一“数”之变 异彩纷呈

冯菁菁 高浩

以下是笔者通过对一道数列题改变一个数字进行探究，发现解法优美、内涵丰富、异彩纷呈，写下来与大家交流，希望能够给读者在递推数列解题方面带来一点启示.

一、试题呈现

题目1：已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n.

（1）若bn=an2n-1，求证：bn是等差数列;

（2）数列{an}的前n项和Sn.

这是一道递推数列试题，第（1）问不难证明，第（2）问关键是求通项an.

简解 （1）an+1=2an+2nan+12n=an2n-1+1，∴bn是等差数列且公差为1，首项为1.

（2）由（1）知an2n-1=n，从而an=n2n-1，接下来用错位相减法求Sn.

解题反思 （ⅰ）本题通过构造等差数列，求通项an，体现了转化化归的数学思想.

（ⅱ）若本题题干中改变一个数字，又会怎么样呢？又该怎样求数列通项an呢？

变式：

题目2：已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n，求通项an.

题目3：已知数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n，求通项an.

二、解法探究

关于题目2

解法1（累加法） an+1-an=2nan=（an-an-1）+（an-an-1）+…+（a2-a1）+a1

=2n-1+2n-2+…+2+1=1-2n1-2=2n-1.

解法2（迭代法） ∵an+1=an+2n，∴an=an-1+2n-1=an-2+2n-2+2n-1

=an-3+2n-3+2n-2+2n-1=…=1+2+…+2n-3+2n-2+2n-1=2n-1.

解法3（构造常数列） 由an+1=an+2nan+1-2n+1=an-2n，所以an-2n是常数列.

∴an-2n=a1-2，故an=2n-1.

关于题目3

解法1 由an+1=3an+2nan+1+2n+1=3（an+2n），所以{an+2n}是等比数列.

故an+2n=3n，即有an=3n-2n.

解法2 由an+1=3an+2n an+12n=32·an2n-1+1.令bn=an2n-1，则有bn+1=32bn+1

bn+1+2=32（bn+2）.所以bn+2是等比数列.∴bn+2=332n，即an2n-1=332n-1-2，从而an=3n-2n.

解法3 由an+1=3an+2n an+12n=32·an2n-1+1.

令bn=an2n-1，得bn+1=32bn+1，①.

n≥2时，bn=32bn-1+1，②.①-②得bn+1-bn=32（bn-bn-1），所以bn+1-bn是等比数列（首项b2-b1=32），则有bn+1-bn=（32）n.以下用累加法，可求得bn=232n-1，從而an=3n-2n.

解法4 由an+1=3an+2nan+13n=an3n-1+23n.令cn=an3n-1，得cn+1=cn+23n.c1=1转化为题目2类型（可用累加法、迭代法和构造常数列等解决）.

评注 以上解法蕴含着转化化归的数学思想，这种思想方法是高考考查重点，这里的转化化归有两个方向：一是向等差（比）数列转化;二是向简单的递推关系转化，如an= an-1 + f （n）等.

解法5 （迭代法）

∵an+1=3an+2n，

∴an=3an-1+2n-1

=3（3an-2+2n-2）+2n-1

=32（3an-3+2n-3）+3·2n-2+2n-1=…

=3n-1+3n-2·2+3n-3·22+…+3·2n-2+2n-1

=3n-2n.

三、一点思考

笔者认为数列教学中培养学生向等差、等比数列转化的强烈目标意识以及进行“类似结构”的训练是解决该问题行之有效的办法.根据递推关系式求数列的通项公式，是数列的一个重点，也是一个难点.通过以上变式探究，使我们学会对问题进行反思，掌握探究拓展的方法，以达到解一题，通一类，带一串的目的.培养学生举一反三、触类旁通的能力，这不仅锻炼了学生的数学思维，同时在探究中培养了数学学习的乐趣.