运用轴对称进行化归，解决几何最值问题

韩江

未知问题可化归为已知问题，复杂问题可化归为简单问题. 化归是一种非常重要的数学思想方法，只要掌握了化归的方法，一切问题都将迎刃而解. 本文以轴对称变换为例，与同学们谈谈用化归思想解决几何最值问题.

一、 两个数学基本事实

两点之间的所有连线中，线段最短. 如图1，线段AB最短. 把这个数学事实称为“模型1”，简称“模1”.

在直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 如图2，垂线段PH最短. 把这个数学事实称为“模型2”，简称“模2”.

很多几何最值问题，都可以通过化归的方法与这两个数学模型联系起来. 最经典的莫过于“将军饮马问题”.

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题. 如图3，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营. 请问怎样走才能使总路程最短？

【解析】 如图4，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接PA、PB，此时PA+PB最短. 数学原理：点A、B是定点，点P是动点，点A的对称点A′仍是定点，根据轴对称性质得PA=PA′，从而PA+PB=PA′+PB，问题就化归为“模1”，所以图4中A-P-B为最短路径，如果点P取在其他位置，都将违背“两点之间，线段最短”.

把“将军饮马问题”称为“模型3”，简称“模3”. “模3”的特点是有两个定点、一个动点，两个定点在动点所在直线的同一侧.

二、 具体应用

1. 单动点最值问题

例1 如图5，正方形ABCD的边长是1，以AB为一边作等边△ABE，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为______.

本题是一个较复杂的问题，它是“模1”与“模3”相结合的一个典型，熟知这两种模型，通过化归的方法，得到了一个解决此问题的好方法.

三、 基本策略

运用轴对称进行化归，解决几何最值问题，基本策略是先找到一个定点（如果没有，可找一个合适的动点），再作此点的对称点，从而将某些线段通过轴对称进行位置变换，通常都可以将问题化归为文中的3种模型.

同学们，初中数学的几何最值问题还有很多类型，比如还可以通过其他图形的变换进行化归，或者还可以用函数的方法解决，限于篇幅，本文不作赘述. 化归的方法和策略也有很多，希望通过本文能够抛砖引玉，引导你们归纳有用的数学模型，通过体悟，能够将陌生的数学问题化归为已知的数学问题. 只要掌握了化归的方法，你就找到了解决问题的钥匙.

（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）