在高数教学中有效融入数学建模思维方法

李霞

【摘要】本文通过实例讲解了如何在高数教学中有效融入数学建模思维方法的培养，并有针对性地提出了在高数课堂上融入数学建模思维方法的建议.

【关键词】高数教学;融入;数学建模思维方法

一、引 言

在数学课堂教学中融入数学建模思想方法，其目的是还原数学知识源于生活且应用于现实的本来面貌，以数学课程为载体，培养学生“学数学、用数学”的意识与创新能力.因此，数学教师有责任对数学教材加以挖掘整理， 进行相关的教学研究，从全新的角度重新组织数学课堂教学体系.数学知识形成过程，实际上也是数学思想方法的形成过程.在教学中， 注重结合数学教学内容，从它们的实际“原型”（源头活水）和学生熟悉的日常生活中的自然例子， 设置适宜的问题情境， 提供观察、实验、猜想、归纳、验证等方面丰富直观的背景材料， 让学生充分地意识到他们所学的概念、定理和公式，不是硬性规定的，并非无本之木，无源之水，也不是科学家头脑中凭空想出来的，而是有其现实的来源与背景，与实际生活有密切联系的.学生沿着数学知识形成的过程，就能自然地领悟数学概念的合理性，了解其中的数学原理，这样既激发了学生学习大学数学的兴趣，又培养了学生求真务实理性思维的意识.

二、高数教学中具体渗透数学建模思维方法

下面具体以讲解二元常系数非齐次线性微分方程的特解形式为例穿插数学建模思维方法的过程，对于这部分内容是微分方程这一章节的重点，也是难点，有些同学对于如何设特解的形式一筹莫展.教材书上归纳总结了几种情况下特解的设立，一般根据方程右边f（x）的形式来设取，归纳表格如下：

f（x）的形式

特解的形式

f（x）=pn（x）

当q≠0时，y=Qn（x）

当q=0而p≠0时，y=Qn+1（x）

当p=q=0时，y=Qn+2（x）

f（x）=pn（x）·eλx

y=xkQn（x）eλx

当λ不是特征根时，k=0

当λ是特征根，且为单根时，k=1

当λ是特征根，且为重根时，k=2

f（x）=acosωx+bsinωx

y=xk（Acosωx+Bsinωx）

当±ωi不是特征根时，k=0

当±ωi是特征根时，k=1

数学建模思维方法的步骤是：提供观察——归纳——提出假设——实验验证，那么在讲解这部分内容的过程中提醒学生仔细观察这个表格，看看这几种情况间有没有内在联系，可否归纳总结.同学们通过认真观察发现f（x）的第一种形式和第二种形式可以归纳在一起，f（x）=pn（x）形式可以转化为f（x）=pn（x）·e0x，此时的λ=0，那么表格右边特解的形式是否也可统一在一起呢？针对问题大胆提出假设，针对f（x）=pn（x）形式，二元常系数非齐次线性微分方程的特解可以设为y=xkQn（x）e0x，即为y=xkQn（x），根据λ是否为特征根确定k的取值：当λ不是特征根时，k=0;当λ是特征单根时，k=1;当λ是特征重根时，k=2，这样特解的形式也是与第二种情况吻合的，如果假设成立，两者可以归纳在一起，这样也可以方便学生理解记忆.作出假设之后，就是进行实验小心验证，结果得到证实就可以加以总结并进行引用，具体通过例题进行验证.

案例1：求微分方程y″+2y=4x2+6的一个特解.

这是教材书本上的一道例题，很明显该题中的f（x）形式属于表格中的第一种情况，书本上就是按照上面表格来进行求解的，我们不妨一起来看看.

该题中p=0，q≠0，故设y=ax2+bx+c，特解设的过程是比较简单的，但是要记住结论有点麻烦.将设立的特解代入原微分方程中，得：

2a+2（ax2+bx+c）=4x2+6，

解得： a=2，b=0，c=1.

于是原方程的特解为：y=2x2+1.

下面来验证一下是否可以统一为假设的特解的设立的结论，该微分方程中λ=0，

其所对应的齐次线性微分方程为：y″+2y=0，

特征方程為：r2+2=0，

特征根为：r1，2=±2i，

λ=0不是特征根，故设y=ax2+bx+c.

两种方法设立的特解形式相同，至此可以说明假设的特解形式得以验证，即两种情况可以统一在一起，这样便于学生在理解的基础上记忆，而不用考虑p，q是否等于0的情况，这种方法的优点主要在于与f（x）的第二种形式完美统一在一起，它们之间有着一定的内在联系性.重新整理一下，二元常系数非齐次线性微分方程的特解形式的设立可以归纳如下：

f（x）的形式

特解的形式

f（x）=pn（x）·eλx

f（x）=pn（x）·e0x

y=xkQn（x）eλx

当λ不是特征根时，k=0

当λ是特征根，且为单根时，k=1

当λ是特征根，且为重根时，k=2

注：λ=0时同样成立

f（x）=acosωx+bsinωx

y=xk（Acosωx+Bsinωx）

当±ωi不是特征根时，k=0

当±ωi是特征根时，k=1

这样在讲解过程中就培养了学生的观察能力、逻辑思维、归纳总结能力，并激发了学生学习数学的兴趣和积极性，他们会觉得原来学数学这样有趣，这是一个发现、探索的过程，而数学的发展就是在数学家通过类似的这样一个发现、探索的过程不断发现数学概念、定理的，通过学习学生能感觉出数学的文化底蕴，以及数学家发现数学定理的艰辛，那么自己在不断探索的过程中就有了动力与激情，无意中就培养了学生不畏艰难的奋斗精神，而这对于锻炼学生的毅力等品质有很大的帮助.

三、高数课堂融入数学建模思维方法的建议

1.增强融入意识，明确主旨

数学课堂教学的任务不仅仅是完成知识的传授， 更重要的是培养学生用数学思想方法解决实际问题的能力，这是数学教育改革的发展方向，“学数学”是为了“用数学”.数学建模思想方法融入数学课堂教学，与现行的数学教学秩序并不矛盾， 关键是教师要转变观念， 认识数学建模思想方法融入数学课堂教学的重要性， 以实际行动为课堂教学带来新的改革气息.在平时的教学中， 要把数学教学和渗透数学建模思想方法有机地结合起来.同时，应充分认识到数学应用是需要基础（数学基础知识、基本技能和基本思想方法）的，缺乏基础的数学应用是脆弱的， 数学建模思想方法融入数学课堂教学中，并不是削弱数学基础课程的教学地位，也不等同于上“数学模型”或“数学实验”课，应将教学目标和精力投入到数学基础课程的核心概念和内容， 数学建模思想方法融入过程只充当配角作用， 所用的实际背景或应用案例应自然、朴实、简明、扼要.

2.化整为零，适时融入

在大学数学课堂教学过程中适时融入数学建模思想和方法，根据章节内容尽量选取与课程相适应的案例，改革“只传授知识”的单一教学模式为 “传授知识、培养能力、融入思想方法”并重的教学模式，结合正常的课堂教学内容或教材，在适当环节上插入数学建模和数学应用的案例，通过“化整为零、适时融入、细水长流”，达到“随风潜入夜，润物细无声”的教学效果.

3.化隐为显，循序渐进

数学建模思想方法常常是以隐蔽的形式蕴含在数学知识体系之中，这不仅是产生数学知识、数学方法的基础，而且是串联数学知识、数学方法的主线，在知识体系背后起着“导演”的作用.因此，在教学过程中应适时把蕴含在数学知识体系中的思想方法明白地揭示出来，帮助学生理解数学知识的来龙去脉.在新知识、新概念的引入，难点、重点的突破，重要定理或公式的应用，学科知识的交汇处等，采用循序渐进的方式，力争和原有教学内容有机衔接，充分体现数学建模思想方法的引领作用.同时，注意到数学建模思想方法融入是一个循序渐进的长期过程， 融入应建立在学生已有的知识经验基础之上，在学生的最近发展区之内，必须在基础课程教学时间内可以完成，又不增加学生的学习负担.可以根据教学内容侧重突出建模思想方法的某一个环节，不必拘泥于体现数学建模的全过程， 即“精心提炼、有意渗透、化隐为显、循序渐进”.

4.激发情趣，适度拓展

数学建模思想方法融入数学课堂教学目的是提高学生“学数学、用数学”的意识，激发学生的学习兴趣.因此，教师应结合所學内容，选择适当的数学问题，亲自动手进行建模示范，在学生生活的视野范围内，针对学生已有的数学知识水平、专业特点，收集、编制、改造一些贴近学生生活实际的数学建模问题，注意问题的开放性与适度拓展性，尽可能地创设一些合理、新颖、有趣的问题情境来激发学生的好奇心和求知欲，使学生体验应用数学解决问题的成功感.

总之，作为新时期的数学教育工作者， 我们的教学必须适应学生发展的需要，在数学课堂教学过程中， 既要注重数学知识的传授，更要重视能力的培养和数学思想方法的渗透，只有三者和谐同步发展，才能使我们的教学充满活力，为学生数学应用能力的提高做一些有效而实际的工作.

【参考文献】

[1]王秀兰.将数学建模思想融入高等数学教学的思考[J].科技资讯，2014（1）.

[2]杨四香.浅析高等数学教学中数学建模思想的渗透[J].长春教育学院学报，2014（3）.

[3]江志超. 高等数学教学中数学建模思想的渗透[J].北华航天工业学院学报，2012（2）.