高考数学开放探究性问题分类解析

王佩其

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括.它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使考生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程. 高考中主要考查考生对条件和结论的探索、猜想、归纳以及对存在性问题的探索、判断. 下文分类举例说明，供考生们参考.

一、条件追溯型

这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断.解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意.

二、结论探索型

这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定.解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去论证结论.

三、存在判断型

点评：本例探求“当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角”，本质上是求Q点的横坐标m，最终把原问题转化为含有m的方程.存在判断型问题，以探究“是否存在”为目标的开放性问题是高考的一个热点，此类问题的探究，常以假设推理为基础.当得到存在性的结论时，需要检查逆向推理是否正确；当得出矛盾时，形成反证法，得出不存在的结论，对于不存在的问题，也可举反例说明.

四、规律探究型

这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论.解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高.

五、信息迁移型

信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容，要求考生读懂题目，并根据题目引入的新内容解题.

（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）

责任编校 徐国坚endprint

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括.它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使考生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程. 高考中主要考查考生对条件和结论的探索、猜想、归纳以及对存在性问题的探索、判断. 下文分类举例说明，供考生们参考.

一、条件追溯型

这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断.解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意.

二、结论探索型

这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定.解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去论证结论.

三、存在判断型

点评：本例探求“当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角”，本质上是求Q点的横坐标m，最终把原问题转化为含有m的方程.存在判断型问题，以探究“是否存在”为目标的开放性问题是高考的一个热点，此类问题的探究，常以假设推理为基础.当得到存在性的结论时，需要检查逆向推理是否正确；当得出矛盾时，形成反证法，得出不存在的结论，对于不存在的问题，也可举反例说明.

四、规律探究型

这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论.解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高.

五、信息迁移型

信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容，要求考生读懂题目，并根据题目引入的新内容解题.

（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）

责任编校 徐国坚endprint

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备，要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括.它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求，它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使考生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程. 高考中主要考查考生对条件和结论的探索、猜想、归纳以及对存在性问题的探索、判断. 下文分类举例说明，供考生们参考.

一、条件追溯型

这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断.解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意.

二、结论探索型

这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定.解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去论证结论.

三、存在判断型

点评：本例探求“当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角”，本质上是求Q点的横坐标m，最终把原问题转化为含有m的方程.存在判断型问题，以探究“是否存在”为目标的开放性问题是高考的一个热点，此类问题的探究，常以假设推理为基础.当得到存在性的结论时，需要检查逆向推理是否正确；当得出矛盾时，形成反证法，得出不存在的结论，对于不存在的问题，也可举反例说明.

四、规律探究型

这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论.解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高.

五、信息迁移型

信息迁移题是指以考生已有的知识为基础，在此基础上设置一个新的数学情境，或把已有的知识进一步引申，设置一个简单而又熟悉的物理情境或生活情境或定义新的数学内容，要求考生读懂题目，并根据题目引入的新内容解题.

（作者单位：江苏省太仓市明德高级中学）

责任编校 徐国坚endprint