关于脉冲分压电路动态响应的教学研讨

嵇斗 王向军 柳懿

摘要：动态电路分析是电路原理教学中的重点和难点内容之一。以脉冲分压电路在换路后的响应求解这一问题为例，分析了课堂教学过程中学生在电路阶数、响应形式以及求解方法等方面容易发生理解错误的原因，并采用时域、复频域两种分析方法推导获得该电路动态响应的表达式，最后通过电路仿真软件进行教学实验演示，获得了较好的课堂教学效果。

关键词：脉冲分压电路;动态响应;教学

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）32-0098-02

“电路原理”课程是工科电类相关专业的重要专业基础课，课程对于学生掌握电路的基本原理和分析方法、培养学生分析解决电路问题的实际应用能力具有重要作用。[1，2]动态电路的分析涉及较多的理论推导和数学计算，历来是课程教学中的一个重点和难点内容。[3，4]本文以脉冲分压电路的动态响应分析为例开展课堂教学进行讨论，逐一分析学生易发生理解错误的原因，引导学生综合运用多种方法解决动态电路响应的问题，加深了对课程重要知识点的理解，提高了综合分析问题的能力，提高教学的针对性和教学效果。

一、脉冲分压电路

脉冲电路是通信、电子、电气等领域一种常见的基本电路。[5]在脉冲电路中，常将脉冲信号经过电阻分压后输出，而在输出电路中一般会存在着各种形式的电容，就相当于在输出端接上一个等效电容，该电容导致输出电压不能跟随输入电压同步变化，从而引起了输出信号的畸变。为了改善输出波形，使输出电压能紧跟随输入电压一起变化，一般采用RC脉冲分压电路，如图1所示。

图1中电阻R1和R2构成分压电路，C2为输出端等效电容，在电阻R1上并联一个电容C1。图1中，如果选择合适的C1值就可以克服等效电容C2的影响，使输出波形紧跟输入波形变化，C1称为加速电容。本文的目的并非讨论脉冲分压电路的加速电容C1应如何取值，而是以该电路为例讨论一般情况下电压和电流动态响应的问题。

二、脉冲分压电路动态响应的时域分析

在动态电路的响应这一内容的教学实施过程中，学生常常在电路阶数的判断、响应形式以及求解方法等方面的问题上容易发生一些理解上错误和偏差。为了解决这一问题，在课堂教学中笔者举例如下：

例：直流电源E作用下脉冲分压电路如图1所示，t=0时开关K闭合，开关闭合前电路处于稳定状态，求电容电压和电流的响应。

这是一个典型的动态电路响应分析的问题，图1所示电路中开关K闭合前，电路处于稳定状态，则电容C1和C2的电压为：

开关K闭合后瞬间，由基尔霍夫电压定律（KVL），电容C1和C2的电压之和等于电压源电压，即：

（1）

显然换路前后，电容电压发生了跃变，由电荷守恒定律可知，在图1中节点A上：

（2）

由（1）、（2）可知，t=0+时刻可以求解出两个电容电压：

（3）

课堂教学过程中，通过上述分析后出现了两种典型的问题。问题一：有些学生认为本例中电容电压发生强迫跃变后就已经进入稳定状态了，因此式（3）给出的就是该电路换路后的响应。问题二：有些学生认为由于本电路存在两个电容，电路属于二阶电路，需要通过列写二阶微分方程进行讨论，而不能采用一阶电路的三要素法求解。这里首先针对这两种典型的意见分别讨论。

对于第一个问题，学生显然把本题中两个电容看成是简单的串联连接，事实上，从图1中容易看出，两个电容并非串联结构。课堂教学中笔者采用反向思维，假定换路后本电路立即处于新的稳定状态，那么根据稳态电路中电容相当于开路这一结论，由电阻电路的分压公式易得两个电容两端电压的稳态值分别为：

（4）

显然，在一般情况下，式（4）和式（3）的求解结果并不相等，可见电路换路后还要经历一个过渡过程才能到达稳定状态，式（3）求解的只是电压响应的初始值。

对于第二个问题，学生认为本题中含有两个动态元件，因此是二阶电路，这显然是对电路阶数定义的概念理解不深入。本例中，虽然存在两个电容，但并非二阶电路。课堂教学中通过列写电路微分方程的方法分析这一问题。图1电路中，C1、R1并联，C2、R2并联，然后串联，其电流代数和相等，即：

（5）

由把式（1）代入式（5）并整理可得：

（6）

式（6）是关于uC2的一阶微分方程，同理也可得到关于uC1的一阶微分方程。動态电路的阶数与描述电路的微分方程的最高阶数相等[6]，可见，虽然本例中含有两个电容元件，但电路是仍然是一阶电路，可以采用三要素法求解。

这里又产生了第三个问题，本例在利用三要素法求解电路的响应时，由于存在两个电阻、电容并联的结构，学生普遍认为电路中应该存在两个时间常数，即τ1=R1C1和τ2=R2C2，但是这种说法显然与“一阶电路中时间常数τ值唯一”的结论矛盾。发生这个问题的原因在于，学生机械地搬用了单个电容电路中时间常数求解公式，未能理解时间常数这一参数的来源。课堂教学中，笔者从式（6）入手推导了该一阶微分方程解的形式（限于篇幅，略去过程），该方程的特征根p2为：

式中，R、C分别是并联等效电阻和电容值，。

同理可以得到关于uC1的一阶微分方程的特征根p1为：

可以看出，描述电路的两个微分方程的特征根是相同的，根据时间常数的定义，τ值为：

（7）

可见，本例中时间常数是唯一的。

在上述分析的基础上，根据式（3）、（4）和（7）的结果以及一阶电路三要素公式可得：

（8）

需要说明的是，对于实际使用的RC脉冲分压电路，为了使输出波形紧跟输入波形变化，在设计电路时要选择加速电容C1参数，使R1C1=R2C2时，在这种情况下式（8）可以写为：

这说明电路换路后，输出电压能够跟随输入电压变化而变化，不存在过渡过程，可见，实用的脉冲分压电路的响应只是动态响应的特例。

这里还需要提醒学生注意，由于式（8）并非电容电压uC2全时域表达式，不能直接对其微分求解电容C2电流的表达式，这也是学生常发生错误的问题。注意到t<0时，uC2=0，于是可得到：

（9）

按照同样的方法也可获得uC1响应的形式。

由式（9）可以求解出电容C2上的电流响应为：

（10）

从式（10）函数的表达式可以看出，电路中存在强度为EC1C2（C1+C2）的冲激电流，该冲激电流在换路瞬间作用于电容C1和C2，这就是导致电容电压在换路前后发生跃变的原因。

三、动态响应的复频域分析及电路仿真

上面给出的是例题的时域分析方法，在学完动态电路的复频域分析法后，本例还可结合运算等效电路的分析方法对该动态电路的响应进行分析，并与时域分析方法进行对比。图1电路的运算等效电路见图2所示。图2中R1和电容C1并联结构以及R2和电容C2并联结构运算阻抗分别为：

根据分压公式，可以求出电容运算电压为：

（11）

显然，由式（11）经过拉普拉斯反变换可以获得与式（9）相同的求解结果。由式（11）还可得到电容C1上的运算电流为：

（12）

对式（12）的函数表达式进行拉普拉斯反变换，可以得到与式（10）相同的电流表达式。

上面用两种分析方法都得到了脉冲分压电路的动态响应，课堂教学分析的过程使学生巩固了已学知识。电路仿真软件对于加深理解提高学习积极性有较大帮助。[7]在课堂教学过程中，笔者通过电路仿真软件，现场搭建了仿真电路，向学生演示了仿真结果，进一步验证上述时域和复频域响应的分析结果。

利用EWB软件搭建如图3（a）所示的仿真电路[8]，仿真电路运行结果见图3（b）所示，可以看出电路换路后电容电压发生跃变，然后进入过渡过程，电路仿真结果和理论计算结果一致。

四、结语

在电路课堂教学中，特别在讲授较为复杂难于理解的教学内容時，要实时抓住学生的认识疑点和误区，引导学生进行讨论和思考，同时根据学生的学习情况，可采用多种不同分析方法加以推导论证，必要时还可进行电路仿真分析和实验分析，可以更加直观地表现出电路中各变量的变化特点，使理论分析的结果得到进一步验证。这些对于提高课堂教学效果、培养学生的逻辑分析能力是有较大帮助的。

参考文献：

[1]单潮龙，王向军，嵇斗，等.电路[M].北京：国防工业出版社，2014.

[2]于歆杰，陆文娟，王树民.专业基础课教学内容的选材与创新-清华大学电路原理课程案例研究[J].电气电子教学学报，2006，28（3）：1-5

[3]嵇斗，单潮龙，王向军.《电路》课程教学方法研讨[J].海军工程大学学报（综合版），2007，（11）：91-92.

[4]王庆义，晋芳.提高“电路分析”教学质量的若干体会[J].中国电力教育，2011，（36）：200-201.

[5]陈传虞.脉冲与数字电路[M].北京：高等教育出版社，2011.

[6]吴大正.电路基础[M].西安：西安电子科技大学出版社，2000.

[7]肖冬萍，李新.仿真实验在“电路原理”理论教学中的应用[J].电气电子教学学报，2009，31（2）：97-98.

[8]韩力，等.EWB应用教程[M].北京：电子工业出版社，2003.

（责任编辑：王祝萍）