圆锥曲线中点弦问题解法探究

邹艳

直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一，也是高考的热点问题，这类问题一般有以下几种类型：（1）求中点弦所在的直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）弦长为定值时，弦的中点坐标问题等.其解法有点差法、待定系数法、参数法以及中心对称变换法等，但最常用的方法为点差法和待定系数法.

一、求中点弦所在直线方程问题

【例1】已知一直线与椭圆x214+y212=1交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程.

解法一（待定系数法）：设所求直线方程为y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）

x214+y212=1消去y得：（2k2+1）x2-4（k2-k）x+2（k-1）2-4=0（1）.

设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（1）的根.

∴x1+x2=4（k2-k）12k2+1，

又∵M（1，1）是AB的中点，

∴x1+x212=2（k2-k）12k2+1=1，

解得k=-112，故直线AB的方程为：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法二（点差法）：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵M（1，1）是AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2.

又∵A、B两点在椭圆上，

则x21+2y21=4①

x22+2y22=4②

①-②得：（x21-x22）+2（y21-y22）=0，

即（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴y1-y21x1-x2=-x1+x212（y1+y2）=-112，即kAB=-112，

∴所求直线方程为：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法三（参数法）：设直线AB的参数方程为x=1+tcosα

y=1+tsinα（t为参数），代入椭圆方程整理得：（1+sin2α）t2+2（cosα+2sinα）t-1=0.

∴t1+t2=-2（cosα+2sinα）11+sin2α，

∵M（1，1）是AB的中点，

∴t1+t212=-cosα+2sinα11+sin2α=0，∴cosα+2sinα=0，

∴sinα1cosα=-112，代入直线AB的参数方程消去参数t，得所求直线方程为x+2y-3=0.

二、求中点弦中点的轨迹方程问题

【例2】过双曲线x2136-y219=1上一点P（-6，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程.

解法一（点差法）：设弦PQ中点M（x，y），弦端点P（x1，y1），Q（x2，y2），

则有x21-4y21=36

x22-4y22=36，两式相减得（x21-x22）-4（y21-y22）=0，

又因为 x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以2x（x1-x2）-4·2y（y1-y2）=0，

所以y1-y21x1-x2=x14y，而kPQ=y-01x-（-6），故x14y=y1x+6.

化简可得x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

解法二（中心对称变换法）：设弦中点M（x，y），Q（x1，y1），由x=x1-612，y=y112，可得x1=2x+6，y1=2y，

又因为Q在双曲线上，所以x21136-y2119=1，即4（x+3）2136-4y219=1，

所以PQ中点M的轨迹方程为（x+3）219-4y219=1（x≠-6）.

即x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式.本题所给出的两种方法，都是找动点（x，y）与已知条件的内在联系，列关于x，y的关系式，进而求出轨迹的方程.

一般的，在圆锥曲线中，中点弦问题的求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，而更优的解法则是点差法，因为点差法方法简单，结构精巧，应用特征明显，利于培养学生的解题能力和解题兴趣.

（责任编辑钟伟芳）endprint

直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一，也是高考的热点问题，这类问题一般有以下几种类型：（1）求中点弦所在的直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）弦长为定值时，弦的中点坐标问题等.其解法有点差法、待定系数法、参数法以及中心对称变换法等，但最常用的方法为点差法和待定系数法.

一、求中点弦所在直线方程问题

【例1】已知一直线与椭圆x214+y212=1交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程.

解法一（待定系数法）：设所求直线方程为y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）

x214+y212=1消去y得：（2k2+1）x2-4（k2-k）x+2（k-1）2-4=0（1）.

设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（1）的根.

∴x1+x2=4（k2-k）12k2+1，

又∵M（1，1）是AB的中点，

∴x1+x212=2（k2-k）12k2+1=1，

解得k=-112，故直线AB的方程为：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法二（点差法）：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵M（1，1）是AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2.

又∵A、B两点在椭圆上，

则x21+2y21=4①

x22+2y22=4②

①-②得：（x21-x22）+2（y21-y22）=0，

即（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴y1-y21x1-x2=-x1+x212（y1+y2）=-112，即kAB=-112，

∴所求直线方程为：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法三（参数法）：设直线AB的参数方程为x=1+tcosα

y=1+tsinα（t为参数），代入椭圆方程整理得：（1+sin2α）t2+2（cosα+2sinα）t-1=0.

∴t1+t2=-2（cosα+2sinα）11+sin2α，

∵M（1，1）是AB的中点，

∴t1+t212=-cosα+2sinα11+sin2α=0，∴cosα+2sinα=0，

∴sinα1cosα=-112，代入直线AB的参数方程消去参数t，得所求直线方程为x+2y-3=0.

二、求中点弦中点的轨迹方程问题

【例2】过双曲线x2136-y219=1上一点P（-6，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程.

解法一（点差法）：设弦PQ中点M（x，y），弦端点P（x1，y1），Q（x2，y2），

则有x21-4y21=36

x22-4y22=36，两式相减得（x21-x22）-4（y21-y22）=0，

又因为 x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以2x（x1-x2）-4·2y（y1-y2）=0，

所以y1-y21x1-x2=x14y，而kPQ=y-01x-（-6），故x14y=y1x+6.

化简可得x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

解法二（中心对称变换法）：设弦中点M（x，y），Q（x1，y1），由x=x1-612，y=y112，可得x1=2x+6，y1=2y，

又因为Q在双曲线上，所以x21136-y2119=1，即4（x+3）2136-4y219=1，

所以PQ中点M的轨迹方程为（x+3）219-4y219=1（x≠-6）.

即x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式.本题所给出的两种方法，都是找动点（x，y）与已知条件的内在联系，列关于x，y的关系式，进而求出轨迹的方程.

一般的，在圆锥曲线中，中点弦问题的求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，而更优的解法则是点差法，因为点差法方法简单，结构精巧，应用特征明显，利于培养学生的解题能力和解题兴趣.

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直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题是解析几何中的重要内容之一，也是高考的热点问题，这类问题一般有以下几种类型：（1）求中点弦所在的直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）弦长为定值时，弦的中点坐标问题等.其解法有点差法、待定系数法、参数法以及中心对称变换法等，但最常用的方法为点差法和待定系数法.

一、求中点弦所在直线方程问题

【例1】已知一直线与椭圆x214+y212=1交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程.

解法一（待定系数法）：设所求直线方程为y-1=k（x-1），

由y-1=k（x-1）

x214+y212=1消去y得：（2k2+1）x2-4（k2-k）x+2（k-1）2-4=0（1）.

设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（1）的根.

∴x1+x2=4（k2-k）12k2+1，

又∵M（1，1）是AB的中点，

∴x1+x212=2（k2-k）12k2+1=1，

解得k=-112，故直线AB的方程为：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法二（点差法）：设直线与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）.

∵M（1，1）是AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2.

又∵A、B两点在椭圆上，

则x21+2y21=4①

x22+2y22=4②

①-②得：（x21-x22）+2（y21-y22）=0，

即（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0，

∴y1-y21x1-x2=-x1+x212（y1+y2）=-112，即kAB=-112，

∴所求直线方程为：y-1=-112（x-1），即x+2y-3=0.

解法三（参数法）：设直线AB的参数方程为x=1+tcosα

y=1+tsinα（t为参数），代入椭圆方程整理得：（1+sin2α）t2+2（cosα+2sinα）t-1=0.

∴t1+t2=-2（cosα+2sinα）11+sin2α，

∵M（1，1）是AB的中点，

∴t1+t212=-cosα+2sinα11+sin2α=0，∴cosα+2sinα=0，

∴sinα1cosα=-112，代入直线AB的参数方程消去参数t，得所求直线方程为x+2y-3=0.

二、求中点弦中点的轨迹方程问题

【例2】过双曲线x2136-y219=1上一点P（-6，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程.

解法一（点差法）：设弦PQ中点M（x，y），弦端点P（x1，y1），Q（x2，y2），

则有x21-4y21=36

x22-4y22=36，两式相减得（x21-x22）-4（y21-y22）=0，

又因为 x1+x2=2x，y1+y2=2y，所以2x（x1-x2）-4·2y（y1-y2）=0，

所以y1-y21x1-x2=x14y，而kPQ=y-01x-（-6），故x14y=y1x+6.

化简可得x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

解法二（中心对称变换法）：设弦中点M（x，y），Q（x1，y1），由x=x1-612，y=y112，可得x1=2x+6，y1=2y，

又因为Q在双曲线上，所以x21136-y2119=1，即4（x+3）2136-4y219=1，

所以PQ中点M的轨迹方程为（x+3）219-4y219=1（x≠-6）.

即x2+6x-4y2=0（x≠-6）.

求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式.本题所给出的两种方法，都是找动点（x，y）与已知条件的内在联系，列关于x，y的关系式，进而求出轨迹的方程.

一般的，在圆锥曲线中，中点弦问题的求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及根与系数的关系，而更优的解法则是点差法，因为点差法方法简单，结构精巧，应用特征明显，利于培养学生的解题能力和解题兴趣.

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