CDIO教育理念下概率论与数理统计课程教学改革的几点思考

张翠杰 刘广瑄

【摘要】数学教育的目的不仅在于为学生提供一门专业知识的传授，更是培养学生的数学逻辑思维能力的一种训练，提高学生数学素养.在新的教育模式下，概率论与数理统计课程改革的重要性和必要性是不言而喻的.本文从几个方面谈了谈概率论与数理统计课程教学改革的几点想法.

【关键词】教学改革;CDIO工程教育模式;实践教学

培养创新型人才，是当今世界教育改革的潮流.而培养创新型人才必须依托于创新教育模式.工程教育是为国家输送工程技术人才的重要渠道.但日前工程人才短缺已凸显出来.为了培养更多的工程人才，各个院校都相继进行工程教育改革.CDIO工程教育模式等各种新型教育模式就是在这样背景下产生的.与此同时，概率论正突破传统的应用范围向各个领域渗透，和其他学科的交互作用日益活跃.英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾对概率论大加赞美：“概率论是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难行，无所作为.”因此，对概率论与数理统计课程的教育和学生概率统计素质的培养显得尤为重要.

一、前 言

CDIO工程教育理念最初是由麻省理工学院和瑞典皇家工学院等四所大学合作创立的，其中“CDIO”代表着构思（Conceive）、设计（Design）、实施（Implement）和运作（Operate），让学生以主动的、实践的、课程间的联系为方式来学习工程技术，是倡导“做中学”的一种教学理念.CDIO工程教育模式要求以教师为引导，以学生为主体，加强实践教学，注重培养学生的创新意识和创新能力.

概率论与数理统计是高等院校中一门重要的公共基础课之一，但它又不同于高等数学、线性代数等其他数学类的公共基础课.它是研究随机现象、揭示随机现象的统计规律性的一门实用性很强的数学学科.而随机现象广泛存在于现实生活的各个领域、各个方面.因此这门学科在很多领域都有着广泛的应用.同时它又不同于那些直接贴近于工程项目的专业课程，概率论与数理统计这门课程又属于基础数学类课程，为学生传承着数学的思想和以数学为工具解决实际问题的方法.具体地说，概率论与数理统计课程为学生讲授处理随机现象的基本思想和基本方法，培养学生运用概率统计的理论和方法来分析和解决实际问题的能力.

在教育改革的潮流下，概率论与数理统计课程问题凸显出来.在以往课程教学中只偏重例题和公式的讲解，而忽视了基本概念的讲解、理论思想的讲解和实践应用环节的训练，使学生为考试而学习，学后无用，致使学生在实践中遇到概率统计问题时往往束手无策，无法用概率统计的方法分析问题.有的学生可能考试后的第二天就全忘了，实际上学生并没有真正的理解概念，吃透概念.要培养创新型人才，适应新型的教育理念，就不能再沿用以往的教学方法和教学模式，概率论与数理统计课程改革的重要性和必要性是不言而喻的.

二、注重数学思想和方法的教学改革

对于一门数学课程的讲授的关键来说，就是应该把数学课程的思想即贯穿课程始终的精髓讲解出来.数学思想是理论的基础，是数学理论的精髓所在，即其本质的东西.

最能体现出数学思想，无非就是“概念”的讲授.“概念”往往是最不好讲的，如何把它的本质抽出来，又如何把它的本质通俗易懂地、生动活泼地、更具有吸引力地展现给学生.这应该是每个教师一直努力的目标.为了这个目标，教师需要不停地探索，不停地收集各种資料，参看各种资源.对于一个概念，是先抛出一个问题，启发式地引出概念的定义，还是直接给出概念，用一个例子去解释它的本质，可能还要教师具体问题具体分析了.比如说讲解“相关系数”这个概念，光是给出公式，学生是不能真正吃透概念的.要讲好这个概念，我认为要从为什么要引入这个概念出发.虽然协方差也能反映两个随机变量之间的关系，但是要受变量所用的度量单位的影响.比如考虑随机变量（X，Y），X表示人群的体重，Y表示人群的身高，如果度量单位发生变化，X，Y将会翻倍，根据协方差公式Cov（aX， bY）=abCov（X，Y），相应的协方差就会翻倍.因此要引入相关系数，它是不受度量的单位的影响，是一个无量纲的量.

数学思想也体现在公式的讲解上，教师必须讲明白公式是干什么的，解决什么问题的，只有让学生明白这一点，才能真正明白这个公式怎么去用.全概率公式是概率论中的一个基本公式，可能教师反复地强调它是非常重要的，而忽略了它的本质的东西.它是用于计算较复杂事件的概率问题，将复杂事件的概率化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题.公式指出： 在复杂情况下直接计算P（B）不易时，可根据具体情况构造一个划分Ai， 使事件B发生的概率是各事件Ai（i=1，2，…）发生条件下引起事件B发生的概率的总和.如果学生真正明白全概率公式的本质用途的话，那么就能通过综合分析一事件发生的不同原因、不同情况或不同途径来找到样本空间的一个划分，从而利用全概率公式来求得这个复杂事件发生的概率.

数学思想和数学方法往往要借助启发式教学、案例式教学等这些教学手段来体现.比如说讲解最大似然估计法时，我们可以首先说一个例子：某同学与一位猎人一起去打猎，假设同学打中的概率为0.1，猎人击中的概率为0.9，若一只野兔从前方蹿过， 只听一声枪响， 野兔应声倒下， 让学生猜测是谁打中的？这样就把学生的注意力吸引过来了.学生肯定会猜测是猎人打中的.由于只发一枪便打中，而猎人命中的概率大于这名同学命中的概率， 故一般会猜测这一枪是猎人射中的.这实际上就是一个参数估计问题，参数p有两个可能取值，对于事件A“只发一枪就打中”已经发生了，我们认为事件发生的可能性应该很大.因此我们就找p的值使得事件A发生的概率达到最大.这就是最大似然估计的思想，也就是在已经得到实验结果的情况下，寻找使这个结果出现的可能性最大的那个θ作为θ的估计θ^.这样学生对最大似然估计法有所了解，在深入讲解时，学生就更容易理解.

三、注重以学生为本的教学改革

在经典的教育模式下，往往是以老师为主体，教师在教学过程中占有主要的地位.随着教育模式的改革，无论是CDIO工程教育模式还是卓越工程师教育培养模式，为了顺应课程教学的模式，提高学生的主动性和积极性，都要求以教师为引导，以学生为主体.

在课堂教学中，教师要时刻牢记以学生为本，要切实地改变教学方法，重新设计教学环节，既要做到有知识性和趣味性，又要有思想性和应用性.教师应该选择具有代表性的有关课程的应用案例，最好和学生的专业相关，指导学生去思考、讨论、解答，使学生充分地认识到概率论与数理统计这门课程的实用性，培养学生的建模能力.

积极改变习题课的上课模式，不再以教师讲授为主，而是把主动权交给学生.习题课分成两个部分，一部分是对这一章的重点题型、重点方法的讲解与训练，主要以学生练习为主、教师精讲为辅的模式开展.另一部分是讨论题部分，主要是以概率为工具来解决一些贴近实际生活的例子，讨论题多提前布置下去，把学生分成几个小组，上课时主要以学生讲解讨论为主，老师只是作适当的引导和点评.总之，习题课就是以“教师精讲，学生多练”为模式，鼓励学生多说、多练、多动脑，切实地让学生参与到课堂上来，更好地融入课堂教学中来.从而激发学生的学习热情，增强学生的团队精神和集体荣誉感，培养学生的竞争意识与综合素质.

以学生为主的教学改革，也要注重考核制度的改革.以往考核就是最后期末的一张卷子，最后及格就及格了，不及格就不及格，平时的表现几乎不起任何作用，增加学生对最后考试的重视，而忽视平时学习过程中的表现，更有甚者，得过且过，总觉得有时间，总想等到期末的时候再努力，可殊不知到期末前，发现内容太多，拉下的功课已经不容易补上了.基于这种情况，我们多次进行阶段性考试，随时关注学生知识点掌握的情况，根据阶段性考试反映出的问题，积极调整课堂的教学进度.同时也增加考核制度中平时所占的比重，让考核制度更能反映学生的学习情况.

四、注重与实际问题相连的教学改革

新型教育模式，重点放在学生能力的培养.在选讲例题和讨论题中，一定要注意给学生留一些实际的例子或者贴近生活的例子，让他们了解如何用数学的知识，用概率统计的知识来解释实际的问题.学生最初碰到这些题目时，往往一筹莫展，毫无头绪，无从下手.但通过这方面的练习将有助于提升学生的数学素养和运用数学解决问题的能力.

对于例题和讨论题的选择上应该由易到难.比如说我们在讲完伯努利概型时，我们就可以给同学留下如下贴近生活的讨论题：

例题：在平常的生活中，人们常常用“水滴石穿”“只要功夫深，铁杵磨成针”来形容有志者事竟成，但是，也有人认为这些是不可能的.如果从概率的角度来看，就会发现这是很有道理的.这是为什么？

这是一个很小的用概率来解释问题的例子.这个例子实际上就是如下的问题：

设在一次实验中，事件A发生的概率为ε>0，独立重复该试验n次，求事件A至少发生一次的概率.

同时我们也可以给出如下贴近生活的例子：

例题：春节燃放烟花爆竹是延续了两千余年的民族传统，早已成为我国悠久历史文化的一部分，但是燃放烟花爆竹也常常引发意外，造成惨剧.假设每次燃放烟花爆竹引发火警的概率是十万分之一.如果春节期间北京有100万人次燃放烟花爆竹，计算没有引发火警的概率.

以上这两个例子都很简单，用到的知识并不多，但是却能反映出用概率来解决问题.这两个例子无非就是说明了：小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，但在长期的大量的重复独立试验中，它又几乎是必然会发生.但是通过这些实际的例子，可以让学生能更好地理解“小概率原则”.当然随着课程的进展，到课程后面就可以找一下综合一点的题目.尤其是讲解统计部分，这种实际问题更是很多的.

五、在新型教育模式下年轻教师的发展

首先，年轻教师要注重数学史的学习.数学史记录了数学的起源，只有了解了数学发展史才能理清数学发展的起源，才能更好地把握数学课程的精髓所在.另外数学史中含有关于数学家的一些小故事，如果能合理地应用到课堂上，可能会激发学生的学习积极性和学习主动性.对于年轻教师，应该适当学习一些数学史的内容，尤其是概率论的发展史，这样教师对课程内容的理解可能會更加深刻一些，对概率课程的讲解可能更游刃有余一些.

其次，年轻教师要注重所教课程与专业课程的衔接.目前教师只对自己讲授的课程比较熟，而对该课程与其他相关课程的联系很陌生.这样各门课程的教师都各自教各自的，对于听课的学生接受到的也是支离破碎的内容，学生更难以将各个课程联系到一起，更难以将所学的内容真正为我所用.

最后，年轻教师要注重人格魅力的修炼.教师不仅要传授知识，更重要的是传授严谨治学的精神.教师的精神面貌对学生来讲很重要.教师应传承一种阳光、活力、青春、永不言败的精神，比起知识的传授，这种精神上的引导显得更为重要.另外，教师除了有良好的精神面貌之外，还要有深厚的学术底蕴，扎实的学术知识和宽广的学术范畴，是身为师者“传道，授业，解惑”的根本.

【参考文献】

[1]何书元.概率引论.高等教育出版社，2011.

[2]李贤平，等.概率论与数理统计[M].北京：复旦大学出版社，2002.

[3]盛骤，等.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4]王伟，等.基于CDIO理念的概率论与数理统计教学改革研究[J].中国科教创新导刊，2012（28）.