化干戈为玉帛

许琴

含参数问题在近几年高考中屡见不鲜，也是各大省市命题的热点.学生对含参数问题普遍觉得很抽象，要么放弃不做，要么讨论不周全，处理得不够好，缺乏深层次的认识.其实可以化干戈为玉帛，让学生由听懂、看懂转变为能独立驾驭含参数问题.下面通过几道例题来谈谈我的一些粗浅的做法，以飨读者.

一、优先分离，避免讨论

例1 函数f（x）=x+1x，g（x）=ax-lnx，若对任意的x1，x2∈1，e，都有f（x1）≥gx2成立，求实数a的取值范围.

解法一 由题意转化成f（x）min≥g（x）max.

f（x）=x+1x在[1，e]上的最小值为f（1）=2，

g′（x）=ax-1x.

当a≤0时，g（x）在[1，e]上单调减，g（x）max=g（1）≤2，解得a≤0.

当a>0时，（1）0<1a≤1，即a≥1，g（x）在[1，e]上单调增，g（x）max=g（e）≤2，解得1≤a≤3e;

（2）1<1a

（3）1a≥e，即0

综上得：a的取值范围是-∞，3e.

解法一是该题的常规思路，经历了二重讨论，即参数a与0的比较及a与区间端点的比较.讨论烦琐，耗时长，对于不少高中生来说容易层次不清，讨论不全面，难以坚持到最后.其实可以冲破思维定式，避开参数的讨论，迅速准确地解决问题.

解法二 由题意转化成f（x）min≥g（x），再由分离变量法，解出字母a的范围.

f（x）=x+1x在[1，e]上的最小值为f（1）=2，

则有ax-lnx≤2，可变形为a≤2+lnxx，记h（x）=2+lnxx，即a≤h（x）min，

h′（x）=-1-lnxx<0，則h（x）在[1，e]上单调减，h（x）min=h（e）=3e，即a≤3e.

对比两种解法，显然解法二简单易懂，它的本质是先求出不含参数一边的最值，含参数一边通过分离变量法求出最值，避开了字母讨论.解法二耗时短，易操作，摒弃了直觉判断的参数讨论，开创了解题新思路，充分展现了数学简洁美，起到了事半功倍的效果.

二、挖掘隐含条件，缩小字母范围，简化讨论过程

例2 （2011·浙江）设函数f（x）=a2lnx-x2+ax，a>0.

（1）求f（x）的单调区间;

（2）求所有的实数a，使e-1≤f（x）≤e2对x∈1，e恒成立.

在高考中第（2）问得分率很低，主要是考生对f（x）最值的求解分三种情况进行了讨论（即参数a与区间端点位置之间的关系讨论），运算量大，而且得不到最终结果，究其原因是有些不等式不易求解.如何避开题目预设好的窠臼，抓住题目的已知条件，将参数a的范围进行缩小，这样才可以使解题的复杂程度降低，效率大大提高.解法如下：

解 （1）f′（x）=a2x-2x+a=-（x-a）（2x+a）x，由于a>0，所以f（x）的增区间为（0，a），减区间为（a，+∞）.

（2）由题意得，f（1）=a-1≥e-1，即a≥e，由（1）知f（x）在1，e内单调增，

要使e-1≤f（x）≤e2对x∈1，e恒成立，只要f（1）≥e-1

f（e）≤e2，解得a=e.

这样的例子不乏少见，如2013年上海高考题（2013·上海）：设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x<0时，f（x）=9x+a2x+7.若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，求a的取值范围.

此题可通过f（0）≥a+1将参数a的范围进行约束，从而大大简化运算过程.在时间受限，大脑高度紧张的考试状态下，此法可谓大快人心！

学生对参数问题的掌握是一个长期潜移默化的过程，应根据题目条件，仔细探究选择“通法”还是“巧法”.唯有不断在学中反思，在反思中学，才能积累方法，优选方法，找准解题的着力点与落脚点，实现含参问题的游刃有余.