美丽的图形

胡舜元

同学们，我们已经学习了相交线与平行线、三角形、全等三角形的相关知识，接下来将学习轴对称图形的有关内容. 什么是轴对称？什么是轴对称图形？两个概念之间有何区别与联系？常见的轴对称图形有哪些？它们有什么性质？现在让我们一起走进美丽的轴对称图形世界吧！

一、 轴对称与轴对称图形的概念及性质

1. 基本概念

轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.

轴对称图形：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.

2. 轴对称与轴对称图形的区别与联系

区别：轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系. 轴对称图形只是针对一个图形而言，是这个图形的自身的特性.

联系：轴对称和轴对称图形都有对称轴；如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线对称.

3. 轴对称的性质

关于某条直线对称的两个图形全等；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线.

二、 画轴对称图形

1. 画对称点 根据轴对称图形的性质，从已知点向已知直线做垂线段并延长一倍，即可得到这一点关于已知直线的对称点.

如图1，已知点A和直线l，从点A做l的垂线段并延长一倍即可得到点A关于l的对称点A′. 如果点在直线上，则该点的对称点是它本身.

2. 画对称图形 关键是确定某些点关于这条直线的对称点.

以平面三角形为例，如图2，△ABC为平面上的三角形，作这个三角形关于直线l的轴对称图形，只需确定三个顶点的轴对称点，就可以画出平面三角形的轴对称图形作任意的不规则图形的轴对称图形，只需要找出这个不规则图形的关键点，作出关键点的轴对称点，再依据图形的形状和性质画出最终的轴对称图形.

三、 线段垂直平分线的性质与判定

要从正、逆两个方向，结合动手折纸操作，掌握线段垂直平分线的性质与判定方法，并能灵活运用，用于计算或证明线段相等.

1. 性质 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等.

几何语言：如图3，

∵ MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，

∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.

2. 判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

几何语言：如图3，

∵ PA=PB，

∴ 点P在线段AB的垂直平分线上（到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上）.

四、 角平分线的性质与判定

类比线段垂直平分线的性质与判定，进一步掌握角的平分线的性质与判定，也要求灵活运用，用于计算或证明.

1. 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

几何语言：如图4，

∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，

PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，

∴ PM=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

2. 判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.

几何语言：如图4，

∵ 点P在∠AOB的内部，

PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，

PM=PN，

∴ 点P在∠AOB的平分线上.

五、 等腰三角形的轴对称性

等腰三角形是一种重要的轴对称图形，我们在学习它的定义、性质与判定方法时，要善于利用它的轴对称性，直观判断，再使用全等三角形，熟练证明. 这样，有利于我们掌握. 当然，性质与判定经常是互逆的，在学好性质的基础上，学习判定一定要注意这种关系，便于我们知道知识的来龙去脉.

1. 性质：

（1） 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；

（2） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）.

几何语言：如图5，

2. 判定：

（1） 有两条边相等的三角形是等腰三角形. （定义）

（2） 有两个角相等的三角形是等腰三角形. （简称“等边对等角”）

几何语言：如图5，

∵ 在△ABC中，∠B=∠C ，

∴ AB=AC（等边对等角）.

3. 应用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

六、 等边三角形的性质和判定

等边三角形是特殊的等腰三角形，抓住等腰三角形与60°就抓住了等边三角形的核心.

1. 性质：等边三角形具有等腰三角形的一切性质，同时又有自身的特殊性：三边都相等；每个角都是60°；有三条对称轴.

2. 判定：

（1） 三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2） 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）

同学们，我们已经学习了相交线与平行线、三角形、全等三角形的相关知识，接下来将学习轴对称图形的有关内容. 什么是轴对称？什么是轴对称图形？两个概念之间有何区别与联系？常见的轴对称图形有哪些？它们有什么性质？现在让我们一起走进美丽的轴对称图形世界吧！

一、 轴对称与轴对称图形的概念及性质

1. 基本概念

轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.

轴对称图形：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.

2. 轴对称与轴对称图形的区别与联系

区别：轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系. 轴对称图形只是针对一个图形而言，是这个图形的自身的特性.

联系：轴对称和轴对称图形都有对称轴；如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线对称.

3. 轴对称的性质

关于某条直线对称的两个图形全等；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线.

二、 画轴对称图形

1. 画对称点 根据轴对称图形的性质，从已知点向已知直线做垂线段并延长一倍，即可得到这一点关于已知直线的对称点.

如图1，已知点A和直线l，从点A做l的垂线段并延长一倍即可得到点A关于l的对称点A′. 如果点在直线上，则该点的对称点是它本身.

2. 画对称图形 关键是确定某些点关于这条直线的对称点.

以平面三角形为例，如图2，△ABC为平面上的三角形，作这个三角形关于直线l的轴对称图形，只需确定三个顶点的轴对称点，就可以画出平面三角形的轴对称图形作任意的不规则图形的轴对称图形，只需要找出这个不规则图形的关键点，作出关键点的轴对称点，再依据图形的形状和性质画出最终的轴对称图形.

三、 线段垂直平分线的性质与判定

要从正、逆两个方向，结合动手折纸操作，掌握线段垂直平分线的性质与判定方法，并能灵活运用，用于计算或证明线段相等.

1. 性质 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等.

几何语言：如图3，

∵ MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，

∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.

2. 判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

几何语言：如图3，

∵ PA=PB，

∴ 点P在线段AB的垂直平分线上（到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上）.

四、 角平分线的性质与判定

类比线段垂直平分线的性质与判定，进一步掌握角的平分线的性质与判定，也要求灵活运用，用于计算或证明.

1. 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

几何语言：如图4，

∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，

PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，

∴ PM=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

2. 判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.

几何语言：如图4，

∵ 点P在∠AOB的内部，

PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，

PM=PN，

∴ 点P在∠AOB的平分线上.

五、 等腰三角形的轴对称性

等腰三角形是一种重要的轴对称图形，我们在学习它的定义、性质与判定方法时，要善于利用它的轴对称性，直观判断，再使用全等三角形，熟练证明. 这样，有利于我们掌握. 当然，性质与判定经常是互逆的，在学好性质的基础上，学习判定一定要注意这种关系，便于我们知道知识的来龙去脉.

1. 性质：

（1） 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；

（2） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）.

几何语言：如图5，

2. 判定：

（1） 有两条边相等的三角形是等腰三角形. （定义）

（2） 有两个角相等的三角形是等腰三角形. （简称“等边对等角”）

几何语言：如图5，

∵ 在△ABC中，∠B=∠C ，

∴ AB=AC（等边对等角）.

3. 应用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

六、 等边三角形的性质和判定

等边三角形是特殊的等腰三角形，抓住等腰三角形与60°就抓住了等边三角形的核心.

1. 性质：等边三角形具有等腰三角形的一切性质，同时又有自身的特殊性：三边都相等；每个角都是60°；有三条对称轴.

2. 判定：

（1） 三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2） 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）

同学们，我们已经学习了相交线与平行线、三角形、全等三角形的相关知识，接下来将学习轴对称图形的有关内容. 什么是轴对称？什么是轴对称图形？两个概念之间有何区别与联系？常见的轴对称图形有哪些？它们有什么性质？现在让我们一起走进美丽的轴对称图形世界吧！

一、 轴对称与轴对称图形的概念及性质

1. 基本概念

轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.

轴对称图形：把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.

2. 轴对称与轴对称图形的区别与联系

区别：轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系. 轴对称图形只是针对一个图形而言，是这个图形的自身的特性.

联系：轴对称和轴对称图形都有对称轴；如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线对称.

3. 轴对称的性质

关于某条直线对称的两个图形全等；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线.

二、 画轴对称图形

1. 画对称点 根据轴对称图形的性质，从已知点向已知直线做垂线段并延长一倍，即可得到这一点关于已知直线的对称点.

如图1，已知点A和直线l，从点A做l的垂线段并延长一倍即可得到点A关于l的对称点A′. 如果点在直线上，则该点的对称点是它本身.

2. 画对称图形 关键是确定某些点关于这条直线的对称点.

以平面三角形为例，如图2，△ABC为平面上的三角形，作这个三角形关于直线l的轴对称图形，只需确定三个顶点的轴对称点，就可以画出平面三角形的轴对称图形作任意的不规则图形的轴对称图形，只需要找出这个不规则图形的关键点，作出关键点的轴对称点，再依据图形的形状和性质画出最终的轴对称图形.

三、 线段垂直平分线的性质与判定

要从正、逆两个方向，结合动手折纸操作，掌握线段垂直平分线的性质与判定方法，并能灵活运用，用于计算或证明线段相等.

1. 性质 线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等.

几何语言：如图3，

∵ MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，

∴ PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.

2. 判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.

几何语言：如图3，

∵ PA=PB，

∴ 点P在线段AB的垂直平分线上（到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上）.

四、 角平分线的性质与判定

类比线段垂直平分线的性质与判定，进一步掌握角的平分线的性质与判定，也要求灵活运用，用于计算或证明.

1. 性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.

几何语言：如图4，

∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，

PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，

∴ PM=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

2. 判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.

几何语言：如图4，

∵ 点P在∠AOB的内部，

PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，

PM=PN，

∴ 点P在∠AOB的平分线上.

五、 等腰三角形的轴对称性

等腰三角形是一种重要的轴对称图形，我们在学习它的定义、性质与判定方法时，要善于利用它的轴对称性，直观判断，再使用全等三角形，熟练证明. 这样，有利于我们掌握. 当然，性质与判定经常是互逆的，在学好性质的基础上，学习判定一定要注意这种关系，便于我们知道知识的来龙去脉.

1. 性质：

（1） 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）；

（2） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）.

几何语言：如图5，

2. 判定：

（1） 有两条边相等的三角形是等腰三角形. （定义）

（2） 有两个角相等的三角形是等腰三角形. （简称“等边对等角”）

几何语言：如图5，

∵ 在△ABC中，∠B=∠C ，

∴ AB=AC（等边对等角）.

3. 应用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

六、 等边三角形的性质和判定

等边三角形是特殊的等腰三角形，抓住等腰三角形与60°就抓住了等边三角形的核心.

1. 性质：等边三角形具有等腰三角形的一切性质，同时又有自身的特殊性：三边都相等；每个角都是60°；有三条对称轴.

2. 判定：

（1） 三个角都相等的三角形是等边三角形；

（2） 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）