例析圆周运动易错题

华峰

圆周运动是高中物理中重要的内容，由于它涉及的知识点较多，涉及的知识面也较宽，导致有些同学在求解此类问题时常常会出现错误。下面举例分析，希望能够引起同学们的注意。

【例1】如图1所示，半径为R的光滑球体固定在水平面上，从球体的最高点A由静止释放一个质量为M的小滑块，求小滑块在下滑过程中离开球体的位置和速率。

错解：有些同学在读完题目后，认为小滑块M离开球体的位置为C，由机械能守恒定律有：MgR=Mv2，解之得：v=。

剖析：上述错解在于误认为小滑块在球面上做的圆周运动。

正解：滑块在光滑的球面上下滑的过程中，沿着球面做圆周运动，向心力是重力与支持力在半径方向上的合力。重力的另一分力使小滑块速度不断增大，小滑块需要的向心力也就不断增大，当支持力为零时，向心力达最大值，随着速度的增加小滑块将做离心运动，离开球面。则有：mgcos？兹=；又由动能定理可知：MgR-MgRcos？兹=，解得v=.

小滑块离开物体的高度为，此后小滑块离开球体，做抛体运动。

【例2】一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，请写出用m1、m2、R来表示v0的关系式。

错解：根据题意可知，在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力F1为向心力，则有：F1 = m1 ①

B球在最高点时，圆管对它的作用力F2为向心力，方向向下，则有F2 = m2 ②

因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有：

m2 g ·2R +m2 v21=m2 v 20 ③

F1 = F2 ④

联立以上四式可解得：v0 =。

剖析：上述错解的原因在对向心力分析时遗漏了重力。

正解：首先画出小球运动到最高点、最低点的受力图，如图2所示。A球在圆管最低点必受向上弹力F1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力F2，且F1 = F2。根据牛顿第二定律可知：

A球在圆管的最低点时有：F1–m1g = m1 ①

B球在最高点时有：m2g+F2 = m2 ②

因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有：

m2 g ·2R +m2v21=m2v20 ③

F1 = F2 ④

联立以上四式可解得：v0 =。

【例3】 如图3所示，长为L的轻绳一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的小球，开始时绳处于水平面上方30°的位置，绳刚好伸直，然后将小球自由释放，求小球到最低点时受到细绳的拉力大小。

错解：有些同学认为小球做圆周运动，由机械能守恒定律得：mg（L+Lsin300）=mv2

对小球在最低点时受力分析有：T-mg=

则有：T=4mg。

剖析：上述错解原因在于没有正确地分析物体的运动过程，小球释放后绳是松弛的，对物体无作用力，如图4所示。小球从A到B做自由落体运动，到达B点时细绳被拉直，小球接着做圆周运动至C点。

正解：小球从A到B的运动，由机械能守恒定律有：

mv2B=mg（+）。

当小球到达B点时，细绳在瞬间绷直，绳的冲力使小球的运动状态发生了改变，由于细绳不能伸长，所以沿着绳的方向速度瞬间为0，而垂直于绳的方向速度不变，即小球从B点以v′B = vB cos30°为初速度向下做圆周运动至C点，根据机械能守恒定律可知：mv′2B+mgL=mv20

对小球在C点受力分析可知：T-mg=。

联立以上各式可解得：T = 3.5 mg。

【例4】用长L = 1.6 m的细绳，一端系着质量M = 1 kg的木块，另一端挂在固定点上，现有一颗质量为m = 20 g的子弹以速度v1 = 500 m/s的水平速度向木块中心射击，结果子弹穿出木块后以v2 = 100 m/s的速度前进。问木块可运动到多高？（取g = 10 m/s2，空气阻力不计）

错解：在水平方向上动量守恒，则有：

mv1 = Mv + mv2 （v为木块被子弹击中后的速度） ①

木块被子弹击中后便以速度v开始摆动。由于绳子对木块的拉力跟木块的位移垂直，对木块不做功，所以木块的机械能守恒，即mv2=mgh（h为木块所摆动的高度） ②

由上述两式代入已知数据可解得：v = 8 m/s，h = 3.2 m。

剖析：上述错解顾此失彼，只考虑了机械能守恒，而忽视了能否满足沿圆周轨道运动的条件。实际上h = 3.2 m，就是木块摆到了B点，如图5所示，则它在B点时的速度vB应满足方程mg =M。此时木块的重力提供了木块在B点做圆周运动所需的向心力，解上述方程可得vB == 4 m/s。

如果vB < 4 m/s，则木块不能升到B点，在到达B点之前的某一位置以某一速度开始做斜向上抛运动，而木块在B点时的速度vB = 4 m/s，是不符合机械能守恒定律的，木块在B点时的机械能为（选A点为零势能点），则EB = mgh +

Mv2B= 1 × 10 × 3.2 J +× 1 × 42 J = 40 J，木块在A点时的机械能EA =Mv2=× 1 × 82 J = 32 J。两者不相等，因此木块不能升高到B点，而是升高到h < 3.2 m的某处。

事实上，在木块向上运动的过程中，速度逐渐减小。当木块运动到某一临界位置C时，如图6所示。木块所受的重力在绳子方向的分力恰好等于木块做圆周运动所需的向心力，此时绳子的拉力为零，绳子便开始松弛了。木块就从这个位置开始，以此时刻所能达到的高度就是C点的高度和从C点开始的斜上抛运动的最大高度之和。

正解：如上分析，从①求得vA = v = 8 m/s。在临界位置C时的速度vC = v2–2gL（1 + cosθ） ③

又mgcosθ = m，即

v2C= gLcosθ ④

由③、④可求得：cosθ ==，则θ=arccos。

所以h′ = L（1+cosθ）=L。

木块从C点开始以速度vC做斜上抛运动所能达到的最大高度h′′为：h′′ ===L，所以木块能达到的最大高度h为：h = h′ + h′′ =L+L= 2.96 m。

注意：物体能否做圆周运动，要看物体所受的合力能否提供物体所需的向心力，若不能提供，则物体就会离开轨道。

【例5】如图7所示，一摆长为L的摆，摆球质量为m，带电量为 –q，如果在悬点A放一正电荷q，且正、负电荷间存在沿二者连线的引力，引力大小为F = k。要使摆球能在竖直平面内做完整的圆周运动，则摆球在最低点的速度最小值应为多少？

错解：摆球运动到最高点时，最小速度为v =，由于摆在运动过程中，只有重力做功，则根据机械能守恒有：mv20=mg·2L+mv2 ，解之得：v0 =。

剖析：上述错解忽视了正、负电荷之间的引力作用。

正解：摆球运动到最高点时，受到重力mg、正电荷对它的引力F = k、绳子的拉力T作用，根据向心力公式可得：

T + mg + k=m。由于T ≥ 0，所以有：v≥。

由于摆在运动过程中，只有重力做功，则根据机械能守恒有：mv20=mg·2L+mv2 ，解之得：v0 =。

（作者单位：安徽省灵璧县黄湾中学）

责任编校 李平安endprint

圆周运动是高中物理中重要的内容，由于它涉及的知识点较多，涉及的知识面也较宽，导致有些同学在求解此类问题时常常会出现错误。下面举例分析，希望能够引起同学们的注意。

【例1】如图1所示，半径为R的光滑球体固定在水平面上，从球体的最高点A由静止释放一个质量为M的小滑块，求小滑块在下滑过程中离开球体的位置和速率。

错解：有些同学在读完题目后，认为小滑块M离开球体的位置为C，由机械能守恒定律有：MgR=Mv2，解之得：v=。

剖析：上述错解在于误认为小滑块在球面上做的圆周运动。

正解：滑块在光滑的球面上下滑的过程中，沿着球面做圆周运动，向心力是重力与支持力在半径方向上的合力。重力的另一分力使小滑块速度不断增大，小滑块需要的向心力也就不断增大，当支持力为零时，向心力达最大值，随着速度的增加小滑块将做离心运动，离开球面。则有：mgcos？兹=；又由动能定理可知：MgR-MgRcos？兹=，解得v=.

小滑块离开物体的高度为，此后小滑块离开球体，做抛体运动。

【例2】一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，请写出用m1、m2、R来表示v0的关系式。

错解：根据题意可知，在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力F1为向心力，则有：F1 = m1 ①

B球在最高点时，圆管对它的作用力F2为向心力，方向向下，则有F2 = m2 ②

因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有：

m2 g ·2R +m2 v21=m2 v 20 ③

F1 = F2 ④

联立以上四式可解得：v0 =。

剖析：上述错解的原因在对向心力分析时遗漏了重力。

正解：首先画出小球运动到最高点、最低点的受力图，如图2所示。A球在圆管最低点必受向上弹力F1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力F2，且F1 = F2。根据牛顿第二定律可知：

A球在圆管的最低点时有：F1–m1g = m1 ①

B球在最高点时有：m2g+F2 = m2 ②

因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有：

m2 g ·2R +m2v21=m2v20 ③

F1 = F2 ④

联立以上四式可解得：v0 =。

【例3】 如图3所示，长为L的轻绳一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的小球，开始时绳处于水平面上方30°的位置，绳刚好伸直，然后将小球自由释放，求小球到最低点时受到细绳的拉力大小。

错解：有些同学认为小球做圆周运动，由机械能守恒定律得：mg（L+Lsin300）=mv2

对小球在最低点时受力分析有：T-mg=

则有：T=4mg。

剖析：上述错解原因在于没有正确地分析物体的运动过程，小球释放后绳是松弛的，对物体无作用力，如图4所示。小球从A到B做自由落体运动，到达B点时细绳被拉直，小球接着做圆周运动至C点。

正解：小球从A到B的运动，由机械能守恒定律有：

mv2B=mg（+）。

当小球到达B点时，细绳在瞬间绷直，绳的冲力使小球的运动状态发生了改变，由于细绳不能伸长，所以沿着绳的方向速度瞬间为0，而垂直于绳的方向速度不变，即小球从B点以v′B = vB cos30°为初速度向下做圆周运动至C点，根据机械能守恒定律可知：mv′2B+mgL=mv20

对小球在C点受力分析可知：T-mg=。

联立以上各式可解得：T = 3.5 mg。

【例4】用长L = 1.6 m的细绳，一端系着质量M = 1 kg的木块，另一端挂在固定点上，现有一颗质量为m = 20 g的子弹以速度v1 = 500 m/s的水平速度向木块中心射击，结果子弹穿出木块后以v2 = 100 m/s的速度前进。问木块可运动到多高？（取g = 10 m/s2，空气阻力不计）

错解：在水平方向上动量守恒，则有：

mv1 = Mv + mv2 （v为木块被子弹击中后的速度） ①

木块被子弹击中后便以速度v开始摆动。由于绳子对木块的拉力跟木块的位移垂直，对木块不做功，所以木块的机械能守恒，即mv2=mgh（h为木块所摆动的高度） ②

由上述两式代入已知数据可解得：v = 8 m/s，h = 3.2 m。

剖析：上述错解顾此失彼，只考虑了机械能守恒，而忽视了能否满足沿圆周轨道运动的条件。实际上h = 3.2 m，就是木块摆到了B点，如图5所示，则它在B点时的速度vB应满足方程mg =M。此时木块的重力提供了木块在B点做圆周运动所需的向心力，解上述方程可得vB == 4 m/s。

如果vB < 4 m/s，则木块不能升到B点，在到达B点之前的某一位置以某一速度开始做斜向上抛运动，而木块在B点时的速度vB = 4 m/s，是不符合机械能守恒定律的，木块在B点时的机械能为（选A点为零势能点），则EB = mgh +

Mv2B= 1 × 10 × 3.2 J +× 1 × 42 J = 40 J，木块在A点时的机械能EA =Mv2=× 1 × 82 J = 32 J。两者不相等，因此木块不能升高到B点，而是升高到h < 3.2 m的某处。

事实上，在木块向上运动的过程中，速度逐渐减小。当木块运动到某一临界位置C时，如图6所示。木块所受的重力在绳子方向的分力恰好等于木块做圆周运动所需的向心力，此时绳子的拉力为零，绳子便开始松弛了。木块就从这个位置开始，以此时刻所能达到的高度就是C点的高度和从C点开始的斜上抛运动的最大高度之和。

正解：如上分析，从①求得vA = v = 8 m/s。在临界位置C时的速度vC = v2–2gL（1 + cosθ） ③

又mgcosθ = m，即

v2C= gLcosθ ④

由③、④可求得：cosθ ==，则θ=arccos。

所以h′ = L（1+cosθ）=L。

木块从C点开始以速度vC做斜上抛运动所能达到的最大高度h′′为：h′′ ===L，所以木块能达到的最大高度h为：h = h′ + h′′ =L+L= 2.96 m。

注意：物体能否做圆周运动，要看物体所受的合力能否提供物体所需的向心力，若不能提供，则物体就会离开轨道。

【例5】如图7所示，一摆长为L的摆，摆球质量为m，带电量为 –q，如果在悬点A放一正电荷q，且正、负电荷间存在沿二者连线的引力，引力大小为F = k。要使摆球能在竖直平面内做完整的圆周运动，则摆球在最低点的速度最小值应为多少？

错解：摆球运动到最高点时，最小速度为v =，由于摆在运动过程中，只有重力做功，则根据机械能守恒有：mv20=mg·2L+mv2 ，解之得：v0 =。

剖析：上述错解忽视了正、负电荷之间的引力作用。

正解：摆球运动到最高点时，受到重力mg、正电荷对它的引力F = k、绳子的拉力T作用，根据向心力公式可得：

T + mg + k=m。由于T ≥ 0，所以有：v≥。

由于摆在运动过程中，只有重力做功，则根据机械能守恒有：mv20=mg·2L+mv2 ，解之得：v0 =。

（作者单位：安徽省灵璧县黄湾中学）

责任编校 李平安endprint

圆周运动是高中物理中重要的内容，由于它涉及的知识点较多，涉及的知识面也较宽，导致有些同学在求解此类问题时常常会出现错误。下面举例分析，希望能够引起同学们的注意。

【例1】如图1所示，半径为R的光滑球体固定在水平面上，从球体的最高点A由静止释放一个质量为M的小滑块，求小滑块在下滑过程中离开球体的位置和速率。

错解：有些同学在读完题目后，认为小滑块M离开球体的位置为C，由机械能守恒定律有：MgR=Mv2，解之得：v=。

剖析：上述错解在于误认为小滑块在球面上做的圆周运动。

正解：滑块在光滑的球面上下滑的过程中，沿着球面做圆周运动，向心力是重力与支持力在半径方向上的合力。重力的另一分力使小滑块速度不断增大，小滑块需要的向心力也就不断增大，当支持力为零时，向心力达最大值，随着速度的增加小滑块将做离心运动，离开球面。则有：mgcos？兹=；又由动能定理可知：MgR-MgRcos？兹=，解得v=.

小滑块离开物体的高度为，此后小滑块离开球体，做抛体运动。

【例2】一内壁光滑的环形细圆管位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2，它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，请写出用m1、m2、R来表示v0的关系式。

错解：根据题意可知，在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力F1为向心力，则有：F1 = m1 ①

B球在最高点时，圆管对它的作用力F2为向心力，方向向下，则有F2 = m2 ②

因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有：

m2 g ·2R +m2 v21=m2 v 20 ③

F1 = F2 ④

联立以上四式可解得：v0 =。

剖析：上述错解的原因在对向心力分析时遗漏了重力。

正解：首先画出小球运动到最高点、最低点的受力图，如图2所示。A球在圆管最低点必受向上弹力F1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力F2，且F1 = F2。根据牛顿第二定律可知：

A球在圆管的最低点时有：F1–m1g = m1 ①

B球在最高点时有：m2g+F2 = m2 ②

因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有：

m2 g ·2R +m2v21=m2v20 ③

F1 = F2 ④

联立以上四式可解得：v0 =。

【例3】 如图3所示，长为L的轻绳一端固定在O点，另一端拴一个质量为m的小球，开始时绳处于水平面上方30°的位置，绳刚好伸直，然后将小球自由释放，求小球到最低点时受到细绳的拉力大小。

错解：有些同学认为小球做圆周运动，由机械能守恒定律得：mg（L+Lsin300）=mv2

对小球在最低点时受力分析有：T-mg=

则有：T=4mg。

剖析：上述错解原因在于没有正确地分析物体的运动过程，小球释放后绳是松弛的，对物体无作用力，如图4所示。小球从A到B做自由落体运动，到达B点时细绳被拉直，小球接着做圆周运动至C点。

正解：小球从A到B的运动，由机械能守恒定律有：

mv2B=mg（+）。

当小球到达B点时，细绳在瞬间绷直，绳的冲力使小球的运动状态发生了改变，由于细绳不能伸长，所以沿着绳的方向速度瞬间为0，而垂直于绳的方向速度不变，即小球从B点以v′B = vB cos30°为初速度向下做圆周运动至C点，根据机械能守恒定律可知：mv′2B+mgL=mv20

对小球在C点受力分析可知：T-mg=。

联立以上各式可解得：T = 3.5 mg。

【例4】用长L = 1.6 m的细绳，一端系着质量M = 1 kg的木块，另一端挂在固定点上，现有一颗质量为m = 20 g的子弹以速度v1 = 500 m/s的水平速度向木块中心射击，结果子弹穿出木块后以v2 = 100 m/s的速度前进。问木块可运动到多高？（取g = 10 m/s2，空气阻力不计）

错解：在水平方向上动量守恒，则有：

mv1 = Mv + mv2 （v为木块被子弹击中后的速度） ①

木块被子弹击中后便以速度v开始摆动。由于绳子对木块的拉力跟木块的位移垂直，对木块不做功，所以木块的机械能守恒，即mv2=mgh（h为木块所摆动的高度） ②

由上述两式代入已知数据可解得：v = 8 m/s，h = 3.2 m。

剖析：上述错解顾此失彼，只考虑了机械能守恒，而忽视了能否满足沿圆周轨道运动的条件。实际上h = 3.2 m，就是木块摆到了B点，如图5所示，则它在B点时的速度vB应满足方程mg =M。此时木块的重力提供了木块在B点做圆周运动所需的向心力，解上述方程可得vB == 4 m/s。

如果vB < 4 m/s，则木块不能升到B点，在到达B点之前的某一位置以某一速度开始做斜向上抛运动，而木块在B点时的速度vB = 4 m/s，是不符合机械能守恒定律的，木块在B点时的机械能为（选A点为零势能点），则EB = mgh +

Mv2B= 1 × 10 × 3.2 J +× 1 × 42 J = 40 J，木块在A点时的机械能EA =Mv2=× 1 × 82 J = 32 J。两者不相等，因此木块不能升高到B点，而是升高到h < 3.2 m的某处。

事实上，在木块向上运动的过程中，速度逐渐减小。当木块运动到某一临界位置C时，如图6所示。木块所受的重力在绳子方向的分力恰好等于木块做圆周运动所需的向心力，此时绳子的拉力为零，绳子便开始松弛了。木块就从这个位置开始，以此时刻所能达到的高度就是C点的高度和从C点开始的斜上抛运动的最大高度之和。

正解：如上分析，从①求得vA = v = 8 m/s。在临界位置C时的速度vC = v2–2gL（1 + cosθ） ③

又mgcosθ = m，即

v2C= gLcosθ ④

由③、④可求得：cosθ ==，则θ=arccos。

所以h′ = L（1+cosθ）=L。

木块从C点开始以速度vC做斜上抛运动所能达到的最大高度h′′为：h′′ ===L，所以木块能达到的最大高度h为：h = h′ + h′′ =L+L= 2.96 m。

注意：物体能否做圆周运动，要看物体所受的合力能否提供物体所需的向心力，若不能提供，则物体就会离开轨道。

【例5】如图7所示，一摆长为L的摆，摆球质量为m，带电量为 –q，如果在悬点A放一正电荷q，且正、负电荷间存在沿二者连线的引力，引力大小为F = k。要使摆球能在竖直平面内做完整的圆周运动，则摆球在最低点的速度最小值应为多少？

错解：摆球运动到最高点时，最小速度为v =，由于摆在运动过程中，只有重力做功，则根据机械能守恒有：mv20=mg·2L+mv2 ，解之得：v0 =。

剖析：上述错解忽视了正、负电荷之间的引力作用。

正解：摆球运动到最高点时，受到重力mg、正电荷对它的引力F = k、绳子的拉力T作用，根据向心力公式可得：

T + mg + k=m。由于T ≥ 0，所以有：v≥。

由于摆在运动过程中，只有重力做功，则根据机械能守恒有：mv20=mg·2L+mv2 ，解之得：v0 =。

（作者单位：安徽省灵璧县黄湾中学）

责任编校 李平安endprint