围道积分在物理学中的应用

陆宇威 刘景锋

摘 要：在数学物理方法中，圍道积分是计算一些实变及复变函数积分的重要方法。本文应用围道积分推导色散关系式及处理原子自发辐射的动力学演化问题，从而让学生认识到，围道积分是后面处理重要物理问题的有力工具，进而激发学生的学习兴趣。

关键词：围道积分 色散关系 自发辐射

中图分类号：O4 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）06（a）-0249-03

围道积分的计算涉及留数定理、多值函数等内容。在学习数学物理方法过程中，从围道积分的介绍、推导到应用计算，往往都是纯数学的，强调了其数学性质而忽视了物理应用，这不仅容易使学生失去学习兴趣，而且偏离了开设这门课程的目的。为此，我们在实际教学过程中改进常规的教学方式，给学生展示围道积分在处理物理学问题上的应用，在这个过程中既强调数学推导，又强调其物理应用，最后还训练了学生的应用计算和数值仿真能力，因而在教学中取得了很好的反响和教学效果。本文将针对目前物理学中的几个研究热点展开讨论。

1 光学微腔中及光学色散中的希尔伯特变换

一个因果物理系统的系统函数的实部与虚部之间满足希尔伯特变换对[1]：

（1）

这一对关系式在物理上有着广泛应用称为色散关系[2]，现结合具体例子，应用围道积分解决实际问题。

当辐射子处在泄漏微腔中时，腔内的局域态密度可以由洛伦兹函数来描述[3]，如（2）式，其能级移动可表示为（3）式，下面应用围道积分来证明它们满足色散关系。

（2）

（3）

因为在实轴上有单极点，我们以为圆心，以充分小的正数ε为半径作圆弧绕过ω，构成积分回路如图1所示。

容易解出另外两个单极点（去掉，因为其虚部小于零不在围道内）和。记，应用留数定理，有：

（4）

当左边积分值为，而右边第一、第二项为所求积分，第三项为零，第四项为，即（4）可化简为：

（5）

于是：

（6）

同样地，应用留数定理，可算得：

（7）

模拟出这两个函数的图像如图2所示，相关物理意义见参考文献[3]。

2 辐射子自发辐射衰减动力学

辐射子自发辐射衰减动力学方程满足下式[3]：

（8）

令，可得：

（9）

设其三个根分别为。为了便于推导，假设所有根都有物理意义。同时考虑的多值特性，在应用留数定理进行计算时选取幅角为到的一个黎曼面，构成积分回路如图3所示，枝点为，虚线为枝切线（）。

把（9）式写成留数的贡献减去枝切（）的贡献为：

（10）

令，，则，容易得到积分留数值为：

（11）

令，再令来计算枝切的贡献，最后得：

（12）

结合（10）（11）和（12），得：

（13）

设置好参数，模拟出图像如图4所示，相关物理意义见参考文献[3]。

3 光子晶体自发辐射的非旋波近似处理

用非旋波近似方法处理光子晶体自发辐射过程得到如下的演化公式[4]

（14）

其中

（15）

令，易知有五个零点，设符合要求的零点的集合为，同时考虑的多值特性，在计算时选取幅角为到的一个黎曼面，构成积分回路如图5所示。

仿照（10），把（14）写成留数的贡献减去枝切的贡献：

（16）

令，，，，，

（16）变为：