浅谈线性代数在化学理论中的应用

徐克龙

摘 要：线性代数与化学理论有着很多的联系。量子化学就是建立在线性Hilbert空间的理论基础上的，没有很好的线性代数的基础，不可能很好的掌握量子化学。而如今新药的研发和化学都离不开量子化学的计算。随着化学科技和信息技术的发展，线性代数对化学的影响越来越多，应用也越来越来广泛。对线性代数的基本意义和在化学涉及的常见理论进行了简述，并通过例子来具体说明线性代数在化学理论中的应用，对进一步了解抽象的线性代数很有意义。

关键词：线性代数；化学；量子

1 线性代数与线性关系[1][2]

线性代数是数学的一个部分，线性代数处理的是线性关系的问题。线性代数是理工科、专科学生必修的一门重要基础课，它既是学习计算数学、微分方程、离散数学的基础，也在工程技术和自然科学中被广泛应用。代数英文是Algebra，起源于阿拉伯语。它的原意是“结合在一起”，代数能够把原来很多不相关的没有联系的事物结合在一起，从而进行抽象。抽象是为了更好地解决问题，同时也是为了能让我们更好的工作，能大大提高我们的工作效率，我们可以通过学习线性代数来把很多问题归为一种问题解决，线性代数中的行列式、矩阵和向量尤为重要，在以下讨论的量子化学中也应用到行列式和矩阵的知识。随着数学的发展，线性代数的含义也不断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且在理论化学、工程技术、航天、生物技术、理论物理、航海等领域中都有着广泛的应用。线性代数在很多领域都得到了廣泛的应用，这又是因为什么呢？原因可以归结为以下几点。

1.1 大千世界的许多现象是成线性变化的。例如牛顿第二定律，物体的加速速度同它所受到的力成正比，这就是一个线性方程。量子化学中物质的波粒二象性的薜定谔方程，也是线性方程组。

1.2 我们在研究单个变量的关系时，也必须由此联想到多个变量之间的关系。因而大多数的实际问题都可以用线性关系来解决，这也是线性代数被广泛应用的原因。

1.3 线性代数从具体概念到抽象的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于提高科学智能是很有用的。

2 物理化学中的量子化学[3][4]

量子化学是物理化学中的一部分，量子化学可分基础研究和应用研究两大类，基础研究主要是寻求量子化学中的自身规律，建立量子化学的多体方法和计算方法等，多体方法包括化学键理论、密度矩阵理论和传播子理论，以及多级微扰理论、群论和图论在量子化学中的应用等。应用研究是利用量子化学方法处理化学问题，用量子化学的结果解释化学现象。量子化学的计算方法主要分为：（1）分子轨道法；（2）价键法。分子轨道法，它是原子轨道对分子的推广，即在物理模型中，假定分子中的每个电子在所有原子核和电子所产生的平均势场中运动，即每个电子可由一个单电子函数来表示它的运动状态，并称这个单电子函数为分子轨道，而整个分子的运动状态则由分子所有的电子的分子轨道组成（乘积的线性组合），这就是分子轨道法名称的由来。量子力学有五个基本假设：

假设一：对于一个微观体系，它的状态和由该状态所决定的各种物理性质可用波函数

Ψ（x， y， z，t）表示。Ψ是体系的状态函数，是体系中所有粒子坐标的函数，也是时间函数。

假设二：对于一个微观体系的每个可观测的物理量，都对应着一个线性自轭算符 。

假设三：若某一物理量A的算符B作用于某一状态函数Ψ，等于某一常数a乘以Ψ，即BΨ=aΨ。那么对Ψ所描述的这个微观体系的状态，物理量A具有确定的数值a。a称为物理量算符B的本征值，Ψ称为本征波函数。

假设四：若Ψ1，Ψ2，Ψ3，...Ψn为某一微观体系的可能状态，则由他们的线性组合所得的Ψ也是该体系可能存在的状态。

假设五：在同一原子轨道或分子轨道上，最多只能容纳俩个电子，这两个电子的自旋状态必须相反。或者说，两个自旋相同的电子不能占据同一轨道。这一假设在量子力学中通常表达为：描述多电子体系轨道运动和自旋运动的全波函数，对任意两粒子的全部坐标（空间坐标和自旋坐标）进行交换，一定得反对称的波函数。

在以上的量子力学中五个假设中也用到了线性代数的相关知识，假设二中有线性自轭算符，而在假设三中自轭算符的第二项重要性质就是归一性，在假设四中态叠加原理中也有线性组合系数。在以上我们所讨论的几个方面中我们了解了什么是线性代数，线性代数被广泛应用的原因，物理化学中的量子力学。虽然不能全面的，精确地解释线性代数和化学的联系。但从他们各自的解释中我们也不难看出线性代数在量子力学中的应用，量子化学是建立在线性Hilbert空间的理论基础上的，没有很好的线性代数的基础，不可能很好的掌握量子化学。当我刚刚接触物理化学的第一节课时，对物理化学的印象是特别抽象难懂，但经过几节课的学习后发现，线性代数对学习这门物理化学的帮助也是很大的，特别是在下面的一节中更多的用到了线性代数的知识，下面就让我们一起看一下。

在利用变分法解Schrodinger方程时，利用了线性变分法求出线性组合系数，进而得到波函数，此外在解方程的时候也应用到了对称矩阵的知识，利用学到的线性代数中的行列式的知识，得到了久期方程组以及久期行列式，在原子轨道线性组合为分子轨道中，久期方程是指关于组合系数的线性齐次方程组。该方程组有不全为零的解的条件是由系数所构成的行列式等于零，此行列式称为久期行列式。久期方程是对任意线性齐次方程组而言的。任意线性齐次方程组有根的条件是其系数行列式为零。这说明几个方程不是线性无关的，即至少有一组线性相关的解组。一般用久期方程判断方程组有无根的性质来确定某方程组的系数。

3 线性代数在化学方程式系数配平中的作用

从配平化学方程式的线性代数法介绍可知，用线性代数法配平化学反应方程式时，只需求出齐次线性方程组的一个基础解系.这种方法简单、易行，然而，此方法并不是对所有反应方程式的配平都适用。在化学方程的配平中，以前我们进常用的方法氧化值法，电子法，离子电子法、观察法等，这些方法都有他们的局限性，他们只对简单的化学方程式的配平有效，他们只是专门针对某一个特定的化学反应，因而不具有普遍性，但利用线性代数的方法解决化学方程式系数配平的问题就简单方便了，由此我们有一次看出了线性代数对化学产生了重要影响，线性代数与化学俩者之间联系密切，相互关联，相互作用。

4 结束语

线性代数对化学产生重要的影响，线性代数与化学之间密不可分，相互联系，相互作用。线性代数中的行列式、矩阵运算、初等变换与线性方程组、向量的线性相关性、矩阵的对角化及二次型能与化学产生联系。现在所学的物理化学很抽象，特别难理解，但是结合线性代数和微积分来理解，就能更加深入了解这些化学理论知识的意义。

参考文献

[1]同济大学数学系.工程数学-线性代数（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]王萼芳，石生明.高等代数（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]夏少武，夏树伟.量子化学基础[M].北京：科学出版社，2010.

[4]天津大学物理化学教研室.物理化学[M].北京：高等教育出版社，2009.