高中数学校本化作业设计的几个关注点

蔡振树

数学作业是数学学习的重要载体，是数学课堂教学的延伸，是学生独立完成学习任务的标志性形式。本文针对教辅教材作业存在的不足，开展校本化作业研究，提出校本化作业设计的四个关注点，希望能够起到抛砖引玉的作用。

数学作业 校本化 关注点

数学作业是数学学习的重要载体，是数学课堂教学的延伸，是学生独立完成学习任务的标志性形式。传统上，作业是老师在上完一节课以后，让学生去做某种教辅资料的《一课一练》等。这类作业往往不具有针对性，不一定适合学生的学习实际，千篇一律，无法注意到学生的学习差异。特别是高中学段，高三复习阶段情况更是严重，教师依赖教辅，学生抛开教材，大量的题海训练，耗尽大量的学习时间，使学生背上沉重的包袱，数学作业多、难，是学生、家长普遍反映的现实。根据不同学生的学习水平设计校本化作业的研究就应运而生，本文对此话题作些探索，希起抛砖引玉作用。

一、对高中数学校本化作业的认识

所谓校本，一是为了学校，二是在学校中，三是基于学校。为了学校，是以改进学校实践、解决学校所面临的问题为指向；在学校中，是要根据学校自身的问题，由学校中的人也就是老师和学生来解决；基于学校就是所形成的解决问题的诸种方案要在学校中加以有效实施。

当前，特别是高中数学作业的形式，除了课本习题外，更多的是有关部门指定的教辅用书，也有相当部分的作业是老师通过剪辑而编成的校本化作业。老师使用自己编写的作业，目的是减少重复性、机械性作业，从而减轻中小学生过重的课业负担。校本化作业是基于老师所教学生的实际而编写的，其精髓在于老师们的“把脉开药”，校本化作业代表的是教师的水平。因此，开展作业的校本化研究是教师力所能及的事，是实实在在的教学研究，因而是有意义的。

高中数学校本化作业是对数学课堂教学的有益补充。数学课堂是以思维为基础，又十分重视应用，对学生的思辨能力、分析问题和解决问题的能力都有较高的要求，仅仅依靠课堂45分钟来实现显然是不够的。教材配套的习题是最基础的学习要求，对高中生而言，尤其是对优等生来说吃不饱，中等生也吃不好，差生又吃不消。因此，数学作业的校本化，就为解决这一矛盾找到了路径，它不仅使学生课后有了学习的延伸，并且校本化作业的针对性和有效性也可以根据学生实际学情得到有效矫正。

校本化作业是根据学校现实情况而编定的。不同类型学校的学生学习数学的能力有差异，有重点达标高中的，有普通高中的，这些学生都用同一套材料显然是不合适的，而校本化作业对解决差异性是必要的，也是学校应该探索思考的课题。校本化作业对学生也可以起到正面引导作用，因为它是专门为学生量身定做的。

校本化作业也是对教师教研教学能力的挑战和实践。教师是课程的执行者和解释者，其对教材的理解力和执行力的高低直接关系到学生的学习效果。通过对作业的校本化研究，既是检查学生的学习情况，也是对教师执教能力的检验。

校本化作业对促进学生学习是有益的。通过教师对作业的内容和难度，作业的针对性和层次性的研究，通过加强作业设计内容的适用性开发，使作业贴近学生实际，切实提高学生学习兴趣，减轻学生过重的学习负担，使学生的作业多样化，提高学生在学习上的兴趣、主动性、自主性、积极性，对促进学生数学学习更有意义。

校本化作业对高中学校办学特色化来说是基点之一。以数学作业的校本化研究为依托，在新课程变革的形势下探寻数学作业校本化的策略和实施途径，使数学的学习领域不断宽泛，开发生成新的教育教学资源，以多样化的形式来展开对数学的学习，这有利于深化学校的办学特色。

二、高中数学校本化作业设计的四个关注点

根据《数学课程标准》的理念，高中新课程的数学作业已不再完全是课堂教学的附属，而更是重建与提升课程意义及人生意义的重要内容。每一次数学作业都是学生成长的新生长点。学生在问题不断生成、不断解决的探索中成长；在知识的不断运用中，在知识与能力的不断互动中，在情感、态度、价值观的不断碰撞中成长。因此，高中数学校本化作业的设计，是一件具有创造性的工作，通过实践的操作与反思，促发一些感想，数学校本化作业应该遵循一定的原则，下面举例着重谈谈四个关注点。

1.遵循课标，以纲为纲

校本化作业是高中数学课程的有效强化和扩充，要遵循课程标准的要求，力求体现学科个性，它的开发应立足于学科特点，以学生的发展为根本出发点。这是最基本的原则，也是校本化作业设计的依据。课程标准不要求的内容我们坚决不用，或者用要求学生掌握的语言来表述，这类题目特别在许多教辅材料中经常出现，我们要坚决予以改正。如“正方体的外接球”，现行课程没有提到这概念，我们可冠之于“正方体的所有顶点在某一球面上”等等。

2.依据课本，追本溯源

设计作业选题时我们可以从课本中找影子，对课本例题习题进行改编加以创造。毕竟教科书作为知识的呈现载体，在习题和例题的选择上都具有其典型性和示范性，我们在平时的日常教学工作中，可以在课本习题和例题的处理上多下功夫。

例1：已知A1，A2分别为椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左右顶点，椭圆C上异于A1，A2的点P恒满足kPA1·kPA2=-■，则椭圆的离心率C为

A.■ B.■ C.■ D.■

【设计意图】本题源于高中课本《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1》人教A版介绍的这样两个问题：

第2.2节例3：如图，设A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0）。直线AM、BM相交于M，且他们的斜率之积是-■，求点M的轨迹方程。

第2.3节探究：如图，设A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0）。直线AM、BM相交于M，且他们的斜率之积是■，试求点M的轨迹方程，并由点M轨迹方程判断轨迹的形状。与2.2例3比较，有什么发现？

例2：为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：

（1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1，2，3，……100；

（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；

（3）请下列两类学生举手：①摸到白球且号数为偶数的学生；②摸到红球且不喜欢数学课的学生。

如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是：

A.88% B.90% C.92% D.94%

【设计意图】本题源于高中课本《普通高中课程标准实验教科书数学必修3》人教A版2.2.1阅读材料：如何得到敏感性问题的诚实反应。

3.关注基础，回归定义

基本概念、基本运算等数学基础知识，是支撑数学学科知识体系的重点内容，也是夯实双基的重要载体，定义的掌握与否是学习的基础，更是后续学习的基础。因此，校本化作业的设计要特别关注基础，回归定义。

例3：函数的图像与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线y2=x的图像绕原点沿逆时针方向旋转90°就得到函数y=x2的图像。若把双曲线■-y2=1绕原点按逆时针方向旋转一定角度？兹后，能得到某一个函数的图像，则旋转角？兹可以是

A.30° B.45° C.60° D.90°

【设计意图】函数的定义：设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f∶A→B为集合A到集合B的一个函数。由函数的定义可知，函数是数集间的映射。作为一个映射，就必须满足映射的条件，只能一对一或者多对一，不能一对多，所以上题中需让双曲线的渐近线旋转至与y轴重合。

例4：已知二次函数y=f（x）的图像如图所示，则它与x轴所围图形的面积为

A.■ B.■ C.■ D.■

【设计意图】本题考察利用定积分概念意义求面积。根据图像可得：y=f（x）=-x2+1，再由定积分的几何意义，可求得面积为S=∫■■（-x2+1）dx=（-■x3+x）■■=■。故选B。

4.注意差异，能力创新

不同学生在学习能力等方面存在个体差异是客观的，面对差别，对他们提出不一样的要求，实行因材施教的教育原则，准确把握学情是科学有效地设计作业的前提。弄清学生本节课所要达到的学习目标及知识技能提升的水平，以学生潜能的发展为标准，最大限度地发挥其自身具有的潜质，创设具有层次性的数学作业，能让不同学习水平的学生在数学学习中得到不同的发展，设计多梯级、多层次的作业，给学生留有自主选择的空间，满足不同学生能力发展的需要。注意差异，能力创新题目的选择是校本化作业的精髓。

例5：将边长为1的正三角形ABC按如图所示的方式放置，其中顶点A与坐标原点重合。记AB边所在直线的倾斜角为？兹，已知？兹∈[0，■]。

（Ⅰ）试用？兹表示■的坐标（要求将结果化简为形如（cos？琢，sin？琢）的形式）；

（Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），称为|x1-x2|+|y1-y2|为P、Q两点间的“taxi距离”，并用符号‖PQ‖表示。试求‖BC‖的最大值。

【设计意图】“taxi距离”也称出租车几何或曼哈顿距离（Manhattan Distance），是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。之所以把“曼哈顿距离”称为距离，是因为“曼哈顿距离”满足“距离”的定义：设X是非空集合，对于X中的任意任意两个元素x与y，按照某一法则都对应唯一的实数？籽（x，y），并满足以下的三条距离公理：

（1）非负性：？籽（x，y）≥0，当且仅x=y当时？籽（x，y）=0；

（2）对称性：？籽（x，y）=？籽（y，x）；

（3）三角不等式：对于任意的x，y，z，？籽（x，y）≤？籽（x，z）+？籽（z，y）。

以曼哈顿距离的定义为背景考查新定义问题是近年高考的热点，这种题型属于创新题，能有效考查直线方程、绝对值、不等式等知识，考查化归与转化、分类与整合、数形结合的数学思想方法，以及数学探究能力、推理论证能力、问题解决能力和创新意识，这体现了新课标的教育理念。解题时，严格根据定义，从定义出发，以不变应万变，这才是上上之策。不同学习层次的学生可以达到不同的学习目标，体现差异性。

例6：设f0（x）=x·ex，f1（x）=f0′（x），

f2（x）=f1′（x），…，fn（x）=fn-1′（x）（n∈N*）。

（Ⅰ）请写出fn（x）的表达式（不需证明）；

（Ⅱ）求fn（x）的极小值yn=f（xn）；

（Ⅲ）设gn（x）=-x2-2（n+1）x-8n+8，gn（x）的最大值为a，fn（x）的最小值为b，求a-b的最小值。

【设计意图】本题重点考查了函数导数中的重点知识，如复合函数的导数、利用导数求解函数的单调性极值、二次函数的最值等；同时，交汇考查了合情推理、数列等核心知识点，试题的交汇自然和谐，综合程度较高；有效覆盖了3个能力2个意识（《考试大纲》《考试说明》要求5个能力2个意识）。如：抽象概括出函数fn（x）解析式的过程考查了抽象概括能力；由归纳推理得fn（x）的解析式、第（Ⅲ）步先猜后证的过程考查了推理论证能力；求a-b最小值的过程考查了运算求解能力；以导数为工具求fn（x）的极小值点考查了应用意识；第（Ⅲ）步解法一构造函数、解法二利用数列的单调性创造性解题考查了创新意识。同时，也考查了6种数学思想方法（《考试说明》要求7种数学思想方法），如：求函数fn（x）、gn（x）的最值中，实际上是研究函数fn（x）、gn（x）的图像，考查了数形结合思想，以数释形的同时也应以形助数；解题中的每一个步骤都体现了化归与转化思想的数学思想；用导数求fn（x）的最值、利用配方法求gn（x）的最值、以及求a-b的最小值的过程中渗透着函数的零点定理都考查了函数与方程思想；从f0（x），f1（x）…，到fn（x）的推理过程渗透着特殊与一般思想、有限与无限思想、必然与或然思想。

从本题所涉及的数学能力与数学思想方法，可以看出本题确立的是以能力立意，注重创新的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测学生的数学素养，区分不同层次的学生数学水平，充分体现个体学习的差异性。

三、对高中数学作业校本化的几点思考

1.关于“拿来”与“创新”的关系

在数学作业校本化的初期阶段，甚至可以说绝大部分的时期，都是允许“拿来主义”的。对教辅材料要坚持少而精的原则，批判地继承，有选择地利用。“创新”意味着对教师提出更高的要求，但是真正有水平的教师很少是用现成的资料给学生的，他通常能根据学生的实际情况和教材的特点给学生编题，这就是创新，这样的作业能有效地举一反三，以一代十。当然，若能很好地处理“拿来”与“创新”的关系，通过有效的校本化作业训练，使学生数学学习能力得到提高，就是有意义的。

2.“课后”作业，还是“课前”，“随堂”

作业通常情况是留给学生课后完成的，课后批改，课后讲评，这是传统的做法。但是，我们也可根据不同的课型特点，精心选择问题作为课前学习的载体，许多地方都有尝试“先学后教”的教改实验并取得一定的成效，因此，“课前”作业也未尝不可。此外，对应高中数学课堂，很多时候我们也可以保证每节课留出一定的时间来进行当堂训练，随堂完成。“课后”、“课前”、“随堂”，不同学习时段的作业要求显然是不一样的，需要我们更深入地探讨，这都是“校本化”的话题。

3.作业评讲与教师辅导的实效性问题

学生交上作业，教师评改后讲评是常见的反馈模式。作业是教师与学生交流的主要载体，教师辅导以及评讲能否及时有效是作业最关注的目标。校本化作业能否处理好这个关系是最值得研究的问题，哪些作业学生可以独立完成，哪些作业需要教师辅导学生才能完成，哪些作业需要及时讲评才能帮助学生排疑解难等，都是校本化作业必须面对的课题。

总之，作业是课堂教学的延伸，优化作业设计，可以有力地拓展学生的减负空间，发展独特的个性。学生的学习离不开作业，数学作业的校本化就是要努力使学生不觉得学习数学是负担，同时又让他们有兴趣，并且能够有效地掌握知识，进而发展成为能力素养。我们应该以新课程理念为指导，校本化设计数学作业，注重基础知识和技能的训练，优化学生学习的过程与方法，让学生在完成作业时情感态度价值观得到升华，从而提高数学素养，激发学习潜能。高中数学课堂的有效创设，进行校本化作业的研究是可以值得深入实践反思的。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）.北京：人民教育出版社，2003.

[2] 陈仙红.数学作业校本化的三点尝试.数学大世界（教师适用），2011（4）.

[3] 张忠瑞.浅析初中数学作业校本化.吉林教育，2012（4）.

【责任编辑 郑雪凌】