一个反正切公式和它的应用

朱路进　贝淑坤　刘春平

摘 要：首先给出了一个反正切相减公式，然后研究了一类通项用反正切表示的数项级数，应用反正切相减公式，给出了求这类级数和的一般方法。

关键词：反正切相减公式 通项 级数的和

中图分类号：O174.66 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）04（c）-0209-01

在中学和大学教科书[1-3]中，有如下几道习题：

题1.若，求

题2.求级数的和.

题3.求级数的和.

这几题均是利用“拆项相消”的方法进行求解的.对题1，注意到

（1）

联想一下两角差的正切公式，易知应作“拆项”

（2）

在教学过程中，学生反映这种技巧他们也能够想到，但对文献[2]给出的关于题2的“拆项”提示：

（3）

学生普遍反映不易想到.观察题1-题3，可见它们的通项均为其中是二次三项式.一个自然的问题是：对数项级数

（4）

能否用“拆项相消”的方法求和？如果能，又该怎样“拆项”？本文将对此问题进行探讨.

首先，我们给出一个反正切相减公式，即

定理1 如果是定义在I上的非负函数，则

（5）

证明： 因为故

（6）

从而

（7）

注意到

故有

下面，我们讨论级数（4）能够“拆项相消”的条件.因为

如果级数（4）能用“拆项相消”的方法求和，则存在正整数m，使得

（9）

根据公式（5），令

（10）

解方程组（10）得

（11）

且

（12）

将代入（12），并令的系数为零，得

（13）

从而得到

定理2 如果方程

（14）

有整数解，则级数（4）可用拆项相消的方法求和.且“拆项”方法为

（15）

其中

（16）

利用定理2，我们很容易求解题2～题3.

题2 将.代入（14）式，得

（17）

易知（17）有整数解.再由（16）式得由

知级数的和为

题3 将代入（14），得

（18）

易知（18）有整数解.由（16）式得注意到（8）式，可知

故级数的和为

参考文献

[1] 周敏泽.中国华罗庚学校数学课本（高一年级）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134.

[2] 孙清华，孙昊.数学分析疑难分析与解题方法（下册）[M].武汉：华中科技大学出版社，2009-10.

[3] 郝彦.数学分析习题课指导书[M].浙江：浙江大学出版社，2009：127.endprint

摘 要：首先给出了一个反正切相减公式，然后研究了一类通项用反正切表示的数项级数，应用反正切相减公式，给出了求这类级数和的一般方法。

关键词：反正切相减公式 通项 级数的和

中图分类号：O174.66 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）04（c）-0209-01

在中学和大学教科书[1-3]中，有如下几道习题：

题1.若，求

题2.求级数的和.

题3.求级数的和.

这几题均是利用“拆项相消”的方法进行求解的.对题1，注意到

（1）

联想一下两角差的正切公式，易知应作“拆项”

（2）

在教学过程中，学生反映这种技巧他们也能够想到，但对文献[2]给出的关于题2的“拆项”提示：

（3）

学生普遍反映不易想到.观察题1-题3，可见它们的通项均为其中是二次三项式.一个自然的问题是：对数项级数

（4）

能否用“拆项相消”的方法求和？如果能，又该怎样“拆项”？本文将对此问题进行探讨.

首先，我们给出一个反正切相减公式，即

定理1 如果是定义在I上的非负函数，则

（5）

证明： 因为故

（6）

从而

（7）

注意到

故有

下面，我们讨论级数（4）能够“拆项相消”的条件.因为

如果级数（4）能用“拆项相消”的方法求和，则存在正整数m，使得

（9）

根据公式（5），令

（10）

解方程组（10）得

（11）

且

（12）

将代入（12），并令的系数为零，得

（13）

从而得到

定理2 如果方程

（14）

有整数解，则级数（4）可用拆项相消的方法求和.且“拆项”方法为

（15）

其中

（16）

利用定理2，我们很容易求解题2～题3.

题2 将.代入（14）式，得

（17）

易知（17）有整数解.再由（16）式得由

知级数的和为

题3 将代入（14），得

（18）

易知（18）有整数解.由（16）式得注意到（8）式，可知

故级数的和为

参考文献

[1] 周敏泽.中国华罗庚学校数学课本（高一年级）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134.

[2] 孙清华，孙昊.数学分析疑难分析与解题方法（下册）[M].武汉：华中科技大学出版社，2009-10.

[3] 郝彦.数学分析习题课指导书[M].浙江：浙江大学出版社，2009：127.endprint

摘 要：首先给出了一个反正切相减公式，然后研究了一类通项用反正切表示的数项级数，应用反正切相减公式，给出了求这类级数和的一般方法。

关键词：反正切相减公式 通项 级数的和

中图分类号：O174.66 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）04（c）-0209-01

在中学和大学教科书[1-3]中，有如下几道习题：

题1.若，求

题2.求级数的和.

题3.求级数的和.

这几题均是利用“拆项相消”的方法进行求解的.对题1，注意到

（1）

联想一下两角差的正切公式，易知应作“拆项”

（2）

在教学过程中，学生反映这种技巧他们也能够想到，但对文献[2]给出的关于题2的“拆项”提示：

（3）

学生普遍反映不易想到.观察题1-题3，可见它们的通项均为其中是二次三项式.一个自然的问题是：对数项级数

（4）

能否用“拆项相消”的方法求和？如果能，又该怎样“拆项”？本文将对此问题进行探讨.

首先，我们给出一个反正切相减公式，即

定理1 如果是定义在I上的非负函数，则

（5）

证明： 因为故

（6）

从而

（7）

注意到

故有

下面，我们讨论级数（4）能够“拆项相消”的条件.因为

如果级数（4）能用“拆项相消”的方法求和，则存在正整数m，使得

（9）

根据公式（5），令

（10）

解方程组（10）得

（11）

且

（12）

将代入（12），并令的系数为零，得

（13）

从而得到

定理2 如果方程

（14）

有整数解，则级数（4）可用拆项相消的方法求和.且“拆项”方法为

（15）

其中

（16）

利用定理2，我们很容易求解题2～题3.

题2 将.代入（14）式，得

（17）

易知（17）有整数解.再由（16）式得由

知级数的和为

题3 将代入（14），得

（18）

易知（18）有整数解.由（16）式得注意到（8）式，可知

故级数的和为

参考文献

[1] 周敏泽.中国华罗庚学校数学课本（高一年级）[M].吉林：吉林教育出版社，2002：134.

[2] 孙清华，孙昊.数学分析疑难分析与解题方法（下册）[M].武汉：华中科技大学出版社，2009-10.

[3] 郝彦.数学分析习题课指导书[M].浙江：浙江大学出版社，2009：127.endprint