初中数学解题中《圆》中易错问题例析

林郑娜

摘 要：圆作为初中数学中的重要内容，由于其多解性和解题的灵活性，导致了不少学生在解题的过程中容易出错。为了有效的提高数学圆的教学质量，减少学生在解题中的错误，应当加强对圆解题过程中的错题分析，通过总结、归纳提高学生的解题效率。

关键词：初中数学 解题 分析

中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）05（b）-0074-02

解题作为数学教学活动的基本形式和重要内容，对学生数学概念的掌握以及数学公式的应用等都具有一定的考察意义。通过数学解题活动，使学生在解题的过程中能够了解和掌握数学解题思想和技巧，同时也培养了学生的智力，对于学生数学能力的发展和提高都具有重要的意义。在中学数学的教学过程中都配置了相当数量的题目，这也是学生理解和掌握数学知识的钥匙。

在求解初中圆的问题中，由于圆的特殊性质，容易出现双解或者多解的现象，许多学生在求解的过程中往往容易忽略，导致了出现解题错误的现象。通过对圆教学过程中的错误习题分析，发现部分学生对于圆的概念和性质掌握的不够透彻，当题目变化时学生有可能难以全面的认识问题。垂径定理作为圆形教学过程中的重要知识点，部分学生在应用的过程中容易遗漏推论中的相关条件。在利用三点来确定圆时，很多学生往往忽略了对三点是否在同一直线上进行判断，忽略了发散思维的作用。同时圆中的线段、角以及弧度等不同类型的知识比较多，对于学生的要求比较高，如果学生对其中某个知识点不能熟练掌握，那么在解决等圆或者同圆中利用弦来判断圆周角的时候容易忽略掉互补的情况。圆的不同线段的条件不同，所以其解题的方法也存在着巨大的不同。例如对于圆的切线来说，它应当满足直线要经过圆上的点，而且直线能够垂直于经过该点的半径，如果忽略了其中的一个条件就不能进行判断。特别地，圆知识的灵活性进一步的提高了其解题的难度，例如在计算和圆相关的位置问题时，圆的相离——内含、外离，以及相切——内切、外切，特别容易忽略其中的一种；同时在两个圆的相交问题中，也容易忽略到其中的一种条件。对于初中数学圆的知识比较复杂的情况，数学教师在教学的过程中应当加强对学生的引导，使学生能够养成自觉总结、归纳的习惯，保证会的题目能够作对、做全。

在求解圆和其内的两条平行线之间的距离时，要注意平行线在圆心同侧和异侧的情形，否则容易发生漏解的现象。例1：在一个直径为25 mm的圆中，弦AB=20 mm，弦CD=24 mm，而且AB和CD平行，现在求线段AB和CD之间的距离。

错解：如图1，过点O作OM和AB垂直相交于点M，同时交CD于N，然后连接OB、OD，那么可以得到OB=OD，由于AB=20，CD=24，所以可以得到BM=10，DN=12。

在直角三角形OBM和ODN中，可以得到OB2=OM2+BM2，OD2=DN2+ON2。

所以可以得到OM=7.5，ON=3.5。从而可以得出MN=OM-ON=4。

通过检查此题的解题步骤，没有发现错误的情况，但是由于原题中没有给出具体的图形，所以还可能存在AB和CD处于圆心O异侧的情况，造成了漏解的现象，如图2所示。

此时，当AB和CD处于圆心O异侧时，过点O作OM和AB垂直相交于点M，ON垂直CD于N，然后连接OB、OD，可以根据直角三角形的性质得到OM=7.5，ON=3.5，那么根据图形可以得到MN=11。所以AB和CD之间的距离为4 mm或者11 mm。

例2：已知两圆半径分别为4和5，其中相交圆的公共弦长为6，请求出这两个圆的圆心距。

错解：如图3所示，假设两个圆相交，其公共弦为AB，两个圆心的连线和AB相交于点C。由于AB=6，利用圆的对称性可以得到AC=3。在直角△AO2C中，可以得到O2C=；同理在直角△AO1C中，可以得到O1C=4。

在本题中两个圆相交时需要考虑到公共弦长和圆心距以及半径之间的关系，主要是關于公共弦和两个圆心之间的位置关系。在这种情况下可以分为两种情况，当两个圆心在公共弦的两侧时，或者两圆心在公共弦的同侧时，本题在解答的过程中就忽略了后一种情况。当圆心在公共弦的同侧时，如图4所示。

则此时O1O2=O1C-O2C=4-；当O1、O2在AB的两侧时O1O2=O1C+O2C=4+。所以其圆心距为4-或者4+。

在求解关于圆的题目时要综合题目的条件，注意避免题目的陷阱。平分弦的直径垂直于弦的同时也平分了弦所对的弧；在等圆或者同圆中，相等的弦所对的弧相等；当两条弧所对的圆心角相等时，这两条弧相等。在判断圆和点的关系时，常常需要判断点到圆心的距离和半径的比值。在判断直线是否是圆的切线时，需要根据半径来证明垂直，有垂直时需要证明半径。在遇到直径的时候要注意构造直角三角形；在计算圆中的图形面积时，需要利用等积变换法、公式法、拼凑法以及割补法等方法来解决问题。

针对圆中知识点比较多的情况，在做数学习题之前教师应当做好公式、适用条件以及性质等方面的复习。使学生能够对圆的数学公理和定理等基本方法有一定的掌握，从而养成良好的解题习惯。在圆的解题过程中可以按照一般的数学解题方法进行，先做好题目的审题工作，对题目存在的各种可能性都要进行逻辑推理和验证，在题目完成之后还应当进行检验。很多学生在解题的过程中比较重视对题目的表达和解决，而对于其它的环节缺少足够的研究和思考。对于圆来说由于其多解性，所以圆的错题也具有其本身的特点，需要学生在审题的过程中能够抓住其基本的特征，然后就可以得到相应的解题思路和方法，通过培养学生重视审题的学习习惯对于减少圆解题过程中的漏解情况具有重要的帮助。在解题的过程中要注意对相应的公理和定理进行思考，通过解题达到对定理活学活用的目的，同时也使学生的解题思路清晰、灵活。

通过对圆解题过程中容易出错的知识点和错题进行分析，可以有效的提高学生在解题过程中的全面性。在圆的习题教学中要遵循一般的数学教学规律，培养学生良好的学习和解题习惯，特别是对于圆的知识点比较多的情况，要引导学生对知识点的活学活用，最终提高解题的质量。

参考文献

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[2] 万波，夏艳艳.“圆与圆的位置关系”中绕不过去的一道坎[J].考试周刊，2012（39）：51.

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