单频较少历元下GPS整周模糊度的快速解算

李林泽

[摘 要]鉴于大多数使用的GPS接收机都为单频载波相位L1，整周模糊度的解算需要大量卫星大量历元，使得求解十分困难而且无法快速准确求解，满足不了实时动态相对定位的需要而且解算整周模糊度精度不是很高。可以通过较好能快速检验出是否有周跳的情况下采用QR矩阵分解差分观测量矩阵减少未知参数的个数，以及通过Cholesky下三角阵分解方差阵，降低其相关性的方法能在单频接收机较少历元的情况下改善整周模糊度浮点解，减少模糊度的搜索空间，快速有效实现整周模糊度的解算过程。

[关键词]单频 双差多普勒频移 周跳QR分解Cholesky分解

[中图分类号] P228.4 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2014）15-0163-02

一、前言

现阶段GPS接收机中最为常用的为L1单频波段的载波相位，而载波相位中最为重要求解的内容即为其整周模糊度。目前世界上有许多整周模糊度的解算方法，较为常用的有快速模糊度确定方法（FARA）和最小二乘相关分解法（LAMBDA）。比较这两种方法则：FARA的基本思想是以数理统计的参数估计和假设检验为基础，利用初始平差的解向量以及其协因数阵、单位权中误差等，并确定一个置信区间，在该区间内逐次找寻整周模糊度的组合，将平差结果中验后方差最小的一组作为其最佳的估值。而采用LAMBDA方法包含两个部分：整数变换和基于目标函数分解的搜索方法 [1] [2]。

二、新方法

前面两种方法普遍存在观测时间长，无法快速解算整周模糊度、较难在搜索区间内快速找到最小二乘解、观测量之间具有较强的相关性无法精确合理的提供浮点模糊度协方差矩阵的问题 [3] [4]。而本文则采用新方法来快速解算整周模糊度，通过单频载波相位，利用双差，在去相关性的权阵中快速求取整周模糊度，具体解法为：先通过QR矩阵分解变换消去观测方程中坐标参数信息，在此基础上利用Cholesky分解进行降相关处理，再利用最小二乘即可减少搜索区域快速求解整周模糊度。

三、周跳检测

相位测量中存在如果信号失锁，相位测量就必须从新开始，这种现象称为整周跳变 [5] [6]。周跳的检测可以保证模糊度参数的修正，本文主要介绍一种合理有效地周跳检测方法。

用多普勒观测量探测周跳存在的方法：

假设发射标准频率为f，则卫星相对于接收机的径向速度为Vρ=■·■ρ=|V|cosα。式中■为卫星相对于接收机的速度矢量，V=|■|，■ρ为接收机相对于卫星的单位矢量α，为矢量■在■ρ上的投射角，ρ为接收机与卫星之间的距离。则接收信号频率为：

则多普勒频移为： fr=f（1+■）-1≈f（1-■）

fd=f- fr≈f■=■=■

如果时间间隔选择足够小，则多普勒计数等于瞬时多普勒频移即：

D=■≈■

在不考虑其他误差的情况下：

■≈■

φ■■（tr）=■-f（δtr-δts）+N■■-■+■+■+■+ε （1）

D=■-■+ε （2）

其中（1）式中为载波相位的相位观测量，δtide表示潮汐和海水负荷潮汐效应，δmul表示多路径效应，δrel表示相对论效应，ε 表示残差。

（2）式则为（1）式对于时间的求导，因为历元采样率时间较短，在短时间内电离层、对流层等影响因素的差值误差较少则舍去。

则对（1）、（2）式方程积分可得：

λjΔtΦj=Δtρ-Δt（δtr-δts）c+λjΔtNj+εj （3）

则（3）-（4）得

λj■Djdt=Δt ρ-Δt （δtr-δts）c+εp （4）

则（3）-（4）得

λjΔtNj=λjΔtΦj-λj■Djdt+ε1 （5）

相位观测是通过对局部相位保持跟踪和累计整周数测量的，如果期间发生信号失锁，整周数错误，即发生了周跳。因此，该积分可以通过首先将多普勒值调整为适当多项式，然后在一定时间内完成积分。

四、单频GPS动态定位中的模糊度浮点数计算

当分别安置在基准站和流动站的两台单频GPS接收机共视n+1颗卫星时，每一个历元可以组成n个相位双差观测方程。则对不同历元i建立线性化后的双差观测方程为（根据（1）式中单频相位的计算方程）

？塄ΔLi=Bi δXi+λL1？塄ΔN+εi （6）

公式简化为：Li=Bi δXi+λNi+ε （6-1）

式中？塄ΔLi为单频双差实测值即流动站与基准站之间双差测量值的差值；Ai为双差方程的系数阵；Xi为坐标分量改正数；？塄ΔN为整周模糊度差值改正数；εi为随机误差。

此时如果直接使用间接平差即V=Bx-l模型则会暴漏一些问题：

（1） 该方程中明显位置系数高于已知参数，求解则需要大量历元（至少200个）来解算，这样不仅不能达到 实时动态定位，高维矩阵方程中求逆等解算过程也是十分复杂。

（2）法方程系数的制约数为误差方程系数阵制约数的平方，即

（k（B））2=k（BTB）

因此，当误差方程系数阵B的制约数较大时增加了對舍入误差的敏感性。

（3）矩阵系数BTB带来的误差，当k（BTB）比较大的时候不能保证计算BTB的正定性。

（4）矩阵B的稀疏性不一定能保证BTB的稀疏性。

所以针对上述存在的问题，应该采用QR方法，将公式（6）中矩阵B分解为正交矩阵Q和对角线都为正数的上三角矩阵R。

具体分解步骤如下：

（1）将ji分解为QR，即：Bi=Qi Ri，Qi为n*n价矩阵，Ri为n*3价矩阵；

（2）对矩阵Qi分解为Q■■，Q■■即

Q■■=[Q■■+Q■■]；

（3）提取子矩阵Q■■，并求其转置（Q■■）T；

（4）对公式（6-1）两边左乘（Q■■）T，可以证明（Q■■）T*Bi=0，此时可以消除位置参数，只剩下模糊度参数：

（Q■■）T*Li=（Q■■）T*λNi+（Q■■）T*ε （7）

Ni=（Li-ε）/λ

从而可以求出整周模糊度Ni。

使用该方法可以有效降低未知参数的个数，方便快速解算整周模糊度，对于通视效果较好的卫星可以选择较好的4-6颗卫星作为主组建立搜索空间，其余卫星用于模糊度的检测，可以极大的减少对历元数的需要，尽量快速高效准确求得整周模糊度。

五、降相关分解及搜索固定

实际应用中双差处理模糊度浮点数间会产生很大的相关性，所以模糊度方差阵不為对角阵。同时强相关性会使得模糊度搜索区域拉伸而效果很差，较为浪费时间，所以应该降低模糊度的相关性，本文给出将方差阵变换为下三角阵（Cholesky）来降低其间模糊度的相关性。

Cholesky 公式如下：

■

通过该公式减小方差阵的强相关性，解算结果更加精确。

六、设定置信区间进行整周模糊度的索搜

在距离较短的基准站流动站可以测量出基线向量的大概方位和长度，所以在此基础上可以建立较为精确的整周模糊度求解的置信区间，在该区间中通过最小二乘法寻找出最佳整周模糊度，大大节省了观测时间，历元个数并且得到了精度较高的解值。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 李淑慧，刘经南.整周模糊度搜素方法的效率比较和分析[J].测绘通报，2003（10）：1-3.

[2] 刘宁，熊永良，冯威，徐韶光.单频GPS动态定位中整周模糊度的一种快速解算方法[J].2013（2）：211-217.

[3] 赵丽，刘建业，范胜利.基于QR矩阵的快速解算初始整周模糊度方法的研究[J].南京航空航天大学校报，2004（2）：249-253.

[4] 鲁定铁，周世健，朱煜峰，张立婷.间接平差与矩阵QR分解[J].华东理工大学学报，2009（4）：381-384.

[5] 刘立龙，刘基余，李光成.单频GPS整周模糊度动态快速求解的研究[J].武汉大学学报，2005（10）：885-887.

[6] Guochang Xu著.GPS理论、算法与应用（第二版）[M].北京：清华大学出版社，2011.

[责任编辑：黄紧德]