解决圆中问题的数学思想方法

徐兰方

在解决圆中的问题时，常常需要应用一些重要的数学思想方法，主要有：

一、 方程思想

方程思想在探索解题思路时经常使用，尤其对解决与数量有关的数学问题时行之有效. 圆中的垂径定理、勾股定理、弧长公式和扇形面积公式都为列方程（组）创造了条件.

例1 如图1，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的☉M与x轴相切. 若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（ ）.

A. （-4，5） B. （-5，4）

C. （5，-4） D. （4，-5）

【解析】设☉M与x轴的切点为F，连接FM，并延长交AB于E，连接AM. ∵☉M与x轴相切，∴MF⊥x轴，ME⊥AB. ∵A的坐标为（0，8），∴AB=OC=BC=EF=OA=8. ∴AE=BE=4. 设MF=AM=x，∴ME=8-x. 在Rt△AME中，AE2+ME2=AM2，即42+（8-x）2=x2，解得x=5. 即MF=5，∴M的坐标为（-4，5），故选A.

【点评】由圆的半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段（又叫弦心距）所构成的直角三角形是解决有关圆的问题的基本图形.在解题时，我们常常由垂径定理及其推论得到直角三角形，再在直角三角形中用勾股定理建立方程来解决问题.

二、 数形结合思想

点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系都是通过数量关系来判定的，在解决圆的有关问题时，利用数形结合，可以使所要研究的问题化难为易，化繁为简.

例2 已知☉O的面积为9π cm2，若点O到直线l的距离为π cm，则直线l与☉O的位置关系是（ ）.

A. 相交 B. 相切

C. 相离 D. 无法确定

【解析】设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点O到直线l的距离πcm比较即可. 设圆O的半径是r，则πr2=9π，∴r=3，∵点O到直线l的距离为πcm，3<π，即r

【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当rd时，相交. 本题虽然是关于直线与圆的位置关系（形）的判定，但却是通过比较直线与圆心的距离（数）大小来做出判定的.

三、 转化思想

圆中经常运用转化思想来解决问题，如圆周角与圆心角的转化，圆周角定理证明中特殊与一般的转化，不同位置关系的转化，不规则图形向规则图形的转化，等等，都是转化思想运用的范例.

例3 如图2，AB是☉O的直径，AM、BN分别切☉O于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分∠ADC.

（1） 求证：CD是☉O的切线；

（2） 若AD=4，BC=9，求☉O的半径R.

【解析】（1） 要证明CD是☉O的切线，由于DO平分∠ADC，所以可作OE⊥CD于点E，转化为证明OE=OA即可. ∵AM切☉O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE=OA，又∵OA为☉O的半径，∴CD是☉O的切线；

（2） 要求☉O的半径R，即求AB的长，为此过D点作DF⊥BC于点F，将AB转化为DF，再在Rt△DFC中求解. ∵AM，BN分别切☉O于点A，B；∴AD⊥AB，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形.∴AD=BF，AB=DF，又∵AD=4，BC=9，∴FC=9-4=5；又∵AM，BN，DC分别切☉O于点A，B，E，∴DA=DE，CB=CE；∴DC=AD+BC=4+9=13；在Rt△DFC中，DC2=DF2+FC2，∴DF===12，∴AB=12，∴☉O的半径R=6.

【点评】解题时要充分利用各种关系，对角度或长度进行转化；当题目中出现直径时，要注意构造直径所对的圆周角，然后利用直角三角形两锐角互余进行角的转化.

四、 整体思想

在解决圆中的计算问题时，整体思想有其独特的功效.

例4 如图3，在周长为1 500米的四边形住宅区ABCD周围修建一宽为2米的绿化带，求绿化带的面积.

【解析】如图3，要分别求出四个矩形和四个扇形的面积很困难，我们不妨采用“整体合并”的思想，把四个矩形的面积的和看成是一个整体S1，则S1=1 500×2=3 000（m2）.把四个扇形面积的和看成一个整体S2（为一个圆），S2=π×22≈13（m2），于是绿化带的面积=3 000+13=3 013（m2）.

【点评】在进行圆的有关计算特别是不规则图形面积的计算时，把注意力和着眼点放在问题的整体上，善于整体思考，常能收到事半功倍的效果.

五、 分类思想

当我们研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，就要从不同的位置关系去考虑，列举各种可能的情况. 这种对位置关系的考虑与分析，蕴含分类讨论思想的运用，分类讨论思想的运用是本章的最大特色.

例5 如图4，木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r. 用角尺的较短边紧靠☉O，并使较长边与☉O相切于点C. 假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8 cm. 若读得BC长为a cm，则用含a的代数式表示r为______.

【解析】如图5，当BC≤AB，即a≤8时，根据题意，AB与☉O相切，设切点为E，连接OC，OE，则四边形BCOE为正方形，从而BC=OE=BE≤AB，即r=a≤8；当BC>AB，即a>8时，如图6，连接OC，OA，过点A作AD⊥OC于点D，则AD=BC=a，OD=OC-CD=OC-AB=r-8，OA=r，在Rt△OAD中，AD2+OD2=AO2，即a2+（r-8）2=r2，解得r=a2+4.

综上所述，答案为当0≤a≤8时，r=a；即a>8时，r=a2+4.

【点评】AB紧靠☉O，同时BC与☉O相切，AB与☉O就存在两种情况：相切或相交，本题应分情况讨论.事实上，当题中没有明确直线与圆的位置关系时，

通常都要分直线与圆相离、相切、相交三种情况讨论.许多学生由于没有注意到AB与圆的位置关系是由AB与BC的长短决定的，因此只计算一种情况，从而造成了漏解.

小试身手

1. （2013·江苏苏州）如图7，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ）.

A. 55° B. 60°

C. 65° D. 70°

2. ☉O的半径为5，AB为直径，CD为弦，CD⊥AB，垂足为E，若CD=6，则AE的长为______.

3. （2013·湖南邵阳）如图8所示，某窗户由矩形和弓形组成.已知弓形的跨度AB=3 m，弓形的高EF=1 m. 现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径.

（作者单位：江苏省兴化市昭阳湖初级中学）