浅析立体几何应用题的三种解法

张文军

【摘要】文章针对教材中一道立方体几何应用题的解法进行评析，然后给出本题的其他解法，总结出解决立体几何的三种解法：坐标法、向量法、综合法.

【关键词】立体几何 评析 解法

1.问题引入

高中数学教材人教A版选修2-1第三章开始引入的问题是：一块均匀的正三角形面的钢板质量为500 kg，在它的顶点处分别受力F1，F2，F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，且|F1|=|F2|=|F3|=200 kg.这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板？然后在3.2立体几何中的向量方法中以例3形式呈现问题并解决问题（注：2013年6月印版的例3与引入问题有一些数字改动：钢板质量为50 kg，力的大小为200 N）.

2.教材解法评析

教材如图3.2-6所示建立空间直角坐标系而解决问题（具体解法见教材）.下面对教材的解法进行几点评析：

（1）教材中建立空间直角坐标系的方法不是最好的.坐标系的建立方法是不唯一的，原则上是任意的，不会影响到最终结果;但通常为了简化运算，我们要恰当建系.怎样才算恰当呢？通常要尽量利用已知中现有或隐含的垂直关系以及图形的对称关系进行建系，使尽量多的点落在坐标轴上.笔者认为本例最好的建系方法应是以正三角形一边为一轴，且以其中点为原点，竖直方向为z轴，进行建系.

（2）单位向量的引入未能起到简化运算作用，无理式运算结果应化简.教材引入力F1方向上的单位向量，这是学生难以想到的.引入单位向量的本意应是简化运算，但在本例中未能起到显著的简化作用.另外教材中是怎样解方程组得到，十分令人费解，可能是为了方便代入后面的二次方程吧.笔者认为应是x=-123=-36，z=23=63.简洁性是数学的基本特征，运算结果能化简的应化简.另外几何中若题设的正方体棱长，正方形或正三角形边长不影响题解结果，为了简化运算，通常可以设其为1单位，若题设中还出现中点，也可以设棱长或边长为2单位.例如本题宜设正三角形的边长为2长度单位.

（3）三个力的坐标的计算方法类似，本质无区别，但有细节处理须注意.教材在求出力F1的坐标后，直接类似地得出力F2，F3的坐标.题设是三个力同它相邻的三角形的两边之间的夹角都为60°，因此三个力坐标的计算方法是类似的，但有细节处理须注意：题意是力与三角形边的夾角，转化为两向量的夹角时必须注意两向量的起点，否则向量的夹角可能不同.本例中学生很容易误认为F2与AB的夹角，F3与AC及BC的夹角仍为60°，这样不可能计算出正确的结果.

（4）合力的作用点不能由合力的（向量）坐标确定.教材在求出合力坐标后，有这样一句话：“这说明，作用在钢板上的合力方向向上，大小为2006 N，作用点为O.”其中对力作用点的位置确定是准确的，但其理由不应是合力的向量坐标.笔者认为本例中合力的作用点可以直观观察，不需理由;或从力的平衡、图形的对称上理解，也不需证明;严格的证明需要物理上的力矩等概念来推理计算.向量和力是有区别的：向量是自由的，可以进行任意平移;力是众多向量中的一种，是有一定物理意义的向量.大小、方向和作用点是力的三要素，表示力的有向线段一般不能随意平移：只研究力的大小和方向时可以平移，这不改变力的性质，但要关注力的作用效果或力的作用点时，不能平移，否则可能改变力的性质.

3.本例的其他解法

教材在题后给出探究：不建立坐标系，如何解决这个问题？下面给出四种解法：

解法2（向量法）：以AB，AC，F1方向上的单位向量{e1，e2，e3}为空间的一个基底，则由题意有

e1·e2=e2·e3=e3·e1=12，F1=0·e1+0·e2+200e3.

设AB=λ·e1+0·e2+0·e3，AC=0·e1+λ·e2+0·e3，F2=xe1+ye2+ze3，则有

F2·BA=（xe1+ye2+ze3）·（-λe1）=-λ（x+y2+z2）=200×λ×12

F2·BC=（xe1+ye2+ze3）·λ（e2-e1）=λ（-x2+y2）=200×λ×12

|F2|2=x2+y2+z2+xy+yz+zx=2002，联立以上三式可解得x=-200，y=0，z=200

即F2=-200e1+0·e2+200e3，同理可得F3=0·e1-200e2+200e3，

所以F1+F2+F3=-200e1-200e2+600e3，|F1+F2+F3|=2006N.

易知（F1+F2+F3）·AB=0，（F1+F2+F3）·AC=0，即合力方向为竖直方向，显然向上，作用点为O.（下略）

解法3（向量法）：以AB，AC，F1方向上的单位向量{e1，e2，e3}为空间的一个基底，则F1=200e3，由题意可以把力F2，F3的起点分别沿BA，CA方向平移至B1，C1使三力的终点重合于力F1的终点E，易知此时E-AB1C1是正四面体，则EA=AB1=AC1=200，即AB1=200e1，AC1=200e2，

F2=F1-AB1=-200e1+0·e2+200e3，

F3=F1-AC1=0·e1-200e2+200e3，

F1+F2+F3=-200e1-200e2+600e3，

|F1+F2+F3|=2006N.

易知（F1+F2+F3）·AB=0，（F1+F2+F3）·AC=0，即合力方向为竖直方向，显然向上.（下略）

解法4（综合法）：由相关物理知识，显然合力方向向上，作用点为O，三个力在水平面上的合力为零，因此只需算出每个力向上的分力即可，设三角形ABC的中心为O，力F1的终点为E，由∠EAB=∠EAC=60°，易知点E在底面ABC上的射影G在AO上，作GF⊥AB于F，则AE=200，AF=100，AG=100cos30°=20033，EG=AE2-AG2=20063，即力F1向上方向的分力大小为20063N，同理可得其他两力在向上方向的分力大小也为20063N;（下略）.

所以三力向上方向的合力大小为2006N.

解法5（向量法）：由题意易知表示三力的有向线段均落在一个正四面体D-ABC的侧棱上.（可以把三个力的起点平移至点D处）所以三个力两两夹角均为600，显然合力方向向上，作用点为O，合力大小为：

|F1+F2+F3|=

F12+F22+F32+2F1·F2+2F2·F3+2F3·F1=2006N.（下略）

4.解法评析

（1）教材解法（解法1，坐标法）以直角坐标形式表示三个力，再进行向量运算而求出三个力的坐标及它们的合力，结果不仅能求出合力的大小，而且能从合力的坐标直接看出合力的方向;其他解法只能求出合力大小，合力方向还需另外计算或回到图形中或用相关物理知识来确定.合力的作用点只能直观观察.

（2）前四种解法本质一致，都是把力（向量）进行分解.解法1是解法2的特殊情形，即解法1中取正交基底，从而可把向量用坐标表示;而解法2取的是斜交基底，更具一般性，实质上是空间向量基本定理的具体运用.因为正交基底的特殊性，使解法1在运算上较解法2快.解法2，3相同之处是都取斜交基底，但解法3结合运用了几何推理，从而使向量的运算变得非常简单.解法4仍是把向量进行分解，但只关注向上方向的分解，结合几何推理，运算也较快.解法5不再对向量进行分解，而是充分利用题设的特殊性（也有几何推理成分，其本质是空间三个不共面向量加法的平行六面体法则），直接求向量大小（模），运算快得几乎心算几秒就完成.

（3）解法4从几何角度揭示问题的本质：求正三棱台的高.解法5从向量角度揭示问题的本质：求平行六面体的对角线长.两者都可揭示：当三力的合力刚好与钢板的重力平衡时，表示三力的有向线段和三角形ABC的三边形成正四面体的各棱;当三力的合力小于钢板的重力时，把表示三力的有向线段终点相连，它们和正三角形钢板的三边形成正三棱台（若把三力平移至终点合为一点，则终点和平移后的三个起点形成正四面体的顶点，正四面体的棱长小于正三角形ABC的边长）;当三力的合力大于钢板的重力时，三力必交于一点D，D-ABC形成正四面体，三力的终点和D也形成一个较小的倒置的正四面体.

5.结 语

教材在最后有总结：解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合方法、向量方法、坐标方法.并提问：你能说出它们各自的特点吗？

综合法可能要添加一些辅助线，对较多的几何定义、定理、公理要能熟练运用，对空间的想象能力和逻辑推理能力要求较高，突破综合法难点需要平时注意积累基本图形的特征，比如正方体、正四面体等，并掌握一些添加辅助线的基本方法;具体到本例，要熟悉：斜线与平面一个角的两边夹角相等，则斜线在平面的射影为角的平分线.向量方法有固定的形式，即选好基底后，把其他向量均用基底表示再利用向量的运算解决问题，其中基底的选取及向量回路的选择较自由而显得有难度，且用向量计算长度有时运算量较大，对运算能力要求较高，突破向量法难点需要根据题设特点选好基底（通常要知道基底三向量的夹角和长度），准确地找到向量回路从而快速地把其他向量用基底表示，或通过设系数，再解方程求出系数;具体到本例，已知夹角，还需引入单位向量或设参数才能确定基底，解法3注意运用向量回路，计算就简单些，解法5就是基底选得好，使运算更快.另外向量法必须向量参与运算，因此向量的相关运算要熟悉，特别是向量的夹角要注意向量的起点.坐标法是向量法的特殊情形，也有固定的形式，即恰当建立空间直角坐标系，然后求出相关点坐标，进而求出向量坐标，最后用向量的坐标运算解决问题，其中坐标系的建立可能有难度，对解方程组等代数运算能力要求较高，突破坐标法难点需要根据题设恰当建立坐标系（充分利用已知或隐含的垂直关系及图形的对称性），然后据条件算出相关点或向量的坐标，平时须多加练习，提高运算的速度和准确度;具体到本例，没有三垂直关系，建系显得有点难，更难的是相关的坐标需要复杂的运算.

对三种方法的定位，笔者认为要以综合法为基础，综合运用，不能独立专注于某一方法;平时练习要多角度考虑，三种方法都应掌握.三種方法，综合方法应是主角，是基础，后两种方法注意不要脱离几何特征，否则容易陷入复杂的运算中.比如本例中解法1，2，运算较复杂，若注意图形几何特征，运用几何推理，可以不用复杂运算而直接得出另外两力的表达式达到快速解决问题，即解法3，4，5.应试时应根据题设的特点选择合适的一种方法，若选用向量法或坐标法一定要注意适当综合几何推理.