克莱姆法则解一般线性方程组的一个例子

孔妮娜

【摘要】 克莱姆法则是高等代数中重要的内容，但是用克莱姆法则解线性方程组时，要求方程的个数等于未知数的个数. 本文对克莱姆法则进行了推广，对于一般的线性方程组，如果方程组有解，根据克莱姆法则，给出一个解一般线性方程组的例子.

【关键词】 克莱姆法则；线性方程组；系数矩阵

含有s个方程n个未知数x1，x2，…，xn的线性方程组

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 … … … …as1x1 + as2x2 + … + asnxn=bs（1）

称为一般的n元线性方程组.当s = n且系数矩阵的行列式不等于零时，线性方程组（1）可以用克莱姆法则求解.根据克莱姆法则，也可以给出一般n元线性方程组（1）的一个解法，这个解法在理论上是很有用的.

设线性性方程组（1）有解，矩阵A和A 的秩都等于r，矩阵D是A 的一个不为零的r子式.不妨设D是位于A 的左上角，则A 的前r行就是一个极大线性无关组，第r + 1，…，s行都可以经它们线性表出.因此，方程组（1）与

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 … … … …ar1x1 + ar2x2 + … + arnxn=br（2）

是同解的.

當r = n时，由克莱姆法则，方程组（2）有唯一解，也就是方程组（1）有唯一解.

当r < n时，将方程组（2）改写为

a11x1 + a12x2 + … + a1rxr = b1 - a1，r+1xr+1 - … - a1nxna21x1 + a22x2 + … + a2rxr = b2 - a2，r+1xr+1 - … - a2nxn … … … …ar1x1 + ar2x2 + … + arrxr = br - ar，r+1xr+1 - … - arnxn，（3）

（3）作为x1，x2，…，xr的方程组，它的系数行列式D ≠ 0，由克莱姆法则可以解出x1，x2，…，xr：

x1 = d1′ + c1′，r+1xr+1 + … + c1n′xn… … … …x1 =dr′ + cr′，r+1xr+1 + … + c′rnxn（4）

（4）就是方程组（3）的一般解，也就是方程组（1）有一般解.下面给出一个用克莱姆法则解一般线性方程组的例子.

例 用克莱姆法则解下面的方程组.

x1 + x2 + x3 - x4 - x5 = -2，x1 + x2 + 2x4 - 3x5 = -1，2x2 + x3 - 3x4 + 2x5 = -1，2x1 + x3 + x4 - 4x5 = -3.

解 对增广矩阵进行初等行变换

A = 1 1 1 -1 -1 -21 1 0 2 -3 -10 2 1 -3 2 -12 0 1 1 -4 -3→ 1 1 1 -1 -1 -20 0 -1 3 -2 10 2 1 -3 -2 10 -2 -1 3 -2 1→1 1 1 -1 -1 -20 1 ■ -■ 1 -■0 0 1 -3 2 -10 0 0 0 0 0.

因为r（A）=r（A）3 < 5，该方程组有无穷多解，x4，x5为自由未知量.等价方程组为：

x1 + x2 + x3 = -2 + x4 + x5，x1 + x2 = -1 - 2x4 + 3x5，2x2 + x3 = -1 + 3x4 - 2x5.

系数矩阵的行列式

D = 1 1 11 1 00 2 1 = 1 1 10 0 -10 2 1 = -1 1 10 2 10 0 -1 = 2 ≠ 0

由克莱姆法则

x1 = ■ = ■-2 + x4 + x5 1 1-1 - 2x4 + 3x5 1 0-1 + 3x4 - 2x5 2 1 =

■-2 + x4 + x5 1 1-1 - 2x4 + 3x5 1 01 + 2x4 - 3x5 1 0=-1 - 2x4 + x5.

x2 = ■ = ■1 -2 + x4 + x5 11 -1 - 2x4 + 3x5 00 -1 + 3x4 - 2x5 1 =

■1 -2 + x4 + x5 10 1 - 3x4 + 2x5 -10 1 + 2x4 - 3x5 1 = 0.

x3 = ■ = ■1 1 -2 + x4 + x51 1 -1 - 2x4 + 3x50 2 -1 + 3x4 - 2x5 =

■1 1 -2 + x4 + x50 0 1 - 3x4 + 2x50 2 -1 + 3x4 - 2x5 = -1 + 3x4 - 2x5.

所以，该方程组的一般解为：

x1 = -1 - 2x4 + x5x2 = 0x3 = -1 + 3x4 - 2x5（x4，x5为自由未知量）

【参考文献】

[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003：136-139.