“一元二次方程”测试卷

史新景

1. 下列关于x的方程有实数根的是（ ）.

A. x2-2x+2=0 B. x2+2x+2=0

C. （x-3）（x+4）=0 D. （x-1）2+4=0

2. 等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x+k=0的两个根，则k的值是（ ）.

A. 27 B. 36 C. 27或36 D. 18

3. 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米. 若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）.

A. x（5+x）=6 B. x（5-x）=6 C. x（10-x）=6 D. x（10-2x）=6

4. 将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为（ ）.

A. （x-3）2+11 B. （x+3）2-7 C. （x+3）2-11 D. （x+2）2+4

5. 一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a=______.

6. 若（x2+y2+1）（x2+y2-3）=5，则x2+y2=______.

7. 已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，则代数式a2+b2+2ab的值是______.

8. 已知关于x的方程（k-1）x2+2kx+k=0有实根，求k的取值范围.

9. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根.

（1） 求实数m的最大整数值；

（2） 在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x2 1+x2 2-x1x2的值.

10. 某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.

（1） 用含x的代数式表示第3年的可变成本为______万元.

（2） 如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x.

11. 小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元. 按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元. 请问她购买了多少件这种服装？

12. 如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？

（1） 请你将小明对“思考题”的解答补充完整：

解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=AC-AA1=-0.4=2，

而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B2 1得方程_________________________，

解方程得x1=______，x2=______，

∴点B将向外移动______米.

（2） 解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：

【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？

【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等吗？为什么？

请你解答小聪提出的这两个问题.

13. 某商场销售一批衬衫，平均每天可出售50件，每件盈利10元. 为了增加盈利，商场决定采取适当的涨价措施. 经调查发现，每件衬衫每涨价1元，商场平均每天就要少售出2件. 若商场平均每天要保证盈利600元，同时又要使顾客得到实惠，请你帮商场算一算，每件衬衫应涨价多少元？

参考答案

1. C A. b2-4ac=（-2）2-4×1×2=-4<0，方程没有实数根，所以A选项错误；B. b2-4ac=22-4×1×2=-4<0，方程没有实数根，所以B选项错误；C. x-3=0或x+4=0，则x1=3，x2= -4，所以C选项正确；D. （x-1）2=-4，方程左边为非负数，方程右边为负数，所以方程没有实数根，所以D选项错误. 故选C.

2. B 分两种情况：①当其他两条边中有一条为3时，将x=3代入原方程，得32-12×3+k=0，k=27，将k=27代入原方程，得x2-12x+27=0，解得x=3或9. 3，3，9不能够组成三角形；②当3为底时，则其他两条边相等，即b2-4ac=0，此时144-4k=0，k=36. 将k=36代入原方程，得x2-12x+36=0，解得x=6. 3，6，6能够组成三角形，故答案为B.

3. B 设一边长为x米，则另外一边长为（5-x）米，由题意得：x（5-x）=6，故选B.

4. B x2+6x+2=x2+6x+9-9+2=（x+3）2-7，故选B.

5. ∵一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，∴把x=0代入得a2-1=0，且a+1≠0，∴a=1.

6. 解：令x2+y2=z，则原方程可转化为（z+1）（z-3）=5，解得z1=4，z2=-2，因为x2+y2的非负性，所以应舍去x2+y2=-2. 所以x2+y2=4.

7. 解：∵x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴12+a+b=0，∴a+b=-1，∴a2+b2+2ab=（a+b）2=（-1）2=1.

8. 解：（1） 若方程为一元二次方程，则k-1≠0，

（2k）2-4k（k-1）≥0，即k≠1，

4k2-4k2+4k≥0，∴k≥0且k≠1时，方程有实根.

（2） 若方程为一元一次方程，

当k-1=0，即k=1时，方程化为2x+1=0，∴x=-.

综上所述，当k≥0时，方程有实根.

9. 解：（1） 由题意，得：b2-4ac>0，即：

-22-4m>0，m<2，∴m的最大整数值为m=1.

（2） 把m=1代入关于x的一元二次方程x2-2x+m=0得x2-2x+1=0，根据根与系数的关系：x1+x2=2，x1x2=1，∴x2 1+x2 2-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2=（2）2-3×1=5.

10. 解：（1） 2.6（1+x）2；

（2） 由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，解得：x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）.

答：可变成本平均每年增长的百分率为10%.

11. 解：设购买x件这种服装，由题意得：[80-2（x-10）]x=1 200，解得：x1=20，x2=30，

当x=30时，80-2（30-10）=40<50，不合题意，舍去.

答：她购买了20件这种服装.

12. 解：（1） （x+0.7）2+22=2.52；x1=0.8，x2=-2.2（舍）；0.8.

（2） [问题一]不会是0.9米，

若AA1=BB1=0.9，则A1C=2.4-0.9=1.5，B1C=0.7+0.9=1.6，

∵1.52+1.62=4.81，而2.52=6.25 ，

∴B1C2+A1C2≠A1B12，∴该题的答案不会是0.9米.

[问题二]有可能.

设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米， 则有（x+0.7）2+（2.4-x）2=2.52，

解得：x=1.7或x=0（舍）.

∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等.

13. 设每件衬衫涨价a元，这样每件盈利（10+a）元，共售出（50-2a）件.

则（10+a）×（50-2a）=600.

解得a1=10，a2=5. 要使顾客得到实惠，则a=5，所以每件衬衫应涨价5元.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）