背景风险下基于Mean—Variance的最优套期保值比率模型

吴琼

摘 要：在均值-方差框架下，考虑一个独立的背景风险对于投资者最优套期保值率的影响。证明了背景风险的存在对于投资者的风险态度具有重要影响，推导出一组条件，在该条件下投资者的投资行为表现的更加谨慎。

关键词：最有套期保值率；均值-方差偏好；背景风险；风险厌恶；谨慎

0 引言

在瞬息万变的金融市场中，为了规避现货市场价格的波动性带来的风险，投资者通常选择持有一定数量期货合约，以对冲这种可能的风险。因而，套期保值是期货市场存在的重要原因和基础。而在套期保值过程中，投资者如何选择最优期货和现货数量比，从而把可能面临的风险降到最低是一个至关重要的问题。如何来确定最优的套期保值比率一直以来是学界和业界关心的热点问题，国内外很多学者也使用不同的方法来确定最优套期保值比率。Chen（2003）对于相关文献进行详尽的梳理。

在现有大部分套期保值模型中，通常假定金融市场是完全的，也就是说所有的风险都可以控制和对冲的，而现实金融市场并非如此。在文献中通常把这类无法交易无法对冲的风险称为"背景风险"（Background Risk），背景风险的存在使得投资决策问题变得更加复杂，也对投资者的投资行为产生极大影响。因此，近年来有关背景风险的研究也逐渐成为金融学研究的热点问题。由此衍生出更多风险厌恶的概念，例如：适当风险厌恶（Proper Risk Aversion），标准风险厌恶（Standard Risk Aversion），风险敏感性（Risk Vulnerability）。这些概念都是建立在期望效用框架下。最近，Wagener，Lajeri-Chaherli等学者将这些概念引人到均值-方差效用框架下。

然而，在背景风险存在情形下，投资者的套期保值行为会有何种变化？至今仍然没有相关文献对其进行讨论。而本文的主要的目的，是考虑一个"不可取"（Undesirable）的背景风险的存在，如何影响投资者的套期保值行为。

1 背景风险下均值-方差套期保值模型

由于现货价格的波动或许给投资者带来一定的损失，为了规避这种风险，投资者试图通过一定数量期货合约来对冲风险，假定他持有Cs单位现货的多头头寸，同时持有Cf单位的空头期货合约，假定现货和期货的在t期时的价格分别是St和Ft，则套期资产组合的回报为：

R■=■=R■-hR■ （1）

然而，投资者或许面临着一个无法控制的背景风险B，文献中通常假定背景风险是"不可取的"（undesirable），即它的均值满足？滋■<0。因此其套期资产组合为：

R■=R■-hR■+？姿B （2）

其中，参数？姿是一个正实数，引入该参数仅仅是为了便于讨论背景风险B对于投资者套期保值行为的影响。套期组合对应的期望？滋■h和方差？滓■■h分别为：

？滋■h=？滋R■-h？滋■+？姿？滋■ （3）

？滓■■h=？滓■■+h■？滓■■-2h？滓■+？姿■？滓■■ （4）

显然，？滋■h和？滓■■h都是套期保值率h的函数。

假定投资具有均值-方差偏好U？滋■h，？滓■R■■h，则投资者决策问题是：

■U？滋■h，？滓■R■■h （5）

这里二元函数U？滋，？滓■ 是二阶连续可微的，并且是？滋，？滓■的凹函数，此外我们假定它满足下列性质：

iU■？滋，？滓■<0，iiU■？滋，？滓■>0 （6）

这两个性质充分反应了投资者的风险厌恶态度，因为它暗示在（？滋，？滓■）平面上，投资者的无差异曲线是向上倾斜的，在均值-方差框架下Ormiston and Schlee，Wagener，Lajeri-Chaherli等人定义了类似期望效用框架下的"绝对风险厌恶系数"，具体如下：

？琢？滋，？滓■=-■ （7）

它代表了无差异曲线的斜率。

最优选择问题（7）的一阶条件为：

■=-？滋R■U■？滋■h，？滓■■h+2h？滓■■-？滓R■R■U■？滋■h，？滓■■h （8）

下面讨论，背景风险对于投资者的最优套期保值比率的影响。

2 主要结果

用h*表示方差最小化标准下的最优套期保值比率；■*表示背景风险不存在情形下，具有均值-方差偏好投资者的最优套期保值比率；而符号■■■？姿表示存在背景风险B情形下的最优套期保值比率。根据一阶条件（10），我们有如下结论：

定理1：最优套期保值比率h*、■* 和■■■？姿满足下列不等式：（1）■*≤h*；（2）■■■？姿≤h*，其中h*=■。

证明：仅仅需要证明（2），由（4）式子可知，当h=■时候，■=2h？滓■■-2？滓■R■R■=0

从而h*=■。由于U？滋，？滓■ 是（？滋，？滓■）的凹函数，从而U■<0，U■<0和U■>0，对于（8）式关于h求导可知，U？滋，？滓■是h的凹函数。将h*=■带入（6）式可知：

■|h*=-？滋■U■？滋Rhh*，？滓■■h*<0

由U？滋h，？滓■h的凹性可知：■■■≤h* 。

Q.E.D.

定理1表明，在一般均值-方差偏好下，投资持有的最优套期保值率小于方差最小化标准下的最优套期保值率。下面讨论背景风险对于投资者套期保值策略的影响。以■■■？姿表示参数为？姿时，投资者选择的最优套期保值率。

定理：2：当投资者的风险厌恶系数？琢？滋，？滓■0 ？琢■满足条件： ？琢■？滋，？滓■≤，？滋，？滓■≥0，最优套期保值比率满足：■■■？姿≤■■？姿。

证明：当？姿>0时候，■■■？姿表示背景风险存在情形下，投资者的最优套期保值比率。将一阶条件（10）改写为以下形式：

Th*■■？姿，？姿，？滋■，？滓■■=■-？琢？滋■h*■？姿，？滓■■h*■？姿=0

在等式两端关于参数？姿求偏导可得：

■=-？琢■？滋■h*■？姿，？滓■■h*■？姿？滋■-？姿？琢■？滋■h*■？姿，？滓■■h*■？姿？滓■■

由假设背景风险B是"不可取的"，从而满？滋■<0。由题设条件？琢■（？滋，？滓■）≤0和？琢？滓■（？滋，？滓■）≥0可知：■≤0。

由函数U？滋h，？滓■h是h的凹函数可知：

■≤0

由隐函数定理可知：■=-■≤0

因此在题设条件下，h*■？姿 是？姿的减函数。所以当？姿>0 时，有■*■？姿≤■*■0=■*。

Q.E.D.

定理2中的条件：？琢■（？滋，？滓■）≤0和？琢■（？滋，？滓■）≥0，被Wagener，Lajeri-Chaherli等人提出，等价于均值-方差框架下的"风险敏感性"（Risk Vulnerability）。定理2表明，当投资者具有"风险敏感性"时，他所选择的最优套期保值比率更低，其投资行为更加保守。

3 结论

本文在一般的均值-方差框架下，讨论了背景风险的存在对于投资者套期保值策略的影响。当具有均值-方差偏好的投资者，展现出"风险敏感性"时，他所持有的最优套期保值比率小于背景风险不存在时的情形。

本文仅仅是从理论上，对于背景风险下的套期保值问题进行讨论，然而并未进行相关的实证检验。未来的工作，我将致力于该问题。

参考文献：

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[7] T. Eichner and A.Wagener， `` Variance vulnerability， background risks， and mean-vaiance preferences"， The Geneva Papers on Risk and Insureance Theory， vol.28， no.2， 2003 ，pp.173-184.

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[10] 迟国泰，赵广军，杨中原. 基于CVaR的期货最优套期比率模型及应用[J]. 系统管理学报， 2009， 18（1）：27-33.

本文感谢江西省教育厅科技课题（GJJ14726）和九江学院校级课题（8899209）的支持。