几种非常规数学问题一般解法

吴媚

【摘 要】非常规逻辑问题需要非常规的特殊解法，本文就最常用的图解法、赋值法、抽屉原理及逻辑推理等四种方法，结合实际例子作一些探讨。

【关键词】非常规问题;图解;赋值;抽屉原理;逻辑推理

有一些数学问题，例如操作问题、逻辑推理问题等，不能用通常的数学方法来解;还有一些实际问题，研究的是事物的某种状态或性质，其本身与数量无关，也不能用通常的数学方法来解。人们习惯上将上述的这类问题称为非常规逻辑问题。非常规逻辑问题近年来在各种数学竞赛、数学建模竞赛及数学知识应用竞赛等赛题中频频出现，特别是它与实际问题密切联系，因此受到广泛关注。

1 图解法

例1（柳卡问题）：假设每天中午有一艘轮船由哈佛开往纽约，同时也有一艘轮船由纽约开往哈佛，航行时间都为七昼夜，且均沿同一航线航行。问今天中午从哈佛开出的一艘轮船将会遇到几艘从纽约开来的同一公司的轮船？

这是19世纪在一次世界科学会议期间，法国数学家柳卡向在场的数学家们提出的一个问题，它难倒了在场的所有数学家，就连柳卡本人也没有彻底解决。后来有一位数学家通过下面的图解法，才使问题最终得到解决。

这种方法是：用两条横线分别表示纽约港和哈佛港，某天中午（记作第0天）从哈佛出发的轮船在第7天中午到达纽约，用从下到上的一条斜线表示。用从上到下的斜线依次表示每天中午由纽约开出的轮船经7昼夜到达哈佛。显然两种斜线的交点总数就是相遇的轮船数，共15艘。

值得注意的是，上述图解法，不但给出这一问题的一种简单、美妙、不用数字计算的非常规解法，更有意义的是它可作为一种模型，来解决这一类型的问题， 请看下例：

例2：某路电车，由A站开往B站，每5分钟发一辆车，全程为20分钟。有一人骑车从B站到A站，在他出发时恰有一辆电车进站，当他到达A站时又恰有一辆电车出站，问：

（1）若骑车人在中途共遇到对面开来的10辆电车，则他出发后多少分钟到达A站？

（2）如果骑车人由B站到A站共用50分钟时间，则他一共遇到多少辆迎面开来的电车？

（3）若骑车人同某辆电车同时出发由A站返回B站，骑车人用40分钟到达B站时也恰有一辆电车进站，问在中途有多少辆电车超过他？

解：仿柳卡问题图解法，画出下面的图：

由图可知：（1）骑车人从B站总共遇到12辆从对面开来的电车到达A站所用的时间，恰好等于A站开出7辆车的时间，即35分钟。

（2）若骑车人一共用50分钟走完全程（即由0到10的那條由下到上的斜线），可知一共遇到15辆电车。

（3）由上到下画一条斜线（由0到8）即表示骑车人由A站出发40分钟后到达B站，可见中途共有3辆电车超过他。

2 赋值法

赋值法解题，是对本身与数量无关的问题巧妙地赋于某些特殊的数值（如±1、0与1等）将其转化成数量问题，然后利用整除性、奇偶性或正负号等的讨论，使问题得以解决。

例3：有11只杯子都口朝上放着，然后将它们任意翻偶数只算一次操作（翻过的也可以再翻）。证明：无论操作多少次，都不能使11只杯子都口朝下。

解：将口朝上的杯子记为1，口朝下的记为-1，然后计算每操作一次后11只杯子乘积的正负号：

开始，11只杯子都口朝上，所以乘积的符号为：111=1

当翻动n个杯子（n为偶数且n≤10）使其口朝下时，乘积的符号为：

111-n·（-1）n=1·1=1

继续讨论可知，无论n是小于11的什么偶数，乘积的正负号均为正，而11只杯子都口朝下时，乘积为（-1）11=-1，故不可能办到。

本问题的一般结论是：奇数个杯子每次翻动偶数个或偶数个杯子每次翻动奇数个，都不能使所有杯子都口朝下。

3 抽屉原理

抽屉原理是证明“存在性”问题的有力工具，其最基本形式是：将n+1（或更多）个元素任意放入n个抽屉中，则至少有一个抽屉中至少有两个（或更多）元素。抽屉原理的正确性简单而显然，但具体运用并不容易，困难之处在于怎样设置抽屉，把一个实际问题转化为抽屉原理问题。

例4：世界上任意6个人中，总有3个人，或彼此都认识，或彼此都不认识。

这是有名的Ramsey问题，要用抽屉原理来解。

对6个人中的任一个人，不妨设为A来说，除A外的其余5人可分为同A相识或不同A相识两类（即两个抽屉），由抽屉原理可知，至少有一类中至少有3个人。分别讨论如下：

如果同A都认识的那一类中至少有3人，若有3人互相都不认识，则结论成立;否则至少有两个人互相认识，而这两人又都同A认识，故有3人互相认识，结论也成立。

如果同A都不认识的那一类中至少有3人，若其中有3人互相认识，则结论成立;否则，至少有两人彼此不认识，但这二人又都与A互不认识，故这时有3人互相不认识，结论也成立。

此问题也可以用染色法来证明：

在平面上用A1，A2，…，A6来代表6个人，设它们无三点共线。将互相认识的两人连一条红线，否则连一条蓝线。问题就转化为：在这15条连线中要证明至少有一个同颜色的三角形。

证明：考虑由A1出发的5条线，因为只有红、蓝两种颜色（两个抽屉），所以至少有3条为同色，不妨设A1A2、A1A3、A1A4为红色。其次，再考虑△A2A3A4三边的颜色，若均为蓝色则结论成立（此三人互相不认识）;否则，至少有一条边为红色，例如A2A3，则△A1A2A3的三边都为红色，结论也成立（此三人彼此都认识）。

4 逻辑推理

有一些涉及逻辑推理方面的问题，可通过逻辑推理方法，将矛盾结论排除，找出合理结论。推理顺序有顺推法和逆推法。

例5：要分派A、B、C、D、E五人去执行一项任务，但按实际情况必须满足以下条件：

（1）若A去，B也去;

（2）B、C两人中至少有一人去;

（3）B、C两人中必须去且只能去一人;

（4）C、D都去或都不去;

（5）E若去，则A、D都去。

问：应派谁去？

解：（逆推）：

若E去→A、D都去→B去→C不去→D不去，导自矛盾。

所以E不能去。E不去→D去→C去→B不去→A不去，符合所有条件。

∴应当派C、D去。

例6：有4个人对话：甲说：我们当中只有一个人说假话。乙说：我们当中仅有两个人说假话。丙说：我们当中恰有三个人说假话。丁说：我们都说假话。试问：到底谁说的是真话？

解：因为四个人说的话彼此矛盾，所以不会有两个人都说真话，至多有一个人说真话。

但四个人不都说假话（因为这时丁说的就是真话）。

由上推理可知，恰有一个人（即丙）说真话，其他人都说假话。

【参考文献】

[1]伯纳·派顿，黄煜文.身边的逻辑学[M].中信出版社，2011.

[2]余亚杰.逻辑思维训练大全集[M].同心出版社，2012.

[3]邢群麟，王艳明.一看就懂逻辑思维（图解）[M].立信会计出版社，2010.

[责任编辑：薛俊歌]