二次作业法在解一元二次不等式教学中的应用

2014-11-12 06:01巫春兰
关键词:一元二次方程图像函数

巫春兰

摘 要:二次作业法是一种正在探究和发展中的教学方法,目前可供借鉴的模式、程序和案例还很少,还没有引起教育理论界和中学一线教师广泛的重视。本文以中等职业学校数学教科书第二章《一元二次不等式的解法》为例,探讨如何运用二次作业法进行教学设计,以期为推进二次作业法在数学教学中的应用提供参考性资料。

关键词:“二次作业法”;“二次作业法”的一般程序;解一元二次不等式

中图分类号:G713 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2014)22-030-2

解一元二次不等式是职校学生学习的难点和重点,二次作业法是我校承担的江苏省“十二五”重点规划课题《基于行动导向的“二次作业法”实践研究》在课例研究上的一个实践的结果,即通过优化教学情境、设置重重问题、创新导入方式、激发学生思维、利用类比归纳的方法形成概念,采用合作探究的课堂教学方式,深化了学生对解一元二次不等式的掌握。

一、课例设计分析

“解一元二次不等式”的基本设计思路是:由问题探究所得到的不等式抽象出一元二次不等式的概念,并介绍一元二次不等式的解集的概念。接着利用数形结合,通过观察二次函数的图像,理解二次函数图像与X轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的解,在X轴上方或下方的函数图像所对应的自变量X的取值范围,就是对应一元二次不等式的解集。通过具体例题,帮助学生掌握用图像法解一元二次不等式的方法和步骤。在此基础上,对于a>0时,按Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况,用表格形式列出了一元二次方程的解、二次函数的图像、一元二次不等式的解集。这有助于学生提高对三个“二次”联系性的认识。对于二次项系数为负的一元二次不等式,通过例题介绍了“在不等式两边同时乘以-1,化为二次项系数为正的一元二次不等式求解”的方法,体现了化归的数学思想。会解元一元二次方程、会画二次函数图像是学好本节内容的关键,体现了用函数的观点研究方程和不等式,反过来又将方程和不等式的解与函数研究相联系,有助于提升学生对函数思想的理解。

二、教学设计过程

1.课前准备,初次作业

教师在教学设计阶段对学生的知识水平、理解能力、学习习惯等要有较为全面的了解。预先布置学生复习解一元二次方程和画二次函数的图像的相关知识,并明确本节课的学习任务,让学生在复习旧知的过程中体悟与新知的联系。设计预习作业时,应针对不同层次的学生有一定的梯度,我作了如下的设计:

①一元二次方程、二次函数的一般表达式是什么?②一元二次方程的根由什么决定的?怎么决定的?③二次函数的图像是什么?如何作其简图?④求一元二次方程x2-x-2=0,x2-2x+1=0,x2-x+2=0的Δ,并求其根。⑤作函数y=x2-x-2,y=x2-2x+1,y=x2-x+2的图像,图像与X轴的位置由谁决定?⑥当Y=0时,X的值与一元二次方程的解有何关系?⑦图像上位于X轴的上方(或下方)的点的纵坐标有什么特点?⑧当X取什么值时图像在X轴的上方(或下方)?

至此,为得出一元二次不等式的解集做好了层层铺垫。

2.创设情境,明确任务

教师以多媒体课件创设一些生活中具体不等关系的情境引导学生用数学式子表示,得出形如ax2+bx+c>0(≥0或<0或≤0)的不等式叫做一元二次不等式的概念。再提出一元二次不等式的解集的概念,如何求一元二次不等式的解集呢?这就是本节课要达成的目标。教师从真实的生活情境切入,层层设疑,给学生心理造成一种悬而未决又必须解决的求知状态,从而激发起强烈的学习愿望和思维活跃性,由此拉开了本课的序幕。

3.初次探究,发现问题

教师用课件引出三组一元二次不等式:①x2-x-2>0和x2-x-2<0,②x2-2x+1>0和x2-2x+1<0,③x2-x+2>0和x2-x+2<0。让学生比较它们与初次作业中的方程和函数的关系。教师可通过三个问题引导学生思考这三个“二次”间的联系,并给学生一定的时间分组讨论,各组再选派代表阐述讨论结果,最后由老师展示出三个问题的分析过程和结论。

问题1:令Y=0得一元二次方程x2-x-2=0的解在图像哪里?

结论:二次函数图像与X轴交点的横坐标即为方程的解。

问题2:X取何值时,图像在X轴上方?

分析:图像在X轴上方图像上点的纵坐标Y>0

即x2-2x+1>0由图像可知X<-1或X>2

问题3:X取何值时,图像在X轴下方?

分析:图像在X轴下方图像上点的纵坐标Y<0即x2-2x+1<0

由图像可知-1

教师要善于根据学生原有的能力水平和观察到的具体情况处理好“扶”与“放”的关系,充分发挥教师的主导作用,在“无疑”之处设疑,多多鼓励学生,给学生多点时间探索体悟,让学生体验到成功的喜悦,消除他们害怕失败的心理障碍,为二次作业的开展做好铺垫。

4.探究成因,得出解法与步骤

教师对学生探究过程的控制与指导至关重要,既要鼓励学生不迷信教材与教师的权威,将自己的思维引向更深的层次,对探讨现象和结果多问几个为什么,又要善于抓住良好的契机,为学生提供适当的指导和帮助,形成一个生动活泼、主动富有个性又注重集体智慧的探究氛围。

此时教师再次抛出不等式x2-x-2>0和x2-x-2<0,让学生按照前面得出的结论,细致观察函数图像,明确解题的关键与步骤,从而得出解一元二次不等式的一般步骤。

5.自主探究,二次作业

二次作业探究的主体是建立在初次作业的基础上的,学生已经初步掌握了三个“二次”之间的内在联系,并在解题过程中经历了“发现问题大胆质疑分析过程提出解决方案”的再认识、再创造的过程,因此二次作业的可操作性强,成功率也比较高。但要寻找假设与事实之间的关系,整个探究过程仍然会比初次作业更加复杂,更具有动态生成性。

由此教师再引出①x2-2x+1>0和x2-2x+1<0;②x2-x+2>0和x2-x+2<0这两组不等式给学生求解,目的是得出Δ=0、Δ<0这两种情况下的一元二次不等式的解集的求法。再次让学生分组探讨,观察方程、函数、不等式之间的关系,完成书上的表格的填写,得出各种情形的一元二次不等式的解集。

二次作业不是学习的结束,而是另一个学习的开始。学生在探究中发现一些感兴趣但来不及或者课堂时间不允许但很值得继续探讨的问题,可以进一步拓展延伸到课堂外,从定向探究转向了自由探究,加强课内和课外的联系,使探究结果能经受质疑和检验。

6.综合评价,深化拓展

评价是二次作业法教学必不可少的一环,需要建立起一种能够激励和促进学生在知识、技能、思维、心理、观念态度和创新精神等方面协调发展的评价理念。教师在总结阶段要引导学生进行综合评价和自我反思。教师的评价要注重以激励和剖析问题为主,既使得学生不至于茫然失措,逐步构建自己的元认知策略,又能够引导学生发现自己研究的不足,从他人身上反观自我,以自我为尺度评判他人,培养积极的自我体验与主动的自我调控能力,让学生从评价中反思自我,提高综合素质。

总之,二次作业法不仅可以锻炼学生发现问题、分析问题和解决问题的能力,而且有助于培养学生勇于质疑、乐于探究的科学精神,这与新课程改革的出发点是相契合的,在日常的数学教学中如何修正、完善与发展二次作业法,这为加强数学教学改革提出了新的研究课题。

摘 要:二次作业法是一种正在探究和发展中的教学方法,目前可供借鉴的模式、程序和案例还很少,还没有引起教育理论界和中学一线教师广泛的重视。本文以中等职业学校数学教科书第二章《一元二次不等式的解法》为例,探讨如何运用二次作业法进行教学设计,以期为推进二次作业法在数学教学中的应用提供参考性资料。

关键词:“二次作业法”;“二次作业法”的一般程序;解一元二次不等式

中图分类号:G713 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2014)22-030-2

解一元二次不等式是职校学生学习的难点和重点,二次作业法是我校承担的江苏省“十二五”重点规划课题《基于行动导向的“二次作业法”实践研究》在课例研究上的一个实践的结果,即通过优化教学情境、设置重重问题、创新导入方式、激发学生思维、利用类比归纳的方法形成概念,采用合作探究的课堂教学方式,深化了学生对解一元二次不等式的掌握。

一、课例设计分析

“解一元二次不等式”的基本设计思路是:由问题探究所得到的不等式抽象出一元二次不等式的概念,并介绍一元二次不等式的解集的概念。接着利用数形结合,通过观察二次函数的图像,理解二次函数图像与X轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的解,在X轴上方或下方的函数图像所对应的自变量X的取值范围,就是对应一元二次不等式的解集。通过具体例题,帮助学生掌握用图像法解一元二次不等式的方法和步骤。在此基础上,对于a>0时,按Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况,用表格形式列出了一元二次方程的解、二次函数的图像、一元二次不等式的解集。这有助于学生提高对三个“二次”联系性的认识。对于二次项系数为负的一元二次不等式,通过例题介绍了“在不等式两边同时乘以-1,化为二次项系数为正的一元二次不等式求解”的方法,体现了化归的数学思想。会解元一元二次方程、会画二次函数图像是学好本节内容的关键,体现了用函数的观点研究方程和不等式,反过来又将方程和不等式的解与函数研究相联系,有助于提升学生对函数思想的理解。

二、教学设计过程

1.课前准备,初次作业

教师在教学设计阶段对学生的知识水平、理解能力、学习习惯等要有较为全面的了解。预先布置学生复习解一元二次方程和画二次函数的图像的相关知识,并明确本节课的学习任务,让学生在复习旧知的过程中体悟与新知的联系。设计预习作业时,应针对不同层次的学生有一定的梯度,我作了如下的设计:

①一元二次方程、二次函数的一般表达式是什么?②一元二次方程的根由什么决定的?怎么决定的?③二次函数的图像是什么?如何作其简图?④求一元二次方程x2-x-2=0,x2-2x+1=0,x2-x+2=0的Δ,并求其根。⑤作函数y=x2-x-2,y=x2-2x+1,y=x2-x+2的图像,图像与X轴的位置由谁决定?⑥当Y=0时,X的值与一元二次方程的解有何关系?⑦图像上位于X轴的上方(或下方)的点的纵坐标有什么特点?⑧当X取什么值时图像在X轴的上方(或下方)?

至此,为得出一元二次不等式的解集做好了层层铺垫。

2.创设情境,明确任务

教师以多媒体课件创设一些生活中具体不等关系的情境引导学生用数学式子表示,得出形如ax2+bx+c>0(≥0或<0或≤0)的不等式叫做一元二次不等式的概念。再提出一元二次不等式的解集的概念,如何求一元二次不等式的解集呢?这就是本节课要达成的目标。教师从真实的生活情境切入,层层设疑,给学生心理造成一种悬而未决又必须解决的求知状态,从而激发起强烈的学习愿望和思维活跃性,由此拉开了本课的序幕。

3.初次探究,发现问题

教师用课件引出三组一元二次不等式:①x2-x-2>0和x2-x-2<0,②x2-2x+1>0和x2-2x+1<0,③x2-x+2>0和x2-x+2<0。让学生比较它们与初次作业中的方程和函数的关系。教师可通过三个问题引导学生思考这三个“二次”间的联系,并给学生一定的时间分组讨论,各组再选派代表阐述讨论结果,最后由老师展示出三个问题的分析过程和结论。

问题1:令Y=0得一元二次方程x2-x-2=0的解在图像哪里?

结论:二次函数图像与X轴交点的横坐标即为方程的解。

问题2:X取何值时,图像在X轴上方?

分析:图像在X轴上方图像上点的纵坐标Y>0

即x2-2x+1>0由图像可知X<-1或X>2

问题3:X取何值时,图像在X轴下方?

分析:图像在X轴下方图像上点的纵坐标Y<0即x2-2x+1<0

由图像可知-1

教师要善于根据学生原有的能力水平和观察到的具体情况处理好“扶”与“放”的关系,充分发挥教师的主导作用,在“无疑”之处设疑,多多鼓励学生,给学生多点时间探索体悟,让学生体验到成功的喜悦,消除他们害怕失败的心理障碍,为二次作业的开展做好铺垫。

4.探究成因,得出解法与步骤

教师对学生探究过程的控制与指导至关重要,既要鼓励学生不迷信教材与教师的权威,将自己的思维引向更深的层次,对探讨现象和结果多问几个为什么,又要善于抓住良好的契机,为学生提供适当的指导和帮助,形成一个生动活泼、主动富有个性又注重集体智慧的探究氛围。

此时教师再次抛出不等式x2-x-2>0和x2-x-2<0,让学生按照前面得出的结论,细致观察函数图像,明确解题的关键与步骤,从而得出解一元二次不等式的一般步骤。

5.自主探究,二次作业

二次作业探究的主体是建立在初次作业的基础上的,学生已经初步掌握了三个“二次”之间的内在联系,并在解题过程中经历了“发现问题大胆质疑分析过程提出解决方案”的再认识、再创造的过程,因此二次作业的可操作性强,成功率也比较高。但要寻找假设与事实之间的关系,整个探究过程仍然会比初次作业更加复杂,更具有动态生成性。

由此教师再引出①x2-2x+1>0和x2-2x+1<0;②x2-x+2>0和x2-x+2<0这两组不等式给学生求解,目的是得出Δ=0、Δ<0这两种情况下的一元二次不等式的解集的求法。再次让学生分组探讨,观察方程、函数、不等式之间的关系,完成书上的表格的填写,得出各种情形的一元二次不等式的解集。

二次作业不是学习的结束,而是另一个学习的开始。学生在探究中发现一些感兴趣但来不及或者课堂时间不允许但很值得继续探讨的问题,可以进一步拓展延伸到课堂外,从定向探究转向了自由探究,加强课内和课外的联系,使探究结果能经受质疑和检验。

6.综合评价,深化拓展

评价是二次作业法教学必不可少的一环,需要建立起一种能够激励和促进学生在知识、技能、思维、心理、观念态度和创新精神等方面协调发展的评价理念。教师在总结阶段要引导学生进行综合评价和自我反思。教师的评价要注重以激励和剖析问题为主,既使得学生不至于茫然失措,逐步构建自己的元认知策略,又能够引导学生发现自己研究的不足,从他人身上反观自我,以自我为尺度评判他人,培养积极的自我体验与主动的自我调控能力,让学生从评价中反思自我,提高综合素质。

总之,二次作业法不仅可以锻炼学生发现问题、分析问题和解决问题的能力,而且有助于培养学生勇于质疑、乐于探究的科学精神,这与新课程改革的出发点是相契合的,在日常的数学教学中如何修正、完善与发展二次作业法,这为加强数学教学改革提出了新的研究课题。

摘 要:二次作业法是一种正在探究和发展中的教学方法,目前可供借鉴的模式、程序和案例还很少,还没有引起教育理论界和中学一线教师广泛的重视。本文以中等职业学校数学教科书第二章《一元二次不等式的解法》为例,探讨如何运用二次作业法进行教学设计,以期为推进二次作业法在数学教学中的应用提供参考性资料。

关键词:“二次作业法”;“二次作业法”的一般程序;解一元二次不等式

中图分类号:G713 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2014)22-030-2

解一元二次不等式是职校学生学习的难点和重点,二次作业法是我校承担的江苏省“十二五”重点规划课题《基于行动导向的“二次作业法”实践研究》在课例研究上的一个实践的结果,即通过优化教学情境、设置重重问题、创新导入方式、激发学生思维、利用类比归纳的方法形成概念,采用合作探究的课堂教学方式,深化了学生对解一元二次不等式的掌握。

一、课例设计分析

“解一元二次不等式”的基本设计思路是:由问题探究所得到的不等式抽象出一元二次不等式的概念,并介绍一元二次不等式的解集的概念。接着利用数形结合,通过观察二次函数的图像,理解二次函数图像与X轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的解,在X轴上方或下方的函数图像所对应的自变量X的取值范围,就是对应一元二次不等式的解集。通过具体例题,帮助学生掌握用图像法解一元二次不等式的方法和步骤。在此基础上,对于a>0时,按Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况,用表格形式列出了一元二次方程的解、二次函数的图像、一元二次不等式的解集。这有助于学生提高对三个“二次”联系性的认识。对于二次项系数为负的一元二次不等式,通过例题介绍了“在不等式两边同时乘以-1,化为二次项系数为正的一元二次不等式求解”的方法,体现了化归的数学思想。会解元一元二次方程、会画二次函数图像是学好本节内容的关键,体现了用函数的观点研究方程和不等式,反过来又将方程和不等式的解与函数研究相联系,有助于提升学生对函数思想的理解。

二、教学设计过程

1.课前准备,初次作业

教师在教学设计阶段对学生的知识水平、理解能力、学习习惯等要有较为全面的了解。预先布置学生复习解一元二次方程和画二次函数的图像的相关知识,并明确本节课的学习任务,让学生在复习旧知的过程中体悟与新知的联系。设计预习作业时,应针对不同层次的学生有一定的梯度,我作了如下的设计:

①一元二次方程、二次函数的一般表达式是什么?②一元二次方程的根由什么决定的?怎么决定的?③二次函数的图像是什么?如何作其简图?④求一元二次方程x2-x-2=0,x2-2x+1=0,x2-x+2=0的Δ,并求其根。⑤作函数y=x2-x-2,y=x2-2x+1,y=x2-x+2的图像,图像与X轴的位置由谁决定?⑥当Y=0时,X的值与一元二次方程的解有何关系?⑦图像上位于X轴的上方(或下方)的点的纵坐标有什么特点?⑧当X取什么值时图像在X轴的上方(或下方)?

至此,为得出一元二次不等式的解集做好了层层铺垫。

2.创设情境,明确任务

教师以多媒体课件创设一些生活中具体不等关系的情境引导学生用数学式子表示,得出形如ax2+bx+c>0(≥0或<0或≤0)的不等式叫做一元二次不等式的概念。再提出一元二次不等式的解集的概念,如何求一元二次不等式的解集呢?这就是本节课要达成的目标。教师从真实的生活情境切入,层层设疑,给学生心理造成一种悬而未决又必须解决的求知状态,从而激发起强烈的学习愿望和思维活跃性,由此拉开了本课的序幕。

3.初次探究,发现问题

教师用课件引出三组一元二次不等式:①x2-x-2>0和x2-x-2<0,②x2-2x+1>0和x2-2x+1<0,③x2-x+2>0和x2-x+2<0。让学生比较它们与初次作业中的方程和函数的关系。教师可通过三个问题引导学生思考这三个“二次”间的联系,并给学生一定的时间分组讨论,各组再选派代表阐述讨论结果,最后由老师展示出三个问题的分析过程和结论。

问题1:令Y=0得一元二次方程x2-x-2=0的解在图像哪里?

结论:二次函数图像与X轴交点的横坐标即为方程的解。

问题2:X取何值时,图像在X轴上方?

分析:图像在X轴上方图像上点的纵坐标Y>0

即x2-2x+1>0由图像可知X<-1或X>2

问题3:X取何值时,图像在X轴下方?

分析:图像在X轴下方图像上点的纵坐标Y<0即x2-2x+1<0

由图像可知-1

教师要善于根据学生原有的能力水平和观察到的具体情况处理好“扶”与“放”的关系,充分发挥教师的主导作用,在“无疑”之处设疑,多多鼓励学生,给学生多点时间探索体悟,让学生体验到成功的喜悦,消除他们害怕失败的心理障碍,为二次作业的开展做好铺垫。

4.探究成因,得出解法与步骤

教师对学生探究过程的控制与指导至关重要,既要鼓励学生不迷信教材与教师的权威,将自己的思维引向更深的层次,对探讨现象和结果多问几个为什么,又要善于抓住良好的契机,为学生提供适当的指导和帮助,形成一个生动活泼、主动富有个性又注重集体智慧的探究氛围。

此时教师再次抛出不等式x2-x-2>0和x2-x-2<0,让学生按照前面得出的结论,细致观察函数图像,明确解题的关键与步骤,从而得出解一元二次不等式的一般步骤。

5.自主探究,二次作业

二次作业探究的主体是建立在初次作业的基础上的,学生已经初步掌握了三个“二次”之间的内在联系,并在解题过程中经历了“发现问题大胆质疑分析过程提出解决方案”的再认识、再创造的过程,因此二次作业的可操作性强,成功率也比较高。但要寻找假设与事实之间的关系,整个探究过程仍然会比初次作业更加复杂,更具有动态生成性。

由此教师再引出①x2-2x+1>0和x2-2x+1<0;②x2-x+2>0和x2-x+2<0这两组不等式给学生求解,目的是得出Δ=0、Δ<0这两种情况下的一元二次不等式的解集的求法。再次让学生分组探讨,观察方程、函数、不等式之间的关系,完成书上的表格的填写,得出各种情形的一元二次不等式的解集。

二次作业不是学习的结束,而是另一个学习的开始。学生在探究中发现一些感兴趣但来不及或者课堂时间不允许但很值得继续探讨的问题,可以进一步拓展延伸到课堂外,从定向探究转向了自由探究,加强课内和课外的联系,使探究结果能经受质疑和检验。

6.综合评价,深化拓展

评价是二次作业法教学必不可少的一环,需要建立起一种能够激励和促进学生在知识、技能、思维、心理、观念态度和创新精神等方面协调发展的评价理念。教师在总结阶段要引导学生进行综合评价和自我反思。教师的评价要注重以激励和剖析问题为主,既使得学生不至于茫然失措,逐步构建自己的元认知策略,又能够引导学生发现自己研究的不足,从他人身上反观自我,以自我为尺度评判他人,培养积极的自我体验与主动的自我调控能力,让学生从评价中反思自我,提高综合素质。

总之,二次作业法不仅可以锻炼学生发现问题、分析问题和解决问题的能力,而且有助于培养学生勇于质疑、乐于探究的科学精神,这与新课程改革的出发点是相契合的,在日常的数学教学中如何修正、完善与发展二次作业法,这为加强数学教学改革提出了新的研究课题。

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