分段函数的单调性

范红星

例： 已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1，logax，x≥1是（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是 .

（A） （0，1）

（B） 0，

（C） ，

（D） ，1

错解： 当x<1时， f（x）=（3a-1）x+4a递减，得3a-1<0，即a<；当x≥1时， f（x）=logax递减，得0

错因分析：这一错误解法在同学中普遍存在， 选项B是不对的. 主要错误原因是同学们只从局部认识函数f（x）单调递减的意义，没有从全局上理解函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减的深刻含义.

事实上，当x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减，并不能保证f（x）在（-∞，+∞）上递减. 如图1所示，当x1

真正满足题意的是图2的情形，从图上可以看出：除了要满足x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减外，还必须满足[（3a-1）x+4a]min≥（logax）max. 因此在判断分段函数单调性时，要特别注意临界情况的分析.

正解：由题意得3a-1<0，0

【练一练】

（1） 若函数f（x）= ax，x>1，4-x+2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为

.

（A） （1，+∞）

（B） （1，8）

（C） （4，8）

（D） [4，8）

（2） 若函数f（x）=（4-2a2）x+a2，x≤1， 2a+log3（x+2），x>1在区间（0，+∞）上单调递增， 则实数a 的取值范围是 .

（3） 已知函数f（x）=（3-a）x-3，x≤7，ax-6，x>7，数列{an}满足：an=f（n），n∈N*且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 .

【参考答案】

（1）由题意得a>1，4->0，4-×1+2≤a，

所以a>1，a<8，a≥4，解得4≤a<8，选D.

（2） 由题意得4-2a2>0，（4-2a2）×1+a2≤2a+1，

所以-

（3） 当x>7时，由于{an}是递增数列，所以ax-6递增，a>1.同理，x≤7时，（3-a）x-3递增，所以3-a>0，a<3.在两段“衔接”处要求a72或a<-9. 综上可得，a∈（2，3）.

例： 已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1，logax，x≥1是（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是 .

（A） （0，1）

（B） 0，

（C） ，

（D） ，1

错解： 当x<1时， f（x）=（3a-1）x+4a递减，得3a-1<0，即a<；当x≥1时， f（x）=logax递减，得0

错因分析：这一错误解法在同学中普遍存在， 选项B是不对的. 主要错误原因是同学们只从局部认识函数f（x）单调递减的意义，没有从全局上理解函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减的深刻含义.

事实上，当x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减，并不能保证f（x）在（-∞，+∞）上递减. 如图1所示，当x1

真正满足题意的是图2的情形，从图上可以看出：除了要满足x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减外，还必须满足[（3a-1）x+4a]min≥（logax）max. 因此在判断分段函数单调性时，要特别注意临界情况的分析.

正解：由题意得3a-1<0，0

【练一练】

（1） 若函数f（x）= ax，x>1，4-x+2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为

.

（A） （1，+∞）

（B） （1，8）

（C） （4，8）

（D） [4，8）

（2） 若函数f（x）=（4-2a2）x+a2，x≤1， 2a+log3（x+2），x>1在区间（0，+∞）上单调递增， 则实数a 的取值范围是 .

（3） 已知函数f（x）=（3-a）x-3，x≤7，ax-6，x>7，数列{an}满足：an=f（n），n∈N*且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 .

【参考答案】

（1）由题意得a>1，4->0，4-×1+2≤a，

所以a>1，a<8，a≥4，解得4≤a<8，选D.

（2） 由题意得4-2a2>0，（4-2a2）×1+a2≤2a+1，

所以-

（3） 当x>7时，由于{an}是递增数列，所以ax-6递增，a>1.同理，x≤7时，（3-a）x-3递增，所以3-a>0，a<3.在两段“衔接”处要求a72或a<-9. 综上可得，a∈（2，3）.

例： 已知f（x）=（3a-1）x+4a，x<1，logax，x≥1是（-∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是 .

（A） （0，1）

（B） 0，

（C） ，

（D） ，1

错解： 当x<1时， f（x）=（3a-1）x+4a递减，得3a-1<0，即a<；当x≥1时， f（x）=logax递减，得0

错因分析：这一错误解法在同学中普遍存在， 选项B是不对的. 主要错误原因是同学们只从局部认识函数f（x）单调递减的意义，没有从全局上理解函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减的深刻含义.

事实上，当x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减，并不能保证f（x）在（-∞，+∞）上递减. 如图1所示，当x1

真正满足题意的是图2的情形，从图上可以看出：除了要满足x<1时f（x）=（3a-1）x+4a递减、x≥1时f（x）=logax递减外，还必须满足[（3a-1）x+4a]min≥（logax）max. 因此在判断分段函数单调性时，要特别注意临界情况的分析.

正解：由题意得3a-1<0，0

【练一练】

（1） 若函数f（x）= ax，x>1，4-x+2，x≤1是R上的增函数，则实数a的取值范围为

.

（A） （1，+∞）

（B） （1，8）

（C） （4，8）

（D） [4，8）

（2） 若函数f（x）=（4-2a2）x+a2，x≤1， 2a+log3（x+2），x>1在区间（0，+∞）上单调递增， 则实数a 的取值范围是 .

（3） 已知函数f（x）=（3-a）x-3，x≤7，ax-6，x>7，数列{an}满足：an=f（n），n∈N*且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 .

【参考答案】

（1）由题意得a>1，4->0，4-×1+2≤a，

所以a>1，a<8，a≥4，解得4≤a<8，选D.

（2） 由题意得4-2a2>0，（4-2a2）×1+a2≤2a+1，

所以-

（3） 当x>7时，由于{an}是递增数列，所以ax-6递增，a>1.同理，x≤7时，（3-a）x-3递增，所以3-a>0，a<3.在两段“衔接”处要求a72或a<-9. 综上可得，a∈（2，3）.