函数、导数与不等式的交汇问题例析

函数作为高中代数最基本、最重要的内容，多年来一直是高考命题的热点.用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，因此，函数与导数已成为支撑数学学科知识体系的重点知识，从而构成数学试题的主体的重要知识板块.考查的方向还是利用导数求函数的极大（小）值，求函数在连续区间[a，b]上的最大值或最小值，或利用求导法解应用问题，研究函数的单调性或求单调区间等，这些已成为高考的一个新的热点问题.不等式是中学数学的重要内容，它可以渗透到中学数学的很多章节，是解决其他数学问题的有力工具，再加上它在实际问题中的广泛应用，决定了它将是常考不衰的高考热点问题.不等式、函数二者密不可分，它们相互联系、互相转化.因此，要学会灵活处理导数、不等式、函数大型综合问题，这类代数推理考题在复习时一定要倍加关注.

一、不等式与函数综合问题

例1设函数f（x）=|2x+1|-|x-4|.

（1）解不等式f（x）>2；

（2）求函数y=f（x）的最小值.

解：（1）令y=|2x+1|-|x-4|，

则y=-x-5，x≤-12，

3x-3，-12

x+5，x≥4.

作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图像，它与直线y=2的交点为（-7，2）和（53，2），

所以|2x+1|-|x-4|>2的解为x<-7或x>53.

（2）由函数y=|2x+1|-|x-4|的图像可知，当x=-12时，y=|2x+1|-|x-4|取得最小值-92.

评注：本题考查了绝对值的意义，分段函数及其图像，函数最值和不等式等知识，考查分类讨论的思想方法和数形结合的解题技巧.函数是高中数学的重要内容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起.以函数为载体，综合不等式交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型不等式证明问题，在高考试题出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位.

例2设二次函数f（x）=x2+ax+a，方程f（x）-x=0的两根x1和x2满足0

（1）求实数a的取值范围；

（2）试比较f（0）f（1）-f（0）与116的大小，并说明理由.

解：（1）令g（x）=f（x）-x=x2+（a-1）x+a，则由题意可得

Δ>0，

0<1-a2<1，

g（1）>0，

g（0）>0，a>0，

-1

a<3-22或a>3+22，0

故所求实数a的取值范围是（0，3-22）.

（2）解法1：f（0）f（1）-f（0）=g（0）g（1）=2a2，令h（a）=2a2.

∵当a>0时，h（a）单调增加，

∴当0

即f（0）f（1）-f（0）<116.

解法2：∵f（0）f（1）-f（0）=g（0）g（1）=2a2，由（1）知0

∴42a-1<122-17<0.又42a+1>0，于是

2a2-116=116（32a2-1）=116（42a-1）（42a+1）<0，

即2a2-116<0，故f（0）f（1）-f（0）<116.

解法3：依题意可设g（x）=（x-x1）（x-x2），则由0

f（0）f（1）-f（0）=g（0）g（1）=x1x2（1-x1）（1-x2）=[x1（1-x1）][x2（1-x2）]

<（x1+1-x12）2（x2+1-x22）2=116，

故f（0）f（1）-f（0）<116.

评析：它以函数为依托，在函数、方程、不等式知识交汇点上设计的试题，题型设计新颖，别具一格，知识浑然一体，反映了知识间的内在联系，较好地体现了知识的整体性和综合性，突出对问题的方法及解决问题的能力的考查.函数、方程与不等式是高中数学的重要内容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起，一些常见的解题技巧和思想方法都得到了比较充分的体现，以这三者交汇处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考试题出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位.

二、导数在函数中的应用

例3已知定义在正实数集上的函数f（x）=12x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a>0.设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同.

（1）用a表示b，并求b的最大值；

（2）求证：f（x）≥g（x）（x>0）.

解：（1）设y=f（x）与y=g（x）（x>0）在公共点（x0，y0）处的切线相同.

∵f′（x）=x+2a，g′（x）=3a2x，由题意f（x0）=g（x0），f′（x0）=g′（x0）.

即12x20+2ax0=3a2lnx0+b，

x0+2a=3a2x0，由x0+2a=3a2x0得：x0=a，或x0=-3a（舍去）.

即有b=12a2+2a2-3a2lna=52a2-3a2lna.

令h（t）=52t2-3t2lnt（t>0），则h′（t）=2t（1-3lnt）.于是

当t（1-3lnt）>0，即00；

当t（1-3lnt）<0，即t>e13时，h′（t）<0.

故h（t）在（0，e13）为增函数，在（e13，+∞）为减函数，

于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e13）=32e23.

（2）设F（x）=f（x）-g（x）=12x2+2ax-3a2lnx-b（x>0），

则F′（x）=x+2a-3a2x=（x-a）（x+3a）x（x>0）.

故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，

于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x0）=f（x0）-g（x0）=0.

故当x>0时，有f（x）-g（x）≥0，即当x>0时，g（x）≥g（x）.

评析：本题考查函数、不等式和导数的应用等知识，应用导数方法确定函数单调性、极值（最值），切线方程是常见题型，应该熟练掌握.

例4某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）2万件.

（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.

解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x-3-a）（12-x）2，x∈[9，11].

（2）L′（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）=（12-x）（18+2a-3x）.

令L′（x）=0得x=6+23a或x=12（不合题意，舍去）.

∵3≤a≤5，∴8≤6+23a≤283.

在x=6+23a两侧L′的值异号.

所以①当8≤6+23a<9即3≤a<92时，Lmax=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）.

②当9≤6+23a≤283即92≤a≤5时，

Lmax=L（6+23a）=（6+23a-3-a）[12-（6+23a）]2=4（3-13a）3，

所以Q（a）=9（6-a），3≤a<92，

4（3-13a）3，92≤a≤5

即若3≤a<92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6-a）（万元）；若92≤a≤5，则当每件售价为6+23a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3-13a）3（万元）.

评析：本题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识和解决实际问题的能力，利用导数研究函数的性质，解决实际问题是高考热点题型，本题还涉及分类讨论的数学思想方法.

三、函数、导数与不等式综合问题

例5已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x，有f（x）≥0，则f（1）f′（0）的最小值为（）.

A. 3B. 52C. 2D. 32

解：f′（x）=2ax+b（a≠0），∵f′（0）>0，∴b>0，

又∵f（x）≥0恒成立，即ax2+bx+c≥0恒成立，

∴a>0，且Δ=b2-4ac≤0恒成立，∴c>0.

f（1）f′（0）=a+b+cb=1+ab+cb≥1+2acb2≥1+2b24b2=2，且当a=c>0时等号成立.

故选C

评析：本题以函数和导数为载体，综合考查重要不等式在求函数最值中的应用，解此题的关键就是判断a与c的符号.

例6已知函数f（x）=mx3-x的图像上，以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为π4.

（1）求m、n的值；

（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；

（3）求证：|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

解：（1）m=23，n=-13（解题过程略）.

（2）由（1）知，f（x）=23x3-x，令f′（x）=2x2-1=0，得x=±22，

当-10；

当-22

当220.

又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（3）=15，

因此，当x∈[-1，3]时，-23≤f（x）≤15；

要使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15+1991=2006.

所以，存在最小的正整数k=2006，使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立.

（3）由（2）知，函数f（x）在[-1，-22]上是增函数；在[-22，22]上是减函数；在[22，3]上是增函数，

又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（1）=-13，

所以，当x∈[-1，1]时，-23≤f（x）≤23，即|f（x）|≤23.

∵sinx，cosx∈[-1，1]，∴|f（sinx）|≤23，|f（cosx）|≤23，

∴|f（sinx）+f（cosx）|≤|f（sinx|+|f（cosx）|≤23+23=223.①

又∵t>0，∴t+12t≥2>1，且函数f（x）在[1，+∞）上是增函数.

∴2f（t+12t）≥2f（2）=2[23（2）3-2]=223.②

比较①、②可得，|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

评析：这是一个以函数为载体、以导数为解题工具的不等式综合问题，解此题的导数工具作用显得十分重要，这是高考创新题型和发展趋势.函数、导数与不等式的知识得到了很好的整合，是一个典型的交汇热点试题.

（作者：赵春祥，中学数学特级教师，河北省乐亭县第二中学）

于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e13）=32e23.

（2）设F（x）=f（x）-g（x）=12x2+2ax-3a2lnx-b（x>0），

则F′（x）=x+2a-3a2x=（x-a）（x+3a）x（x>0）.

故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，

于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x0）=f（x0）-g（x0）=0.

故当x>0时，有f（x）-g（x）≥0，即当x>0时，g（x）≥g（x）.

评析：本题考查函数、不等式和导数的应用等知识，应用导数方法确定函数单调性、极值（最值），切线方程是常见题型，应该熟练掌握.

例4某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）2万件.

（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.

解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x-3-a）（12-x）2，x∈[9，11].

（2）L′（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）=（12-x）（18+2a-3x）.

令L′（x）=0得x=6+23a或x=12（不合题意，舍去）.

∵3≤a≤5，∴8≤6+23a≤283.

在x=6+23a两侧L′的值异号.

所以①当8≤6+23a<9即3≤a<92时，Lmax=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）.

②当9≤6+23a≤283即92≤a≤5时，

Lmax=L（6+23a）=（6+23a-3-a）[12-（6+23a）]2=4（3-13a）3，

所以Q（a）=9（6-a），3≤a<92，

4（3-13a）3，92≤a≤5

即若3≤a<92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6-a）（万元）；若92≤a≤5，则当每件售价为6+23a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3-13a）3（万元）.

评析：本题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识和解决实际问题的能力，利用导数研究函数的性质，解决实际问题是高考热点题型，本题还涉及分类讨论的数学思想方法.

三、函数、导数与不等式综合问题

例5已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x，有f（x）≥0，则f（1）f′（0）的最小值为（）.

A. 3B. 52C. 2D. 32

解：f′（x）=2ax+b（a≠0），∵f′（0）>0，∴b>0，

又∵f（x）≥0恒成立，即ax2+bx+c≥0恒成立，

∴a>0，且Δ=b2-4ac≤0恒成立，∴c>0.

f（1）f′（0）=a+b+cb=1+ab+cb≥1+2acb2≥1+2b24b2=2，且当a=c>0时等号成立.

故选C

评析：本题以函数和导数为载体，综合考查重要不等式在求函数最值中的应用，解此题的关键就是判断a与c的符号.

例6已知函数f（x）=mx3-x的图像上，以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为π4.

（1）求m、n的值；

（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；

（3）求证：|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

解：（1）m=23，n=-13（解题过程略）.

（2）由（1）知，f（x）=23x3-x，令f′（x）=2x2-1=0，得x=±22，

当-10；

当-22

当220.

又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（3）=15，

因此，当x∈[-1，3]时，-23≤f（x）≤15；

要使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15+1991=2006.

所以，存在最小的正整数k=2006，使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立.

（3）由（2）知，函数f（x）在[-1，-22]上是增函数；在[-22，22]上是减函数；在[22，3]上是增函数，

又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（1）=-13，

所以，当x∈[-1，1]时，-23≤f（x）≤23，即|f（x）|≤23.

∵sinx，cosx∈[-1，1]，∴|f（sinx）|≤23，|f（cosx）|≤23，

∴|f（sinx）+f（cosx）|≤|f（sinx|+|f（cosx）|≤23+23=223.①

又∵t>0，∴t+12t≥2>1，且函数f（x）在[1，+∞）上是增函数.

∴2f（t+12t）≥2f（2）=2[23（2）3-2]=223.②

比较①、②可得，|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

评析：这是一个以函数为载体、以导数为解题工具的不等式综合问题，解此题的导数工具作用显得十分重要，这是高考创新题型和发展趋势.函数、导数与不等式的知识得到了很好的整合，是一个典型的交汇热点试题.

（作者：赵春祥，中学数学特级教师，河北省乐亭县第二中学）

于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h（e13）=32e23.

（2）设F（x）=f（x）-g（x）=12x2+2ax-3a2lnx-b（x>0），

则F′（x）=x+2a-3a2x=（x-a）（x+3a）x（x>0）.

故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，

于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x0）=f（x0）-g（x0）=0.

故当x>0时，有f（x）-g（x）≥0，即当x>0时，g（x）≥g（x）.

评析：本题考查函数、不等式和导数的应用等知识，应用导数方法确定函数单调性、极值（最值），切线方程是常见题型，应该熟练掌握.

例4某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）2万件.

（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；

（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）.

解：（1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=（x-3-a）（12-x）2，x∈[9，11].

（2）L′（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）=（12-x）（18+2a-3x）.

令L′（x）=0得x=6+23a或x=12（不合题意，舍去）.

∵3≤a≤5，∴8≤6+23a≤283.

在x=6+23a两侧L′的值异号.

所以①当8≤6+23a<9即3≤a<92时，Lmax=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）.

②当9≤6+23a≤283即92≤a≤5时，

Lmax=L（6+23a）=（6+23a-3-a）[12-（6+23a）]2=4（3-13a）3，

所以Q（a）=9（6-a），3≤a<92，

4（3-13a）3，92≤a≤5

即若3≤a<92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9（6-a）（万元）；若92≤a≤5，则当每件售价为6+23a元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=4（3-13a）3（万元）.

评析：本题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识和解决实际问题的能力，利用导数研究函数的性质，解决实际问题是高考热点题型，本题还涉及分类讨论的数学思想方法.

三、函数、导数与不等式综合问题

例5已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′（x），f′（0）>0，对于任意实数x，有f（x）≥0，则f（1）f′（0）的最小值为（）.

A. 3B. 52C. 2D. 32

解：f′（x）=2ax+b（a≠0），∵f′（0）>0，∴b>0，

又∵f（x）≥0恒成立，即ax2+bx+c≥0恒成立，

∴a>0，且Δ=b2-4ac≤0恒成立，∴c>0.

f（1）f′（0）=a+b+cb=1+ab+cb≥1+2acb2≥1+2b24b2=2，且当a=c>0时等号成立.

故选C

评析：本题以函数和导数为载体，综合考查重要不等式在求函数最值中的应用，解此题的关键就是判断a与c的符号.

例6已知函数f（x）=mx3-x的图像上，以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为π4.

（1）求m、n的值；

（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；

（3）求证：|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

解：（1）m=23，n=-13（解题过程略）.

（2）由（1）知，f（x）=23x3-x，令f′（x）=2x2-1=0，得x=±22，

当-10；

当-22

当220.

又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（3）=15，

因此，当x∈[-1，3]时，-23≤f（x）≤15；

要使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15+1991=2006.

所以，存在最小的正整数k=2006，使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立.

（3）由（2）知，函数f（x）在[-1，-22]上是增函数；在[-22，22]上是减函数；在[22，3]上是增函数，

又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（1）=-13，

所以，当x∈[-1，1]时，-23≤f（x）≤23，即|f（x）|≤23.

∵sinx，cosx∈[-1，1]，∴|f（sinx）|≤23，|f（cosx）|≤23，

∴|f（sinx）+f（cosx）|≤|f（sinx|+|f（cosx）|≤23+23=223.①

又∵t>0，∴t+12t≥2>1，且函数f（x）在[1，+∞）上是增函数.

∴2f（t+12t）≥2f（2）=2[23（2）3-2]=223.②

比较①、②可得，|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+12t）（x∈R，t>0）.

评析：这是一个以函数为载体、以导数为解题工具的不等式综合问题，解此题的导数工具作用显得十分重要，这是高考创新题型和发展趋势.函数、导数与不等式的知识得到了很好的整合，是一个典型的交汇热点试题.

（作者：赵春祥，中学数学特级教师，河北省乐亭县第二中学）