浅析椭圆中与焦点三角形有关的求最值问题

摘 要：就与焦半径有关的最值问题进行简单的探讨。先给出焦半径的概念并推导其最值，接着引出焦半径的乘积、平方和、立方和、焦点三角形面积的最值等问题，使前后问题一脉相承，有较强的衔接性。

关键词：焦半径；焦点三角形；最值

本文着重讨论椭圆中与焦点三角形有关的最值问题。所谓焦点三角形是指椭圆上一点P（不与长轴的两个端点重合）与两个焦点F1F2构成的△PF1F2。

分析：只需要借助两点间的距离公式，再运用函数求最值的思想方法来研究这个问题就可以了.

故当x0=-a即点P与椭圆的左端点A1重合时，PF1min=a-c；当x0=a即点P与椭圆的右端点A2重合时，PF1max=a+c.

由PF1=a+ex0，结合椭圆的定义PF1+PF2=2a可得PF2=a-ex0，这两个公式叫做椭圆的焦半径公式，可以简记为“左加右减”，即点P到左焦点的距离为a+ex0，到右焦点的距离为a-ex0.

如果再把上面的问题进行升级，可得到如下问题：

变式1：PF1·PF2有最大值吗？如果有，请求出；如果没有，请说明理由.

分析：由于PF1+PF2=2a，结合均值定理，PF1·PF2有最大值.

变式2：PF1·PF2有最小值吗？如果有，请求出；如果没有，请说明理由.

趁热打铁，我们还可以得到以下变式：

变式3：PF12+PF22有最值吗？如果有，请求出；如果没有，请说明理由。

变式4：△PF1F2有最值吗？如果有，请求出；如果没有，请说明理由。

详细解题过程略。

对于初学者甚至高三的学生，圆锥曲线是他们最难理解、掌握的内容之一.作为教师，不妨从最基本最常见的类型入手，引导学生逐步掌握基本技能和运算技巧，在做题的时候就可以达到事半功倍的效果.

参考文献：

李建明.圆的性质在圆锥曲线中的推广[J].数学教学，2007（6）：18-20.

作者简介：梁纪威，男，1985年10月出生，本科，就职学校：陕西省靖边中学，研究方向；教育教学方法技巧。