高考备考中的“变”与“不变”

徐华

今年是高考数学大纲卷最后一次出现在我区考生面前，其题型、内容、对考生能力的要求等是如何延续往年试题的风格的，又与今年的新课标卷有何异同，是每一位即将步入高三的师生关注的问题。本文将从纵向[追溯往年的大纲卷（理）]及横向[对比今年的新课标卷I（理）]两个维度对今年的高考数学大纲卷（理）进行分析，同时对今后备考提出建议。

一、2014年全国高考大纲卷（理）数学试题总体分析

（一）怀旧色彩浓重，题型变化不明显

本套试题的设计遵循考试大纲，无偏题、怪题，难度适中，每道题都容易找到入手的角度，因此与2013年的高考试题相比，对于中等及中等水平以上的考生而言，试卷整体难度有所下降。作为最后一次出现在考生面前的大纲卷，没有回避过去大纲卷中的“经典”试题，这一点在第18题及21题体现得尤为明显。

第18题考查的是等差数列的通项公式、前n项和公式、等差数列性质的应用以及求数列n项和的常用方法（裂项求和法）。解决本题的关键是对条件“Sn≤S4”的处理，如果没有从整体上把握该条件并将其转化为a4≥0a5≤0？圳10+3d≥010+4d≤0，而是直接利用等差数列n项和公式将Sn≤S4具体化，则会陷入较繁琐的运算中。本题给出的条件与1992年高考试题第27题的条件如出一辙，需要利用整体思想进行转化以降低运算量。

第21题第2问要求考生根据“满足一定条件的两条直线与抛物线的四个交点共圆”这一条件，确定直线的方程。考生的思路普遍不够顺畅，原因在于对于四点共圆的等价转化不够熟悉，办法不多，相当多考生想到从寻找圆心、利用圆心到四点距离相等的角度入手，这样处理会因运算量偏大而算不出结果。如何降低运算量是考生解决解析几何问题的核心问题，一般来说，要降低运算量，可从以下三个途径考虑：①挖掘图形的几何特征；②运用对称思想，做到设而不求；③通过对条件或结论的归类，“悟”出一些小结论。本题与2011年大纲卷（理）第21题第2问的题型及解题方法类似，都是涉及两条直线与椭圆四个交点共圆的问题，可以利用曲线系方程求解。

（二）全面考查知识点，突出考查主干知识的特点不变

无论是与以往的大纲卷相比，还是与新课标卷相比，2014年高考数学大纲卷（理）保持了高考试题全面考查知识点、突出考查主干知识的特点。直接考查的基本概念有反函数（如第12题）、共轭复数（如第1题）、直线与圆的位置关系（如第15题）、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义及离心率（如第6、9、21题）、导数及其几何意义（如第7、16、22题）、球（第8题）、空间角（异面直线所成的角、二面角）（如第11、19题）、概率及数学期望（如第20题）。考查的基本性质、公式、定理有对数运算法则（如第10题）、诱导公式及同角的三角函数关系（如第3、17题）、二倍角公式（如第15题）、三角函数性质（如第3题）、数列（等差、等比数列）的通项公式及前n项和公式（如第10、18题）、组合数公式及基本计数原理（如第5题）、二项式定理（如第12题）、球的表面积公式（如第8题）、棱锥（正四棱锥）的性质（如第8题）、正弦定理及余弦定理（如第9、11、17题）。考查的基本数学思想方法有方程思想（如第4、10题）、函数思想（如第12、16、22题）、数形结合思想（如第2、6、9、12、14、15、21题）、向量法（如第19题）、分类讨论思想（如第20、22题）。其中，试题对函数、三角函数、数列、空间几何图形中的点线面关系、圆锥曲线、概率等主干知识进行了重点考查，同时对重要的思想方法进行了重点考查。

（三）五大能力及两种意识均有考查，与新课标卷试题一致

高考考查的五大能力及两种意识是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识，这方面与新课标卷试题的要求相一致。今年的高考数学大纲卷（理）中，考查空间想象能力（包括二维和三维空间）的题目包括第8、11、12、14、15、19、21题；考查抽象概括能力的题目包括第16、18、20、22题；考查推理论证能力的题目包括第3、19、21、22题；对运算求解能力的考查最重，几乎每题均有涉及，因此对考生运算速度及运算准确度提出了更高的要求；考查数据处理能力的题目包括第3、19、20题；考查应用意识的题目包括第5、20题；考查创新意识的题目包括第21、22题，这两题对考生思维品质（如灵活性、批判性）和关联能力均提出了很高的要求。

（四）大纲卷和新课标卷试题的运算量与思维量有区别

大纲卷和新课标卷高考试题对于大纲版教材与新课标教材重叠部分内容的考查题型没有明显区别，但运算量与思维量有区别。两卷考查内容如下：

2014年高考大纲卷（理）与新课标卷Ⅰ

（理）考查知识点及分值对照表

由对照表我们可以发现，大纲版教材与新课标教材重叠部分内容的考查题型没有明显区别，所占的比重也基本一致，但大纲卷的运算量及思维量等方面不及新课标卷。例如，同样考查三角函数的性质与图像，大纲卷第3题在运算量、阅读量、思维量等方面均不及新课标卷第6题；尽管新课标卷并未出现有关三角函数的解答题，但在选择题、填空题部分各增加了一题，其中第8题对三角恒等变换要求较高，第16题与大纲卷的第17题都是关于解三角形的问题，新课标卷第16题虽然是小题，但其运算量并未下降，同时还考查了考生的合情推理能力；与大纲卷第14题相比，新课标卷第9题涉及线性规划和命题两个知识点，题型新颖，对考生的应变能力提出了要求；大纲卷第18题与新课标卷第17题均考查考生对基本数列（等差、等比）的定义及性质的掌握，但新课标卷的设问较开放，对考生的探究、创新意识提出了要求；同样考查概率与统计，大纲卷第20题考查的依旧是考生熟悉的求指定事件的概率以及求某一个随机变量的数学期望，而新课标卷却以频率分布直方图为背景，既要求样本平均数x和样本方差s2，还要求考生研究与正态分布的相关问题，这有些出乎人的意料，如果考生复习不完备，将难以完整解答此题。另外，对于向量的考查，大纲卷中仅有一题，而新课标卷中有两题，由此可见向量的工具性特点得到加强。endprint

（五）文理科试卷相同题（或姊妹题）的数量呈减少趋势

2014年大纲卷文理科试卷有7道相同题和1道姊妹题，而2013年大纲卷文理科试卷有8道相同题和2道姊妹题，总体呈减少趋势，这一趋势与新课标卷文理科试题变化趋势是一致的。新课标卷文理科试题差异变大，只有5道相同题和1道姊妹题，这一趋势对今后编制文理科模拟试卷有指导意义。

二、2015年高考备考建议

（一）实施新课程标准后并不意味着新课标卷试题与大纲卷试题就毫无关系，对于大纲卷中的典型题目（尤其是与新课标版教材重叠部分的内容）的剖析仍应成为备考的重要工作，建议教师将一些典型条件的归类及应对方法作为学生进行学科研究性学习的一项内容。

（二）教师在教学时不能仅凭经验随意对教学内容进行增减，今年的新课标卷考查了平时教学中教师不太重视或因为不太熟悉而有意回避的正态分布和线性回归，便是一次提醒。同时，相比于大纲卷，新课标卷试题的运算量、思维量不降反增，因此，加强学生的运算能力培养应该成为教学的重要内容。

（三）新课标教材新增的内容，如算法与框图、三视图、推理与证明、几何证明选讲、坐标系参数方程、不等式选讲等在新课标卷中均有涉及，但难度普遍得到控制，因此对于新增内容的教学不宜作过多拓展，也不宜加深难度。但新课标卷的题目在考查方式上与大纲卷的区别是明显的，其应用性、探究性色彩更浓，这一点在新课标卷I（理）第6、12、14、16、18、24题中体现得尤为明显。而培养学生的探究意识无法一蹴而就，建议教师在平时的教学中多创设一些让学生进行探究的机会，以培养学生良好的思维习惯。如引导学生关注教科书中的三个栏目，养成三种习惯：关注“思考”栏目，养成善于思考的习惯；关注“注释”栏目，养成善于精确把握概念的习惯；关注“探究”栏目，养成善于探究的习惯。平时还可多设计一些开放性的问题，适当布置学生撰写解题心得或数学小论文等。

（四）由于文理科试卷相同题（或姊妹题）数量呈减少趋势，故在编制模拟试题时应遵循这一变化，以提高模拟试题的针对性。

（五）培养高考真题与课本内容的关联能力，减少备考盲目性。高考数学试题的大部分题目与教材中的题目都存在一定的关联，如果教师在备考指导中能够针对此特点，培养学生研究题目的能力，则可以达到事半功倍的效果。例如，新课标卷Ⅰ第1题涉及集合的交集，一元二次不等式解法，此题可与数学必修1中P12习题1.1A组第10题和数学必修5中P78例2两题关联起来；第2题考查复数的除法，与数学选修2-2中P112习题3.2A组第5题类似；第6题利用三角函数线研究函数的图像，与数学必修4中P41《探究与发现》栏目类似；第8题考查三角函数恒等变换，可与数学必修4中P22习题1.2B组第4题和P143习题3.2第1题第（8）小题建立关联；第12题考查三视图，可视为数学必修2中P29习题1.3B组第1题的变式，可引导学生去作一个三棱锥的三视图；第24题为不等式选讲题，与数学选修4-5中P10习题1.1第15题有异曲同工之处。

（六）培养学生的审题及心算能力，提高解题速度。在短短的两个小时里，要求考生完成整份试题，对考生解题速度的要求非常高。我们不难发现，无论哪一年的高考试题，均有相当数量的题目可以通过心算来完成，如果教师在平时教学中能通过有意识地组织题组并限定学生“口答”来培养学生的心算习惯，这对学生提高解常规题的速度将大有帮助。

（责编 周翠如）endprint

（五）文理科试卷相同题（或姊妹题）的数量呈减少趋势

2014年大纲卷文理科试卷有7道相同题和1道姊妹题，而2013年大纲卷文理科试卷有8道相同题和2道姊妹题，总体呈减少趋势，这一趋势与新课标卷文理科试题变化趋势是一致的。新课标卷文理科试题差异变大，只有5道相同题和1道姊妹题，这一趋势对今后编制文理科模拟试卷有指导意义。

二、2015年高考备考建议

（一）实施新课程标准后并不意味着新课标卷试题与大纲卷试题就毫无关系，对于大纲卷中的典型题目（尤其是与新课标版教材重叠部分的内容）的剖析仍应成为备考的重要工作，建议教师将一些典型条件的归类及应对方法作为学生进行学科研究性学习的一项内容。

（二）教师在教学时不能仅凭经验随意对教学内容进行增减，今年的新课标卷考查了平时教学中教师不太重视或因为不太熟悉而有意回避的正态分布和线性回归，便是一次提醒。同时，相比于大纲卷，新课标卷试题的运算量、思维量不降反增，因此，加强学生的运算能力培养应该成为教学的重要内容。

（三）新课标教材新增的内容，如算法与框图、三视图、推理与证明、几何证明选讲、坐标系参数方程、不等式选讲等在新课标卷中均有涉及，但难度普遍得到控制，因此对于新增内容的教学不宜作过多拓展，也不宜加深难度。但新课标卷的题目在考查方式上与大纲卷的区别是明显的，其应用性、探究性色彩更浓，这一点在新课标卷I（理）第6、12、14、16、18、24题中体现得尤为明显。而培养学生的探究意识无法一蹴而就，建议教师在平时的教学中多创设一些让学生进行探究的机会，以培养学生良好的思维习惯。如引导学生关注教科书中的三个栏目，养成三种习惯：关注“思考”栏目，养成善于思考的习惯；关注“注释”栏目，养成善于精确把握概念的习惯；关注“探究”栏目，养成善于探究的习惯。平时还可多设计一些开放性的问题，适当布置学生撰写解题心得或数学小论文等。

（四）由于文理科试卷相同题（或姊妹题）数量呈减少趋势，故在编制模拟试题时应遵循这一变化，以提高模拟试题的针对性。

（五）培养高考真题与课本内容的关联能力，减少备考盲目性。高考数学试题的大部分题目与教材中的题目都存在一定的关联，如果教师在备考指导中能够针对此特点，培养学生研究题目的能力，则可以达到事半功倍的效果。例如，新课标卷Ⅰ第1题涉及集合的交集，一元二次不等式解法，此题可与数学必修1中P12习题1.1A组第10题和数学必修5中P78例2两题关联起来；第2题考查复数的除法，与数学选修2-2中P112习题3.2A组第5题类似；第6题利用三角函数线研究函数的图像，与数学必修4中P41《探究与发现》栏目类似；第8题考查三角函数恒等变换，可与数学必修4中P22习题1.2B组第4题和P143习题3.2第1题第（8）小题建立关联；第12题考查三视图，可视为数学必修2中P29习题1.3B组第1题的变式，可引导学生去作一个三棱锥的三视图；第24题为不等式选讲题，与数学选修4-5中P10习题1.1第15题有异曲同工之处。

（六）培养学生的审题及心算能力，提高解题速度。在短短的两个小时里，要求考生完成整份试题，对考生解题速度的要求非常高。我们不难发现，无论哪一年的高考试题，均有相当数量的题目可以通过心算来完成，如果教师在平时教学中能通过有意识地组织题组并限定学生“口答”来培养学生的心算习惯，这对学生提高解常规题的速度将大有帮助。

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（五）文理科试卷相同题（或姊妹题）的数量呈减少趋势

2014年大纲卷文理科试卷有7道相同题和1道姊妹题，而2013年大纲卷文理科试卷有8道相同题和2道姊妹题，总体呈减少趋势，这一趋势与新课标卷文理科试题变化趋势是一致的。新课标卷文理科试题差异变大，只有5道相同题和1道姊妹题，这一趋势对今后编制文理科模拟试卷有指导意义。

二、2015年高考备考建议

（一）实施新课程标准后并不意味着新课标卷试题与大纲卷试题就毫无关系，对于大纲卷中的典型题目（尤其是与新课标版教材重叠部分的内容）的剖析仍应成为备考的重要工作，建议教师将一些典型条件的归类及应对方法作为学生进行学科研究性学习的一项内容。

（二）教师在教学时不能仅凭经验随意对教学内容进行增减，今年的新课标卷考查了平时教学中教师不太重视或因为不太熟悉而有意回避的正态分布和线性回归，便是一次提醒。同时，相比于大纲卷，新课标卷试题的运算量、思维量不降反增，因此，加强学生的运算能力培养应该成为教学的重要内容。

（三）新课标教材新增的内容，如算法与框图、三视图、推理与证明、几何证明选讲、坐标系参数方程、不等式选讲等在新课标卷中均有涉及，但难度普遍得到控制，因此对于新增内容的教学不宜作过多拓展，也不宜加深难度。但新课标卷的题目在考查方式上与大纲卷的区别是明显的，其应用性、探究性色彩更浓，这一点在新课标卷I（理）第6、12、14、16、18、24题中体现得尤为明显。而培养学生的探究意识无法一蹴而就，建议教师在平时的教学中多创设一些让学生进行探究的机会，以培养学生良好的思维习惯。如引导学生关注教科书中的三个栏目，养成三种习惯：关注“思考”栏目，养成善于思考的习惯；关注“注释”栏目，养成善于精确把握概念的习惯；关注“探究”栏目，养成善于探究的习惯。平时还可多设计一些开放性的问题，适当布置学生撰写解题心得或数学小论文等。

（四）由于文理科试卷相同题（或姊妹题）数量呈减少趋势，故在编制模拟试题时应遵循这一变化，以提高模拟试题的针对性。

（五）培养高考真题与课本内容的关联能力，减少备考盲目性。高考数学试题的大部分题目与教材中的题目都存在一定的关联，如果教师在备考指导中能够针对此特点，培养学生研究题目的能力，则可以达到事半功倍的效果。例如，新课标卷Ⅰ第1题涉及集合的交集，一元二次不等式解法，此题可与数学必修1中P12习题1.1A组第10题和数学必修5中P78例2两题关联起来；第2题考查复数的除法，与数学选修2-2中P112习题3.2A组第5题类似；第6题利用三角函数线研究函数的图像，与数学必修4中P41《探究与发现》栏目类似；第8题考查三角函数恒等变换，可与数学必修4中P22习题1.2B组第4题和P143习题3.2第1题第（8）小题建立关联；第12题考查三视图，可视为数学必修2中P29习题1.3B组第1题的变式，可引导学生去作一个三棱锥的三视图；第24题为不等式选讲题，与数学选修4-5中P10习题1.1第15题有异曲同工之处。

（六）培养学生的审题及心算能力，提高解题速度。在短短的两个小时里，要求考生完成整份试题，对考生解题速度的要求非常高。我们不难发现，无论哪一年的高考试题，均有相当数量的题目可以通过心算来完成，如果教师在平时教学中能通过有意识地组织题组并限定学生“口答”来培养学生的心算习惯，这对学生提高解常规题的速度将大有帮助。

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