把数学美还给学生

蒋海燕

伴随多地密集出台高考改革方案，2013年下半年，不少省市拿英语“开刀”。与此同时，数学也“躺着中枪”了.网友们高呼“让数学滚出高考”.新浪微博关于“数学该滚出高考吗”的调查显示，在近10万网友参与的投票讨论中，有超过7万的网友支持数学滚出高考.这是一个令人警觉的危险信号.造成这种状况的原因固然是多方面的，但其中一个重要原因是多数人感到数学抽象、枯燥，引不起兴趣.

数学大师陈省身生前有一个梦想：期望在二十一世纪将中国从一个数学大国变为数学强国.然而，目前的状况是多数国人讨厌数学.这种状况不改变，实现数学强国的梦想就是空想.大家都知道，只有热爱数学，喜欢数学，才能学好数学.特别是学生，如果讨厌数学，怎么能学好数学！为了激发学生的学习兴趣，在数学基础教育阶段就应当注重把数学美还给学生，让学生感受到数学的美，数学的“好玩”，吸引学生热爱数学、会学数学、学好数学，从而提升数学教学品位.那么如何把数学美还给学生呢？笔者在数学教学实践中有以下几点体会.

一、通过揭示数学本质特征让学生认识数学美

爱美之心人皆有之，美的事物总是人们醉心追求的对象.然而，一提到美，人们最容易想到的是江山如画的自然美，或者是赏心悦目的音乐、美术、诗文的艺术美.然而，数学作为自然科学的皇后，里面蕴含着比诗画更美的境界.数学大师陈省身曾说：“数学好玩.”谷超豪院士则说：“人谓数无味，我道味无穷.”古希腊数学家普罗克拉斯有一句颇打动人心的名言：“哪里有数，哪里就有美.”数学家们的话语并不是凭空而说，更不是故意惊人，而是他们数学研究、实践和经验的真实感悟.其实，数学并不是如有些人所说的那么枯燥无味，而是蕴含着许许多多的美，只要善于品味、玩味，就会发现数学原来是那么的有趣、高雅、“好玩”，那么的奥妙无穷、回味无穷.

那么，数学美主要体现在哪些方面？张奠宙、宋乃庆主编的《数学教育概论》写道：“数学美有‘美观、‘美好、‘美妙、‘完美四个层次.”[1]所谓“美观”，是指数学形式外观的美.如“黄金分割”、二次曲线等几何外观的美.所谓“美好”，是指有些数学内容虽然外观不太美观，但是“很好用”.如二次方程求根公式等；所谓“美妙”，是指一些数学内容所体现的美学意境和数学规律的奥秘.如任意三角形的三条高交于一点.何等美妙？“众里寻她千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”，则是解决数学难题时的“美妙”心境；所谓“完美”，是指完美的分类、完美的解答、完美的体系，这属于数学美更高的水平.

数学之美，美不胜收.数学家维纳说：“数学实质上是艺术的一种.”事实上，数学美的表现形式是多种多样的，从数学的外在形象上观察，她有体系美、概念美、公式美；从数学思维方式上分析，她有简约美、无限美、抽象美、类比美；从美学原理上探讨，她有对称美、和谐美、奇异美等.此外，数学还有完美的符号语言、特有的抽象艺术、严密的逻辑体系、永恒的创新动力等特点.例如，函数y=f（x）这一简单的表达式把两个变量和的关系通过对应法则和等号连接在一起，深刻体现了数学的符号美和简洁美；圆锥曲线的对称、杨辉三角的对称等都反映了数学的对称美；方程的曲线和曲线的方程的关系静中有动，动中有静，深刻反映了数学的静态美与动态美……数学美的总体特征可以概括为简洁性、和谐性和奇异性.其中简洁性具体表现为符号美、抽象美、统一美；和谐性表现为和谐美、对称美、形式美；奇异性表现为奇异美、神秘美（朦胧美）、常数美.问题是我们在数学教学中，对这些数学本质挖掘不够，没有注意让学生对数学美的体验，致使本来美的数学成为枯燥的代名词.

数学美感能唤起良好的情感，引起学生对数学的兴趣，能让学生感到数学学习不是一种负担、一种苦役，而是一种需要、一种享受.因此，数学教师一定要把培养学生的数学美感贯穿在教学过程的始终.

二、通过呈现课堂艺术让学生感受数学美

我国数学家徐利治认为：“数学教学的目的之一是使学生获得对数学的审美能力，即能增进学生对数学美的主观感受能力.”数学课堂是数学教学的主要阵地，美的数学课堂是学生直接感受数学美的重要渠道，是在教师指导下的一种特殊审美过程.因此数学教师在教学中，应当把数学美的内容通过教学过程的设计向学生呈现出来，让学生感受数学美，欣赏数学美，理解数学美，进而去追求美、创造美.在课堂教学过程中要注重从以下几个方面进行设计.

一是注重结构美.数学教学内容的组织应该有严谨、合理的结构，教学环节之间应详略有当，重点突出.教学内容的顺序、方式都要符合学生的认知规律等.

二是注重形式美.教师在教学中要根据教材的内容和学生的特点而采取不同的教学方法.比如数学实验、数学模型、数学CAI课件制作等.教学方法和手段的多样化，构成了课堂的形式美.

三是注重生成美.所谓“生成”，即指在课堂教学过程中出现的与教学预设不一致或教学预设之外的情况时，通过师生的共同参与与探究取得意外收获的教学活动.叶澜教授曾说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定的线路而没有激情的行程.”因此，教师在课堂教学中不应机械地执行预设方案，而应在课堂特定的动态环境中，根据师生、生生互动的情况，有意识地抓住这些“意外通道”，捕捉那些“美丽图景”，随机应变，因势利导，机智地组织学生进行探究，在探究过程中获取意外收获，使课堂因“生成”而添魅力，美不胜收.

四是注重深沉美.数学是一种思维方式，更是一种理性的艺术.教师要善于把课堂教学变成理性、悟性、灵性融为一体的教育乐章.波利亚说：“成功的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到了正确的道路.”数学知识体系中处处闪耀着辩证思想的光芒.如加法与减法、乘法与除法、乘方与开方、“曲”与“直”、空间与平面、变与不变、有限与无限等.在数学教学中，教师把对立统一的辩证思想渗透其中，让学生学会运用发展与变化、一般与特殊、抽象与具体、善于抓住主要矛盾、透过现象看本质等一系列哲学观念与方法论处理数学问题，使课堂因深沉而增强魅力.

五是注重情境美.创设具体、形象的优美情境是激发学生学习兴趣的重要手段.教师在课堂教学过程中要通过讲解、剖析、演示、图形、图像、多媒体等形式与载体，使数学内容活起来、动起来，从而赋予数学内容以美的生命、美的内涵，使学生从数学的显性美提高到对数学隐形美的认识，从感性认识上升到理性认识，进而形成数学美感.

六是注重语言美.苏霍姆林斯基说：“教师的语言修养在极大程度上决定着学生在课堂上的智力劳动效率.”在整个数学课堂教学过程中，数学知识的传递、学生学习情况的反馈、师生间的情感交流等都必须依靠语言.语言是教师完成教学任务的主要工具.因此，数学教师在课堂教学过程中，要非常注重语言艺术.语言艺术主要体现在以下五点.第一，表达严谨.数学用语中的一字一句都有其特定的意义，数学教师的语言表达一定要准确、科学，否则，就会使学生产生错误的认识.例如“x≥0”，严格来说应读作“x不小于0”或者“x为非负数”，不能读作“x大于等于零”.因为一个实数不能既大于又等于另一个实数，因而至少也要在中间加上“或者”.第二，提问具有挑战性、启发性，能吸引学生全神贯注地思维，调动学生深入思考、获取新知，激活课堂，促进生成.例如，有位教师在讲授“线段、射线、直线”这节课时，拿出手电筒射在窗上，问：“你们看这光射到哪里啦？”生答：“窗户上.”“它还会射到哪里？”“射到校园里.”“光如果足够强的话，还可能穿过树林、田野，射到太平洋.”这时学生展开想象的翅膀，从中感受到射线一端可以无限延伸.第三，评价语言的幽默.这里的“评价”包括对学生的肯定和否定两个方面.特别是在批评时要善于用幽默的语言.前苏联著名教育家斯维特洛夫曾指出：“教育家最主要的，也是第一位的助手是幽默.”幽默的语言是师生课堂交流的润滑剂.在数学教学中巧妙地运用幽默性的批评语言能使教师的讲课变得风趣、诙谐、睿智，具有一定的艺术魅力，也有助于融洽师生关系.第四，情感交流的真诚.在课堂上，情感是打开学生智力闸门的钥匙.在师生课堂语言交流中，教师要充分尊重、真诚对待每一位学生，积极营造一种平等、民主的氛围，以教师的情感去带动学生的学习情感，唤醒学生的创造性思维，使学生真正感受到自身生命的价值和美好.第五，肢体语言丰富多彩.肢体语言包括表情语言、手势语言和体态语言等.这些无声语言可辅助有声语言实现教学目的，如果使用得当有时比有声语言的效果还要好.总之，教师的课堂语言艺术是构成课堂美的重要因素，既体现了教师的教学能力，又关系到课堂教学效果的高低.因此，数学教师要不断完善自己的教学语言，达到数学教学语言的科学性、艺术性的辩证统一，增强教学效果.

七是注重板书美.板书板画是书法、绘画、制表艺术的综合表现，板书板画中的美感因素主要表现在简要精妙的简洁美，层次清楚的条理美，形式多样的变化美，直观图表的图画美等方面.例如，数学公式的简洁美、几何推理的条理美、几何图形的图画美都被板书表现得淋漓尽致.书写端正、字迹清秀、绘图精美、布局合理的板书，犹如用文字和符号巧妙组成的一副艺术画面，令人赏心悦目，让学生获得美的享受.

三、通过解决数学问题让学生体验数学美

大家都知道，学生掌握数学知识的多少并不是第一位的，最重要的是学生是否掌握了数学的精神.数学的精神是学习数学、发展数学和应用数学的根源所在，而这种数学精神的培养过程就是数学美的创造过程，数学美的创造是数学美的升华.因此，数学教学中要经常用“实践——认识——再实践”的认识规律，引导学生去欣赏美、挖掘美、构造美、追求美.数学中的数美、式美、形美的美的结构元素往往隐藏在问题之中，要求我们充分挖掘.实践证明，美的观点一旦与问题结合，人们就能凭借已知的知识与经验产生直觉和灵感，明确解决问题的总体思路与方向，简化解题过程，寻找解决问题的捷径.[2]

【案例】已知α、β∈R且设p：α>β，设q：α+sinαcosβ>β+sinβcosα，则p是q的（）.

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

分析：条件结构对称，整体和谐，变化有序.和谐、美妙的形式特征中必然包含优美的解法.利用结构的对称

此题的解决是从数学的外在形式美的特征中得到启示，将问题转化为函数性质的探究，找到解题方法.因此，在解决问题过程中，教师要引导学生有意识地审视数学美，启迪解决问题的思路；挖掘隐含在问题中的美，简化问题解决的过程；通过转化与化归，构造数学美的形式，探索问题解决的捷径；追求解决方法的美，反思问题解决的途径.通过经常进行数学问题解决中的审美活动，不断提高学生对数学美的认识和学习数学的兴趣，增强学生的解题能力，从而发展学生的创造性思维.

英国著名哲学家罗素说：“数学，不但拥有真理，而且拥有至高的美.”把数学美还给学生，让学生在快乐中学习，在学习中享受快乐，是数学教师的神圣使命.如此，“让数学滚出高考”的呐喊就自然会销声匿迹，二十一世纪实现“数学强国”的梦想才有希望.

参考文献

[1]张奠宙，宋乃庆主编.数学教育概论（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009：103.

[2]蒋建华.数学英才教育的责任担当[J].数学通报，2011（3）：23.

（责任编辑黄桂坚）

五是注重情境美.创设具体、形象的优美情境是激发学生学习兴趣的重要手段.教师在课堂教学过程中要通过讲解、剖析、演示、图形、图像、多媒体等形式与载体，使数学内容活起来、动起来，从而赋予数学内容以美的生命、美的内涵，使学生从数学的显性美提高到对数学隐形美的认识，从感性认识上升到理性认识，进而形成数学美感.

六是注重语言美.苏霍姆林斯基说：“教师的语言修养在极大程度上决定着学生在课堂上的智力劳动效率.”在整个数学课堂教学过程中，数学知识的传递、学生学习情况的反馈、师生间的情感交流等都必须依靠语言.语言是教师完成教学任务的主要工具.因此，数学教师在课堂教学过程中，要非常注重语言艺术.语言艺术主要体现在以下五点.第一，表达严谨.数学用语中的一字一句都有其特定的意义，数学教师的语言表达一定要准确、科学，否则，就会使学生产生错误的认识.例如“x≥0”，严格来说应读作“x不小于0”或者“x为非负数”，不能读作“x大于等于零”.因为一个实数不能既大于又等于另一个实数，因而至少也要在中间加上“或者”.第二，提问具有挑战性、启发性，能吸引学生全神贯注地思维，调动学生深入思考、获取新知，激活课堂，促进生成.例如，有位教师在讲授“线段、射线、直线”这节课时，拿出手电筒射在窗上，问：“你们看这光射到哪里啦？”生答：“窗户上.”“它还会射到哪里？”“射到校园里.”“光如果足够强的话，还可能穿过树林、田野，射到太平洋.”这时学生展开想象的翅膀，从中感受到射线一端可以无限延伸.第三，评价语言的幽默.这里的“评价”包括对学生的肯定和否定两个方面.特别是在批评时要善于用幽默的语言.前苏联著名教育家斯维特洛夫曾指出：“教育家最主要的，也是第一位的助手是幽默.”幽默的语言是师生课堂交流的润滑剂.在数学教学中巧妙地运用幽默性的批评语言能使教师的讲课变得风趣、诙谐、睿智，具有一定的艺术魅力，也有助于融洽师生关系.第四，情感交流的真诚.在课堂上，情感是打开学生智力闸门的钥匙.在师生课堂语言交流中，教师要充分尊重、真诚对待每一位学生，积极营造一种平等、民主的氛围，以教师的情感去带动学生的学习情感，唤醒学生的创造性思维，使学生真正感受到自身生命的价值和美好.第五，肢体语言丰富多彩.肢体语言包括表情语言、手势语言和体态语言等.这些无声语言可辅助有声语言实现教学目的，如果使用得当有时比有声语言的效果还要好.总之，教师的课堂语言艺术是构成课堂美的重要因素，既体现了教师的教学能力，又关系到课堂教学效果的高低.因此，数学教师要不断完善自己的教学语言，达到数学教学语言的科学性、艺术性的辩证统一，增强教学效果.

七是注重板书美.板书板画是书法、绘画、制表艺术的综合表现，板书板画中的美感因素主要表现在简要精妙的简洁美，层次清楚的条理美，形式多样的变化美，直观图表的图画美等方面.例如，数学公式的简洁美、几何推理的条理美、几何图形的图画美都被板书表现得淋漓尽致.书写端正、字迹清秀、绘图精美、布局合理的板书，犹如用文字和符号巧妙组成的一副艺术画面，令人赏心悦目，让学生获得美的享受.

三、通过解决数学问题让学生体验数学美

大家都知道，学生掌握数学知识的多少并不是第一位的，最重要的是学生是否掌握了数学的精神.数学的精神是学习数学、发展数学和应用数学的根源所在，而这种数学精神的培养过程就是数学美的创造过程，数学美的创造是数学美的升华.因此，数学教学中要经常用“实践——认识——再实践”的认识规律，引导学生去欣赏美、挖掘美、构造美、追求美.数学中的数美、式美、形美的美的结构元素往往隐藏在问题之中，要求我们充分挖掘.实践证明，美的观点一旦与问题结合，人们就能凭借已知的知识与经验产生直觉和灵感，明确解决问题的总体思路与方向，简化解题过程，寻找解决问题的捷径.[2]

【案例】已知α、β∈R且设p：α>β，设q：α+sinαcosβ>β+sinβcosα，则p是q的（）.

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

分析：条件结构对称，整体和谐，变化有序.和谐、美妙的形式特征中必然包含优美的解法.利用结构的对称

此题的解决是从数学的外在形式美的特征中得到启示，将问题转化为函数性质的探究，找到解题方法.因此，在解决问题过程中，教师要引导学生有意识地审视数学美，启迪解决问题的思路；挖掘隐含在问题中的美，简化问题解决的过程；通过转化与化归，构造数学美的形式，探索问题解决的捷径；追求解决方法的美，反思问题解决的途径.通过经常进行数学问题解决中的审美活动，不断提高学生对数学美的认识和学习数学的兴趣，增强学生的解题能力，从而发展学生的创造性思维.

英国著名哲学家罗素说：“数学，不但拥有真理，而且拥有至高的美.”把数学美还给学生，让学生在快乐中学习，在学习中享受快乐，是数学教师的神圣使命.如此，“让数学滚出高考”的呐喊就自然会销声匿迹，二十一世纪实现“数学强国”的梦想才有希望.

参考文献

[1]张奠宙，宋乃庆主编.数学教育概论（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009：103.

[2]蒋建华.数学英才教育的责任担当[J].数学通报，2011（3）：23.

（责任编辑黄桂坚）

五是注重情境美.创设具体、形象的优美情境是激发学生学习兴趣的重要手段.教师在课堂教学过程中要通过讲解、剖析、演示、图形、图像、多媒体等形式与载体，使数学内容活起来、动起来，从而赋予数学内容以美的生命、美的内涵，使学生从数学的显性美提高到对数学隐形美的认识，从感性认识上升到理性认识，进而形成数学美感.

六是注重语言美.苏霍姆林斯基说：“教师的语言修养在极大程度上决定着学生在课堂上的智力劳动效率.”在整个数学课堂教学过程中，数学知识的传递、学生学习情况的反馈、师生间的情感交流等都必须依靠语言.语言是教师完成教学任务的主要工具.因此，数学教师在课堂教学过程中，要非常注重语言艺术.语言艺术主要体现在以下五点.第一，表达严谨.数学用语中的一字一句都有其特定的意义，数学教师的语言表达一定要准确、科学，否则，就会使学生产生错误的认识.例如“x≥0”，严格来说应读作“x不小于0”或者“x为非负数”，不能读作“x大于等于零”.因为一个实数不能既大于又等于另一个实数，因而至少也要在中间加上“或者”.第二，提问具有挑战性、启发性，能吸引学生全神贯注地思维，调动学生深入思考、获取新知，激活课堂，促进生成.例如，有位教师在讲授“线段、射线、直线”这节课时，拿出手电筒射在窗上，问：“你们看这光射到哪里啦？”生答：“窗户上.”“它还会射到哪里？”“射到校园里.”“光如果足够强的话，还可能穿过树林、田野，射到太平洋.”这时学生展开想象的翅膀，从中感受到射线一端可以无限延伸.第三，评价语言的幽默.这里的“评价”包括对学生的肯定和否定两个方面.特别是在批评时要善于用幽默的语言.前苏联著名教育家斯维特洛夫曾指出：“教育家最主要的，也是第一位的助手是幽默.”幽默的语言是师生课堂交流的润滑剂.在数学教学中巧妙地运用幽默性的批评语言能使教师的讲课变得风趣、诙谐、睿智，具有一定的艺术魅力，也有助于融洽师生关系.第四，情感交流的真诚.在课堂上，情感是打开学生智力闸门的钥匙.在师生课堂语言交流中，教师要充分尊重、真诚对待每一位学生，积极营造一种平等、民主的氛围，以教师的情感去带动学生的学习情感，唤醒学生的创造性思维，使学生真正感受到自身生命的价值和美好.第五，肢体语言丰富多彩.肢体语言包括表情语言、手势语言和体态语言等.这些无声语言可辅助有声语言实现教学目的，如果使用得当有时比有声语言的效果还要好.总之，教师的课堂语言艺术是构成课堂美的重要因素，既体现了教师的教学能力，又关系到课堂教学效果的高低.因此，数学教师要不断完善自己的教学语言，达到数学教学语言的科学性、艺术性的辩证统一，增强教学效果.

七是注重板书美.板书板画是书法、绘画、制表艺术的综合表现，板书板画中的美感因素主要表现在简要精妙的简洁美，层次清楚的条理美，形式多样的变化美，直观图表的图画美等方面.例如，数学公式的简洁美、几何推理的条理美、几何图形的图画美都被板书表现得淋漓尽致.书写端正、字迹清秀、绘图精美、布局合理的板书，犹如用文字和符号巧妙组成的一副艺术画面，令人赏心悦目，让学生获得美的享受.

三、通过解决数学问题让学生体验数学美

大家都知道，学生掌握数学知识的多少并不是第一位的，最重要的是学生是否掌握了数学的精神.数学的精神是学习数学、发展数学和应用数学的根源所在，而这种数学精神的培养过程就是数学美的创造过程，数学美的创造是数学美的升华.因此，数学教学中要经常用“实践——认识——再实践”的认识规律，引导学生去欣赏美、挖掘美、构造美、追求美.数学中的数美、式美、形美的美的结构元素往往隐藏在问题之中，要求我们充分挖掘.实践证明，美的观点一旦与问题结合，人们就能凭借已知的知识与经验产生直觉和灵感，明确解决问题的总体思路与方向，简化解题过程，寻找解决问题的捷径.[2]

【案例】已知α、β∈R且设p：α>β，设q：α+sinαcosβ>β+sinβcosα，则p是q的（）.

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

分析：条件结构对称，整体和谐，变化有序.和谐、美妙的形式特征中必然包含优美的解法.利用结构的对称

此题的解决是从数学的外在形式美的特征中得到启示，将问题转化为函数性质的探究，找到解题方法.因此，在解决问题过程中，教师要引导学生有意识地审视数学美，启迪解决问题的思路；挖掘隐含在问题中的美，简化问题解决的过程；通过转化与化归，构造数学美的形式，探索问题解决的捷径；追求解决方法的美，反思问题解决的途径.通过经常进行数学问题解决中的审美活动，不断提高学生对数学美的认识和学习数学的兴趣，增强学生的解题能力，从而发展学生的创造性思维.

英国著名哲学家罗素说：“数学，不但拥有真理，而且拥有至高的美.”把数学美还给学生，让学生在快乐中学习，在学习中享受快乐，是数学教师的神圣使命.如此，“让数学滚出高考”的呐喊就自然会销声匿迹，二十一世纪实现“数学强国”的梦想才有希望.

参考文献

[1]张奠宙，宋乃庆主编.数学教育概论（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2009：103.

[2]蒋建华.数学英才教育的责任担当[J].数学通报，2011（3）：23.

（责任编辑黄桂坚）