现代数学下的渐近线

摘 要：在高中数学教材中就涉及了关于渐近线的知识，例如：正弦函数图象和双曲线的渐近线，但是，并没有给出渐近线的准确定义、分类以及求法。这会造成许多学生对渐近线知识点整体性的缺失，也不利于与高等数学教学的衔接。针对针以上问题利用高等数学的方法解决初等数学所涉及的渐近线问题，帮助高中生更好地了解和运用渐近线的知识。

关键词：渐近线；分类；计算方法

一、渐近线的定义

定义：当曲线C上动点P沿着曲线C无限远移时，若动点P到某直线l的距离无限趋近于0，则称直线l是曲线C的渐近线。

二、渐近线的分类

在中学阶段我们已经学习到了几种类型的渐近线。例如，中学阶段经常涉及到函数f（x）=x+■，它的图象有两条渐近线，分别是直线x=0（y轴）和直线y=x；又如，反比例函数f（x）=■，它的图象同样有两条渐近线，分别是直线x=0（y轴）和直线y=0（x轴）。那么，我们根据渐近线与x轴的位置关系，可将渐近线分为三种类型：水平漸近线（与x轴平行），垂直渐近线（与x轴垂直），斜渐近线（与x轴有个夹角α，且α≠0，α≠■）。接下来，我们利用极限的知识给出三种类型渐近线的定义意义及根据定义求解渐近线的方法。

1.水平渐近线与垂直渐近线

若■f（x）=b或■f（x）=b，则直线y=b是曲线y=f（x）的水平渐近线。

若■f（x）=∞或■f（x）=∞，则直线y=b是曲线y=f（x）的垂直渐近线。

例：求曲线f（x）=■+3的渐近线

解：因为■f（x）=■■+3=3，故直线y=3是曲线y=f（x）的水平渐近线.

以■f（x）=■■+3=∞，故直线x=2是曲线y=f（x）的水平渐近线.

2.斜渐近线

在高中阶段斜渐近线出现的频率非常高，它不像水平渐近线和垂直渐近线那样，可以轻松地写出渐近线的方程，下面以双曲线的渐近线为例，来探索斜渐近线方程的求解方法。

考虑双曲线■-■=1（a＞0，b＞0），双曲线图象的范围受到哪些限制？

根据双曲线的对称性，我们可以只研究第一象限图像的情况，因为x＞0，y＞0，y=■■（x＞a）＜■■=■x，所以，双曲线y=■■（x＞a）的图象始终在直线y=■x的下方，其他三个象限可用类似方法讨论，故可界定双曲线■-■=1的直线为y=±■x.

我们知道在无穷远处函数图象与其渐近线无限靠近但是不能相交，也就是说，在无穷远处函数图象上的点到渐近线的距离趋近于零，那么，由上面的界定范围，我们来验证一下直线y=±■x是否真的就是双曲线■-■=1（a＞0，b＞0）的渐近线.

由双曲线的对称性，可以只研究第一象限的情况，设P（x，y）为第一象限内双曲线上的点，过点P作PQ垂直于渐近线l，交渐近线l于点Q

则PQ=■=■=■·■

当x→+∞时，x+■→+∞，■·■→0，即MQ→0.这表明，随着x的增大，双曲线在第一象限内的点在直线y=■x的下方且逐渐接近于这条直线。

接下来，我们把这个理论应用的更一般的情形，从而得到曲线y=f（x）的斜渐近线方程的求解方法

如右图所示，若直线y=kx+b是曲线y=f（x）的斜渐近线（直线l与x轴正半轴的夹角为α，且α≠0，α≠■,）设曲线上y=f（x）动点P的坐标为（x，f（x）），经计算可知PB=f（x）-（kx+b）.在Rt△PMB中，∠BPM=α，于是，动点P到直线y=kx+b的距离PM=PBcosα=f（x）-（kx+b）cosα，以α为常数，所以，当动点P沿曲线y=f（x）向周正半轴移动时，即x→+∞时，有■［f（x）-kx-b］=0，则有■［f（x）-kx-b］=0，从而有k=■■，b=■［f（x）-kx］

由上述讨论知，若直线y=kx+b是曲线y=f（x）的斜渐近线，则k和b由上述式子给出

例：求曲线f（x）=■■的渐近线

解：因为■■■=+∞，■■■=-∞，则x=1是曲线的垂直渐近线，又有k=■■=■■=■，b=■［f（x）-kx］=■［■-■x］=■■=-■，则曲线f（x）的渐近线是y=■x-■.

例：求双曲线■-■=1的渐近线

解y=f（x）=±■■.设它的渐近线是y=kx+b，则k=■■=■±■■=±■，b=■（f（x）-ax）=■（±■■）-■x）=■±■（■-x）=■±■■=0

作者简介：

徐嘉龙（1988年4月— ），男，辽宁省阜新市，学历：研究生在读，研究方向：运筹学与控制论。

（作者单位 东北师范大学数学与统计学院）

编辑 代敏丽