念必须起源于对图形的命名和假设，几何性质的辨认必须建立在论述上。

4）操作性理解（Operative Apprehension）：学生观察图形时，可通过操作图形来得到解题思路。

CABRI 3D软件与动态几何 借助动态几何软件能直观地展现几何图形，促进学习者对空间概念和定理的理解。目前应用较多的动态几何软件是二维的，虽然二维软件也能表现三维空间的一些现象，但并不能完全满足立体几何教学的需要。2004年法国推出的CABRI 3D是世界上第一款针对立体几何教学的软件[2]。利用CABRI 3D，学习者能掌握几何构造，观察和操控各种三维空间图形，也可以创建从简单到复杂的各种动态几何结构，比较适合立体几何的教学。本文基于Duval认知理论，尝试在CABRI 3D平台下做出认知过程设计，以促进学生对几何学习的理解。

2 CABRI 3D环境下的圆锥曲线认知方案设计

《普通高中数学课程标准》指出：引入圆锥曲线时，教师应向学生展示平面截圆锥的过程，使学生加深对圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发挥教育技术的作用，利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线[3]。古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线：用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“当且仅当”与圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。

利用CABRI 3D可直观展示平面截取圆锥体的过程，学生可以亲自动手操作图形，由对图形的知觉性理解经“拖动”达到操作性理解，用数学语言对结论进行描述达到论述性理解。下面分步骤说明在CABRI 3D环境下，Duval四种认知理解达成的过程。

CABRI 3D环境中的知觉性理解 几何学习的过程中，由于几何知识的抽象性，纯文字的描述增加了理解几何概念和命题的难度。几何图形比起语言叙述具有更好的直观性，促进几何理解的生成。在动态几何环境中首先应根据已知的条件构建几何图形，在图形构建过程中学习者关于图形的感知理解加深。这个过程和Duval所提出的知觉性理解是相吻合的。在CABRI 3D环境下，构建圆锥为平面所截得到的圆锥曲线，点M为动点，对点M进行拖动，可导致平面倾斜程度的变化，如图1所示。

图1 平面与圆锥曲线

学习者仅凭头脑中的想象，很难理解平面截圆锥所得图形的形状及其变化情况。利用平面作图也不能展示空间圆锥与平面的关系，借助CABRI 3D立体几何软件进行图形构造，使得展示空间三维图形成为现实。学习者通过对图1进行观察，从直观上更清楚地理解平面截圆锥的情景，有助于学习者知觉性理解的达成。这也是CABRI 3D立体几何环境优于传统教具之所在。

CABRI 3D环境中的序列性理解 传统的几何教学中，由于教具的限制和学习者空间想象能力的缺乏，学习者对空间图形的构成及其各部分之间的关系理解存在困难。在CABRI 3D中，可以对已经构建的立体几何图形进行操作——“拖动”。经“拖动”，学习者可以看到图形的直观的变化，在图形变化的过程中，学习者可从多个角度观察空间立体图形，学习者对图形的构成及各部分的关系达到序列性理解。对点M拖动的过程中，曲线发生变化，图形的构成也随之发生变化，所成图形如图2所示。

序列性理解的达成需要经过“拖动”，但此“拖动”必须是有效的才能达到预期效果。如何达到有效的拖动呢？首先，学习者应在CABRI 3D环境下进行拖动练习。空间立体图形比平面几何图形更加复杂，平面截圆锥时，首先应清楚这个图形中动点是M点，因此需对点M进行拖动，才是有效拖动，才能得出所需图形及结论。其次，掌握拖动的策略。有效的“拖动”是几何图形的具体属性转化为本质属性的关键活动。学习者只有具有较好知识基础和空间能力及熟悉动态几何环境，才能做到有效的拖动，有助于几何问题的解决。对点M进行拖动的过程，学习者可对变化的图形进行观察，通过对点M的拖动达到平面倾斜程度的变化，应注意观察所截得的每个图形。最后，注意学习者的反馈。经拖动，学习者的活动经验是否得到积累，以此去确定此次拖动是否有效，能否促进学习者的序列性理解。

CABRI 3D环境中的操作性理解 对图形进行操作的方式包括分解组合图形、放大缩小图形、平移旋转图形。在传统的几何教学中，很难对几何图形进行动态的操作。动态几何技术的出现使得动态操作几何图形成为现实。动态几何环境下对图形进行的操作是通过“拖动”实现的，而这种“变”是在一定规则下的变，而“变”的目的是为了得出图形的关键特征，动态几何的精髓是在“变”状态下保持几何背景不变，通过规则的“变”揭示“不变”的几何规律，从而认识事物的本质属性[4]。在这个阶段可通过对几何图形进行操作，识别图形的本质属性，达到对图形的操作性理解。

对点M进行拖动的过程中，平面的倾斜程度不断发生变化，但在一定拖动范围内，平面截得圆锥的曲线类型是不变的：平面垂直于母线时，得到的曲线是圆，渐渐倾斜得到椭圆，平行于一条母线时得到抛物线，再继续倾斜得到双曲线。由此，学习者通过关键特征的识别，在“变化”中体验“不变”，达到对图形的操作性理解。

图2 平面截圆锥所得曲线

CABRI 3D环境中的论述性理解 几何教学的目的是培养学习者的思维能力，进行分析性思维活动是培养学习者思维能力必需的阶段。学习者在几何学习过程中经历着“图形语言——自然语言——符号语言”的过渡与转化。学习者经过上述三个过程之后，需要表达出他们在动态几何环境中发现了什么，即对图形的数学特征和“变中不变”特征进行描述，达到Duval四种理解中的论述性理解。而CABRI 3D环境为立体几何的学习提供了良好的平台，在经拖动而不变的“实质属性”产生的活动中，促进着自然语言的产生，有利于学习者符号语言的产生。因此，在CABRI 3D环境中学习者更易达到Duval几何认知理论的论述性理解。

CABRI 3D环境中，学习者在圆锥曲线的学习过程中，开始用自然语言对拖动中产生变化的量和经拖动而发现的不变特征进行表述。通过对CABRI环境中图形的直观观察，学习者较易形成符号语言。所有的数学概念和定理的表述必须经由语言。用数学语言对结论进行描述，有利于几何概念和定理的形成：对点M进行拖动，使得平面和圆锥的母线垂直时，得到的曲线是圆；拖动M使平面倾斜，截得的圆锥曲线是椭圆；继续倾斜，使得平面与圆锥的一条母线平行时，得到的圆锥曲线是抛物线；继续拖动点M，得到双曲线。

3 结束语

Duval对几何学习的理解与动态几何中图形的直观呈现到知识建构的过程是相符的。本文在CABRI 3D环境中，以Duval几何学习的四个理解为理论基础，以圆锥曲线为例，设计了一个认知过程。通过此过程设计，培养学习者动手操作、自主发现、探索验证、语言表述的能力，促进知识的建构。CABRI立体几何软件为教授立体几何提供了平台，在此平台下有助于空间图形的直观展示，有助于学习者知觉性理解的达成。而在此环境下通过对空间立体图形进行操作，通过学习者自主动手操作达到“变中不变”，有助于学习者对空间立体图形的构成部分和各部分关系的理解，达到序列性理解和操作性理解，利用语言对得出的结论进行描述又有利于定理和概念的得出。笔者希望通过此过程设计，能为空间解析几何和空间立体几何的教学提供理论和实践参考。

[1]鲍建生,周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海:上海教育出版社,2009.

[2]徐章韬.基于立体几何智能教育平台的TCK-功用-存在方式及教育意义[J].电化教育研究,2012(12):104-109.

[3]教育部.普通高中数学课程标准（2002版）[S].北京:人民教育出版社,2002.

[4]吴华,周玉霄.变异理论驱动下的动态几何:变中不变[J].数学教育学报,2010(6):26-29.