用好“设元法”巧解三角题

在三角函数中求代数式的值或取值范围，是我们学习的一个重点内容，也是各类考试考查的重要知识点.对于三角函数中大多数求值题而言，一般是本着化异名函数为同名函数，化异角为同角，通过已知条件，利用同角三角函数的诱导公式或两角和与差的三角函数公式求出.但有时将所求的代数式设元为t，然后结合已知条件灵活运用所设式，从而求出t的值或范围.这种设元法往往能起到明晰思路，简化运算，出奇制胜的效果.

一、“设元”后利用倍角公式

例1已知cosxsiny=14，求sinxcosy的取值范围.

分析：观察到所求的代数式与已知条件中代数式的关系：其乘积恰好构成倍角公式，故通过设元后可以利用倍角公式来处理.

解析：设sinxcosy=t，则（sinxcosy）·（cosxsiny）=14t，由倍角公式得：sin2xsin2y=t，

由于|sin2xsin2y|≤1，故|t|≤1，得-1≤t≤1，故sinxcosy的取值范围为[-1，1].

点评：本题设元后可以通过将已知式和所求式相乘，充分利用倍角公式，借助正弦函数的有界性.

例2求sin10°·sin50°·sin70°的值.

分析：设所求式为“t”，根据条件的对称性，假设相应角的余弦值的乘积为s，利用两式的乘积进行求值.

解析：设t=sin10°·sin50°·sin70°，对称地设s=cos10°·cos50°·cos70°

则ts=（sin10°·sin50°·sin70°）（cos10°·cos50°·cos70°）=18sin20°sin100°sin140°=18cos10°·cos50°·cos70°=18s，故t=18，即sin10°·sin50°·sin70°=18.

点评：这种对称的设法的根源在于所求的代数式中隐含着倍角的关系，因为原式可等价转化为cos20°·cos40°·cos80°，因此利用倍角公式可解决问题.

二、“设元”后构造方程组

例3已知sinx+2cosy=2，求cosx+2siny的取值范围.

分析：将所求代数式设元为“t”，再反过来将代数式与条件中的式子联系起来，利用同角三角函数关系，即可得t关于某个角的三角函数，从而利用三角函数的性质求出其范围.

解析：设cosx+2siny=t，则将所求式与已知式平方相加得：

（sinx+2cosy）2+（cosx+2siny）2=4+t2，展开得：5+4sin（x+y）=t2+4，

即t2=1+4sin（x+y）≤5，∴t∈[-5，5]，故cosx+2siny的取值范围为[-5，5].

点评：此题若直接从已知条件出发，根据函数名与角度的差异，将已知条件化为未知式后再寻求范围，则难度是相当大的.

三、“设元”后利用同角三角函数关系构造方程

例4已知sinα+3cosα=2，求sinα-cosαsinα+cosα的值.

分析：设所求式为“t”，根据条件即可得到关于sinα，cosα的方程，解之后代入同角三角函数中的平方关系，即可得到一个关于“t”的方程.

解析：设sinα-cosαsinα+cosα=t，则sinα-cosα=tsinα+tcosα，即（1-t）sinα=（1+t）cosα，又因为sinα+3cosα=2，解出关于sinα，cosα的方程组，得sinα=1+t2-t，cosα=1-t2-t（t≠2），代入sin2α+cos2α=1中，得：（1+t2-t）2+（1-t2-t）2=1，整理得t2+4t-2=0，解得：t=-2±6，故sinα-cosαsinα+cosα=-2±6.

点评：本例的常见解法是将条件中的sinα代入到代数式中，得到一个关于cosα的新的代数式，然后再将条件与sin2α+cos2α=1联立起来解出cosα的值，思路虽然自然易想，但计算繁琐，运算量大.

四、“设元”后利用代数式的几何意义

例5求cos80°-cos20°sin80°+sin20°的值.

分析：根据所求式的结构特征，设元后利用几何意义，结合几何图形求解代数式的值，会使解法更具鲜明特点.

解析：设cos80°-cos20°sin80°+sin20°=t，则sin80°-sin（-20°）cos80°-cos（-20°）=1t，而“1t”所表示的几何意义是经过A（cos80°，sin80°，B（cos（-20°），sin（-20°））两点的直线的斜率.由于A，B两点都在单位圆上，且∠AOB=100°（其中O为坐标原点），∠OAB=40°，故直线AB的倾斜角α=80°+40°=120°，故1t=tan120°=-3，得t=-33，即cos80°-cos20°sin80°+sin20°的值为-33.

点评：三角函数求值中放弃了利用和差化积与积化和差求值的特定技巧，而根据几何意义利用设元法求值，更突出地考查了我们处理多个知识点综合的能力.

五、“设元”后整体配对

例6求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值.

分析：观察题设结构特征，联想对称式的结构，寻求整体配对.配对的目的在于能够使用三角公式化简运算.

解析：设x=sin220°+cos250°+sin20°·cos50°，y=cos220°+sin250°+cos20°·sin50°，则x+y=2+sin70°，x-y=-12-sin70°，两式相加得：x=34，故原式=34.

点评：根据题设结构，整体配对，灵活运用三角函数公式，使问题迎刃而解.

（作者：丁称兴，江苏省溧水高级中学）

在三角函数中求代数式的值或取值范围，是我们学习的一个重点内容，也是各类考试考查的重要知识点.对于三角函数中大多数求值题而言，一般是本着化异名函数为同名函数，化异角为同角，通过已知条件，利用同角三角函数的诱导公式或两角和与差的三角函数公式求出.但有时将所求的代数式设元为t，然后结合已知条件灵活运用所设式，从而求出t的值或范围.这种设元法往往能起到明晰思路，简化运算，出奇制胜的效果.

一、“设元”后利用倍角公式

例1已知cosxsiny=14，求sinxcosy的取值范围.

分析：观察到所求的代数式与已知条件中代数式的关系：其乘积恰好构成倍角公式，故通过设元后可以利用倍角公式来处理.

解析：设sinxcosy=t，则（sinxcosy）·（cosxsiny）=14t，由倍角公式得：sin2xsin2y=t，

由于|sin2xsin2y|≤1，故|t|≤1，得-1≤t≤1，故sinxcosy的取值范围为[-1，1].

点评：本题设元后可以通过将已知式和所求式相乘，充分利用倍角公式，借助正弦函数的有界性.

例2求sin10°·sin50°·sin70°的值.

分析：设所求式为“t”，根据条件的对称性，假设相应角的余弦值的乘积为s，利用两式的乘积进行求值.

解析：设t=sin10°·sin50°·sin70°，对称地设s=cos10°·cos50°·cos70°

则ts=（sin10°·sin50°·sin70°）（cos10°·cos50°·cos70°）=18sin20°sin100°sin140°=18cos10°·cos50°·cos70°=18s，故t=18，即sin10°·sin50°·sin70°=18.

点评：这种对称的设法的根源在于所求的代数式中隐含着倍角的关系，因为原式可等价转化为cos20°·cos40°·cos80°，因此利用倍角公式可解决问题.

二、“设元”后构造方程组

例3已知sinx+2cosy=2，求cosx+2siny的取值范围.

分析：将所求代数式设元为“t”，再反过来将代数式与条件中的式子联系起来，利用同角三角函数关系，即可得t关于某个角的三角函数，从而利用三角函数的性质求出其范围.

解析：设cosx+2siny=t，则将所求式与已知式平方相加得：

（sinx+2cosy）2+（cosx+2siny）2=4+t2，展开得：5+4sin（x+y）=t2+4，

即t2=1+4sin（x+y）≤5，∴t∈[-5，5]，故cosx+2siny的取值范围为[-5，5].

点评：此题若直接从已知条件出发，根据函数名与角度的差异，将已知条件化为未知式后再寻求范围，则难度是相当大的.

三、“设元”后利用同角三角函数关系构造方程

例4已知sinα+3cosα=2，求sinα-cosαsinα+cosα的值.

分析：设所求式为“t”，根据条件即可得到关于sinα，cosα的方程，解之后代入同角三角函数中的平方关系，即可得到一个关于“t”的方程.

解析：设sinα-cosαsinα+cosα=t，则sinα-cosα=tsinα+tcosα，即（1-t）sinα=（1+t）cosα，又因为sinα+3cosα=2，解出关于sinα，cosα的方程组，得sinα=1+t2-t，cosα=1-t2-t（t≠2），代入sin2α+cos2α=1中，得：（1+t2-t）2+（1-t2-t）2=1，整理得t2+4t-2=0，解得：t=-2±6，故sinα-cosαsinα+cosα=-2±6.

点评：本例的常见解法是将条件中的sinα代入到代数式中，得到一个关于cosα的新的代数式，然后再将条件与sin2α+cos2α=1联立起来解出cosα的值，思路虽然自然易想，但计算繁琐，运算量大.

四、“设元”后利用代数式的几何意义

例5求cos80°-cos20°sin80°+sin20°的值.

分析：根据所求式的结构特征，设元后利用几何意义，结合几何图形求解代数式的值，会使解法更具鲜明特点.

解析：设cos80°-cos20°sin80°+sin20°=t，则sin80°-sin（-20°）cos80°-cos（-20°）=1t，而“1t”所表示的几何意义是经过A（cos80°，sin80°，B（cos（-20°），sin（-20°））两点的直线的斜率.由于A，B两点都在单位圆上，且∠AOB=100°（其中O为坐标原点），∠OAB=40°，故直线AB的倾斜角α=80°+40°=120°，故1t=tan120°=-3，得t=-33，即cos80°-cos20°sin80°+sin20°的值为-33.

点评：三角函数求值中放弃了利用和差化积与积化和差求值的特定技巧，而根据几何意义利用设元法求值，更突出地考查了我们处理多个知识点综合的能力.

五、“设元”后整体配对

例6求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值.

分析：观察题设结构特征，联想对称式的结构，寻求整体配对.配对的目的在于能够使用三角公式化简运算.

解析：设x=sin220°+cos250°+sin20°·cos50°，y=cos220°+sin250°+cos20°·sin50°，则x+y=2+sin70°，x-y=-12-sin70°，两式相加得：x=34，故原式=34.

点评：根据题设结构，整体配对，灵活运用三角函数公式，使问题迎刃而解.

（作者：丁称兴，江苏省溧水高级中学）

在三角函数中求代数式的值或取值范围，是我们学习的一个重点内容，也是各类考试考查的重要知识点.对于三角函数中大多数求值题而言，一般是本着化异名函数为同名函数，化异角为同角，通过已知条件，利用同角三角函数的诱导公式或两角和与差的三角函数公式求出.但有时将所求的代数式设元为t，然后结合已知条件灵活运用所设式，从而求出t的值或范围.这种设元法往往能起到明晰思路，简化运算，出奇制胜的效果.

一、“设元”后利用倍角公式

例1已知cosxsiny=14，求sinxcosy的取值范围.

分析：观察到所求的代数式与已知条件中代数式的关系：其乘积恰好构成倍角公式，故通过设元后可以利用倍角公式来处理.

解析：设sinxcosy=t，则（sinxcosy）·（cosxsiny）=14t，由倍角公式得：sin2xsin2y=t，

由于|sin2xsin2y|≤1，故|t|≤1，得-1≤t≤1，故sinxcosy的取值范围为[-1，1].

点评：本题设元后可以通过将已知式和所求式相乘，充分利用倍角公式，借助正弦函数的有界性.

例2求sin10°·sin50°·sin70°的值.

分析：设所求式为“t”，根据条件的对称性，假设相应角的余弦值的乘积为s，利用两式的乘积进行求值.

解析：设t=sin10°·sin50°·sin70°，对称地设s=cos10°·cos50°·cos70°

则ts=（sin10°·sin50°·sin70°）（cos10°·cos50°·cos70°）=18sin20°sin100°sin140°=18cos10°·cos50°·cos70°=18s，故t=18，即sin10°·sin50°·sin70°=18.

点评：这种对称的设法的根源在于所求的代数式中隐含着倍角的关系，因为原式可等价转化为cos20°·cos40°·cos80°，因此利用倍角公式可解决问题.

二、“设元”后构造方程组

例3已知sinx+2cosy=2，求cosx+2siny的取值范围.

分析：将所求代数式设元为“t”，再反过来将代数式与条件中的式子联系起来，利用同角三角函数关系，即可得t关于某个角的三角函数，从而利用三角函数的性质求出其范围.

解析：设cosx+2siny=t，则将所求式与已知式平方相加得：

（sinx+2cosy）2+（cosx+2siny）2=4+t2，展开得：5+4sin（x+y）=t2+4，

即t2=1+4sin（x+y）≤5，∴t∈[-5，5]，故cosx+2siny的取值范围为[-5，5].

点评：此题若直接从已知条件出发，根据函数名与角度的差异，将已知条件化为未知式后再寻求范围，则难度是相当大的.

三、“设元”后利用同角三角函数关系构造方程

例4已知sinα+3cosα=2，求sinα-cosαsinα+cosα的值.

分析：设所求式为“t”，根据条件即可得到关于sinα，cosα的方程，解之后代入同角三角函数中的平方关系，即可得到一个关于“t”的方程.

解析：设sinα-cosαsinα+cosα=t，则sinα-cosα=tsinα+tcosα，即（1-t）sinα=（1+t）cosα，又因为sinα+3cosα=2，解出关于sinα，cosα的方程组，得sinα=1+t2-t，cosα=1-t2-t（t≠2），代入sin2α+cos2α=1中，得：（1+t2-t）2+（1-t2-t）2=1，整理得t2+4t-2=0，解得：t=-2±6，故sinα-cosαsinα+cosα=-2±6.

点评：本例的常见解法是将条件中的sinα代入到代数式中，得到一个关于cosα的新的代数式，然后再将条件与sin2α+cos2α=1联立起来解出cosα的值，思路虽然自然易想，但计算繁琐，运算量大.

四、“设元”后利用代数式的几何意义

例5求cos80°-cos20°sin80°+sin20°的值.

分析：根据所求式的结构特征，设元后利用几何意义，结合几何图形求解代数式的值，会使解法更具鲜明特点.

解析：设cos80°-cos20°sin80°+sin20°=t，则sin80°-sin（-20°）cos80°-cos（-20°）=1t，而“1t”所表示的几何意义是经过A（cos80°，sin80°，B（cos（-20°），sin（-20°））两点的直线的斜率.由于A，B两点都在单位圆上，且∠AOB=100°（其中O为坐标原点），∠OAB=40°，故直线AB的倾斜角α=80°+40°=120°，故1t=tan120°=-3，得t=-33，即cos80°-cos20°sin80°+sin20°的值为-33.

点评：三角函数求值中放弃了利用和差化积与积化和差求值的特定技巧，而根据几何意义利用设元法求值，更突出地考查了我们处理多个知识点综合的能力.

五、“设元”后整体配对

例6求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值.

分析：观察题设结构特征，联想对称式的结构，寻求整体配对.配对的目的在于能够使用三角公式化简运算.

解析：设x=sin220°+cos250°+sin20°·cos50°，y=cos220°+sin250°+cos20°·sin50°，则x+y=2+sin70°，x-y=-12-sin70°，两式相加得：x=34，故原式=34.

点评：根据题设结构，整体配对，灵活运用三角函数公式，使问题迎刃而解.

（作者：丁称兴，江苏省溧水高级中学）