矩阵的三个等价关系辨析

蔡鸣晶

摘 要： 矩阵等价，矩阵相似，矩阵合同是矩阵的三个重要的等价关系.本文首先讨论了矩阵这三种关系各自的意义，然后分析了这三种关系之间的区别和联系，并对这些结论作了相应的理论证明.

关键词： 等价关系 等价矩阵 相似矩阵 合同矩阵

在线性代数中，讨论了矩阵的三种重要关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系.从关系的角度来看，这三种关系都属于等价关系的范畴.初学者常常不能清楚地理解它们之间的联系和差别，会对这三种关系感到迷惑.本文对矩阵的这三种关系进行讨论、分析，辨析它们之间的区别与联系，为学生学习线性代数提供帮助.

1.等价关系的定义[1]

定义1：设R为定义在集合A上的一个关系，若R是自反的，对称的和传递的，则R称为等价关系.用符号“～”表示等价.

自反性就是R中的任意元素和自身有该种关系，即A～A；对称性是若对于R中两个元素A、B，如果A～B，则有B～A；传递性是指对于R中三个元素A、B、C，如果A～B，B～C，则有A～C.

2.矩阵等价、相似、合同的定义[2]

不难证明，矩阵的等价、相似、合同都具有自反性、对称性、传递性，这三者均为等价关系.

3.矩阵等价、相似、合同三者之间的关系

3.1矩阵等价的重要的结论

定理1：矩阵A和B等价的充要条件是它们同型（不要求是方阵）且秩相等[2].

定理2：矩阵A和B等价的充要条件是它们有相同的标准型[2].

定理3：矩阵A和B等价的充要条件是存在可逆矩阵C，D，使得CA=BD.

等价与初等变换有关，秩是矩阵等价关系的不变量，由此可见，两个同型矩阵等价的本质是秩相等[3].

3.2矩阵相似的重要的结论

通过矩阵相似的定义我们注意到，与矩阵等价不同的是，若矩阵A与矩阵相似，则它们不仅为同型矩阵，而且必须是同阶方阵，并且秩相等是矩阵相似的必要条件.

定理4：如果矩阵A和B相似，那么它们有相同的特征值[2].

3.3矩合同的重要的结论

与相似关系相同的是：两矩阵合同，它们必须是同阶方阵.

合同关系与二次型有关，二次型的矩阵必为对称矩阵之间，即，每个二次型均与一个对称矩阵有着一一对应的关系.所以我们主要针对实对称矩阵讨论矩阵的合同关系.

由此可以看出：秩相等是矩阵合同的必要条件，两个同阶对称矩阵合同的本质是秩相等且正惯性指数也相等.

3.3矩阵的等价、合同和相似之间的联系

定理7：相似矩陣必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵.

显然，反之不成立，即等价矩阵未必相似.

定理8：合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵.

显然，反之不成立，即等价矩阵未必合同.

总结：在矩阵的等价、相似、合同这三种等价关系中，等价关系最弱，合同与相似是特殊的等价关系.

矩阵的相似与合同是不能互相推导的，但是如果矩阵具备正交性，则有如下结论.

定理9：正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵.

综上，等价矩阵、相似矩阵、合同矩阵这三者之间的关系可用下图表示：

参考文献：

[1]左孝凌，李为鑑，刘永才编著.离散数学（第1版）[M].上海：上海科学技术文献出版社，1982：131.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1998：188，293，214.

[3]李斐，郭卉.线性代数中的几个等价关系[J].课程教育研究，2013.8.上旬刊：144.