运用变式训练拓展学生思维

谢恩林

经过教学实践发现，合理利用变式训练能有效激活学生数学思维.那么，什么是数学变式训练呢？所谓数学变式训练，是指在数学教学过程中对概念、性质、定理公式，以及问题，从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或结论的形式或内容发生变化，而本质特征却不变.也就是所谓的“万变不离其宗”.

变式训练是提高学生发散思维能力、化归与迁移能力和思维灵活性的有效方法之一.运用变式训练可以提高数学题目的利用率，提高教学有效性，起到综合运用知识，有效培养学生综合思维能力的作用.

变式训练是中学数学教学中的一种重要教学策略，在提高学生的学习兴趣、培养学生的数学思维和数学解题能力方面有着不可忽视的作用.通过变式训练可以使教学内容变得更加丰富多彩，使学生的思路更加宽广，拓展学生思维；可节省教学时间，提高课堂教学效率.下面谈谈在数学教学中如何运用变式训练，拓展学生思维.

一、变式训练的一般类型

（一）运用变式训练加深学生对概念的理解

如，在学习平方根的概念时，根据平方根概念的教学安排在算术平方根之后，可以设计这样的变式训练：

【例1】（）2=16，16的算术平方根是，16=；16的平方根是，±16=.

此例题主要是让学生理解、掌握平方根的概念.理解算理——利用平方运算求得平方根.学生在刚刚学习算术平方根和平方根概念时，往往区分不开，为了让学生加深对这两个概念的理解，我在例题的基础上设置了变式1.

变式1：16的正的平方根即算术平方根是.16的负的平方根是.

通过变式1和例题的对比，学生可以很清晰地理解几个概念的联系与区别，加深对概念的内化理解.

在变式1的基础上我又出示了变式2.

变式2：16的平方根是.

学生在解决变式2时出错率较高，他们把此题错误地理解成“求16的正的平方根”.这正是学生没有理解好符号与文字表达的关系的具体体现.在学生出错的基础上讲解.先算16等于4，再算4的平方根等于±2.学生听完讲解后恍然大悟，理解了自己出错的真正原因，加深了对符号表达和概念的理解.

接下来，为了加深学生对概念的灵活掌握，我又设置了下面的变式3.

（）2=7，则（）=±7，若x2=3，

则x=.

通过这个变式训练，学生对平方根的概念掌握更加牢固，同时也培养了学生的数学思维能力.

（二）运用变式训练加深学生对公式、法则、定理等的理解与掌握

数学中的公式、法则、定理是数学知识中的重要内容，它们是解决数学问题的重要理论基础，必须让学生灵活、熟练地掌握.在教学中，我们要善于利用变式训练引导学生掌握公式、法则、定理中的各要素之间的联系和本质规律，使学生能加深对其的理解和灵活运用.

例如，在学习乘法公式——平方差公式时，要让学生感悟到运用平方差公式的关键，是要弄清楚平方差公式的符号特征以及公式中a、b可以代表任何数、字母或代数式的广泛含义.教师可设计如下变式训练.

【例2】运用平方差公式计算.

（1）（x+2）（x-2）；（2）（3x+2）（3x-2）；

（3）（b+2a）（b-2a）；（4）（-x+2y）（-x-2y）.

为了让学生从不同角度体会平方差公式，教师可设计变式训练1：请你当评判员，并把错误的改正.

（1）（a+b）（a-c）=a2-bc；

（2）（-3a-2）（3a-2）=9a2-4；

（3）（x3+4）（x3-4）=x6-4；

（4）（a+b+c）（a+b-c）=（a+b）2-c2.

让学生独立思考后小组讨论，再全班交流.学生就明白了平方差公式的应用条件.如第（1）题不能运用平方差公式计算，而应该用多项式乘法法则计算.这样设计正误判断，使学生能明辨是非，对公式有了更深刻的认识.

变式训练2：填空.

（1）（）（2a-3）=4a2-9；

（2）（5x+）·（5x-7）=25x2-49.

学生思考后发现，这类题关键要从结果中去确定公式中的a和b，训练了学生的逆向思维，提高了学生对公式运用的能力.

这些训练由浅入深，实实在在地增强了学生对平方差公式的理解.

如，在学习圆的切线的判定定理时，对定理“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”的讲解，教师可采用如下变式训练，以帮助学生多方位、灵活地理解和掌握定理.把握定理中的关键要素：过半径外端、垂直.出示变式判断题，并给出图示说明，让学生理解正误的原因.

变式训练3：

（1）经过半径外端的直线是圆的切线.（）

（2）垂直于半径的直线是圆的切线.（）

（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.（）

通过上面的变式判断，学生既快又准地掌握了切线的判定定理，避免了机械背诵、生搬硬套，从多方位理解了定理的实质.

（三）题目形式的变式训练

题目形式的变式训练就是让学生同时练习那些在知识、方法上有关联，而在形式上又不同的题目组成的题组，使学生对一些基本知识、方法及重要的数学思想方法加深领会，达到触类旁通的目的.

1.改变题目中的一些条件

图1【例3】如图1所示，（1）若∠1=∠2，∠3=100°，求∠4度数；

（2）若∠1+∠5=180°，∠3=100°，求∠4度数；

（3）若∠1+∠7=180°，∠3=100°，求∠4度数.

你能想出哪几种解法？跟你的同桌说一说，交流各自看法.endprint

本题组的第（2）题，可以通过∠1+∠6=180°，∠1+∠5=180°，得到∠5=∠6，根据“内错角相等，两直线平行”得到a∥b，这是解决问题的关键.

第（3）题，可以通过∠1+∠6=180°，∠1+∠7=180°得到∠7=∠6，根据“同位角相等，两直线平行”得到a∥b，这是解决问题的关键.通过中间角作桥梁，找到一对同位角相等或内错角相等，从而使问题得到解决.在交流中，学生发现本题组有多种解法，灵活多样.学生思维活跃.

2.变变数据

“变变数据”是指利用等价条件来替换已知条件或部分已知条件或增加条件内涵，以拓展学生对题意本质的理解，达到训练学生思维的目的.

【例4】（1）已知x=2是方程3（x+2）-2a=1的解，求a的值.（解题过程略）

通过将条件“x=2”变式，将题目变化为：

（2）已知3（x-4）=x-8与方程3（x+2）-2a=1有相同的解，求a的值.

在教学中，有些学生本来对第（2）问无从下手，教师提示：从第（1）问你得到什么启发？由于教师对题式中部分条件的变式，不仅为求解上例设计了适当的坡度，降低了题目难度，而且也帮助学生理解了题目的本意，并且为这类习题的求解提供了切实可行的解决方案.

【例5】若三角形的两边长分别为3和5，则第三边x的取值范围是.

变式训练：

（1）若等腰三角形的周长为20cm，且一边长为6cm，则其他两边长为；

（2）若等腰三角形的一边长为5，一边长为6，则它的周长为；

（3）若等腰三角形的一边长为4，一边长为9，则它的周长为.

这组例题都应用了三角形三边关系定理解题，而变式训练（1）（2）（3）又要应用分类讨论的思想，对等腰三角形的底边长和腰长进行分类讨论，作出取舍处理，才能得出正确答案.这组训练题有效地训练了学生思维的灵活性和思维的深刻性，培养了学生的应变能力.

（四）解题方法的变式训练

解题方法的变式训练也就是我们常说的“一题多解”训练.在教学中，教师要善于设置“一题多解”变式训练，引导学生从不同的角度思考解决同一个问题，使学生从单一的思维模式中解放出来，达到以创新方式来解答问题的目的.培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性.

例如，判断一个四边形是否为平行四边形可以有多种方法：①平行四边形的定义；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.

图2【例6】如图2所示，四边形ABCD是平行四边形，它的两条对角线相交于点O，点E是DO的中点，点F是BO的中点.连结AE、CE、AF、CF，求证：四边形AFCE是平行四边形.

教师：同学们，你是怎样证明的？找到几种证明方法？

分析：判断四边形AFCE是平行四边形，可以有以下多种判断方法.

方法一：利用平行四边形的定义来进行判断.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠ADE=∠CBF，BO=DO，

∵点E是DO的中点，点F是BO的中点，

∴DE=BF，

∴△ADE≌△CBF，

∴∠DAE=∠BCF，

∵∠AEO=∠ADE+∠DAE，∠CFO=∠CBF+∠BCF，

∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF.

同理∠CEO=∠AFO，

∴AF∥EC，

∴四边形AFCE是平行四边形.

方法二：利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形.endprint

本题组的第（2）题，可以通过∠1+∠6=180°，∠1+∠5=180°，得到∠5=∠6，根据“内错角相等，两直线平行”得到a∥b，这是解决问题的关键.

第（3）题，可以通过∠1+∠6=180°，∠1+∠7=180°得到∠7=∠6，根据“同位角相等，两直线平行”得到a∥b，这是解决问题的关键.通过中间角作桥梁，找到一对同位角相等或内错角相等，从而使问题得到解决.在交流中，学生发现本题组有多种解法，灵活多样.学生思维活跃.

2.变变数据

“变变数据”是指利用等价条件来替换已知条件或部分已知条件或增加条件内涵，以拓展学生对题意本质的理解，达到训练学生思维的目的.

【例4】（1）已知x=2是方程3（x+2）-2a=1的解，求a的值.（解题过程略）

通过将条件“x=2”变式，将题目变化为：

（2）已知3（x-4）=x-8与方程3（x+2）-2a=1有相同的解，求a的值.

在教学中，有些学生本来对第（2）问无从下手，教师提示：从第（1）问你得到什么启发？由于教师对题式中部分条件的变式，不仅为求解上例设计了适当的坡度，降低了题目难度，而且也帮助学生理解了题目的本意，并且为这类习题的求解提供了切实可行的解决方案.

【例5】若三角形的两边长分别为3和5，则第三边x的取值范围是.

变式训练：

（1）若等腰三角形的周长为20cm，且一边长为6cm，则其他两边长为；

（2）若等腰三角形的一边长为5，一边长为6，则它的周长为；

（3）若等腰三角形的一边长为4，一边长为9，则它的周长为.

这组例题都应用了三角形三边关系定理解题，而变式训练（1）（2）（3）又要应用分类讨论的思想，对等腰三角形的底边长和腰长进行分类讨论，作出取舍处理，才能得出正确答案.这组训练题有效地训练了学生思维的灵活性和思维的深刻性，培养了学生的应变能力.

（四）解题方法的变式训练

解题方法的变式训练也就是我们常说的“一题多解”训练.在教学中，教师要善于设置“一题多解”变式训练，引导学生从不同的角度思考解决同一个问题，使学生从单一的思维模式中解放出来，达到以创新方式来解答问题的目的.培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性.

例如，判断一个四边形是否为平行四边形可以有多种方法：①平行四边形的定义；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.

图2【例6】如图2所示，四边形ABCD是平行四边形，它的两条对角线相交于点O，点E是DO的中点，点F是BO的中点.连结AE、CE、AF、CF，求证：四边形AFCE是平行四边形.

教师：同学们，你是怎样证明的？找到几种证明方法？

分析：判断四边形AFCE是平行四边形，可以有以下多种判断方法.

方法一：利用平行四边形的定义来进行判断.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠ADE=∠CBF，BO=DO，

∵点E是DO的中点，点F是BO的中点，

∴DE=BF，

∴△ADE≌△CBF，

∴∠DAE=∠BCF，

∵∠AEO=∠ADE+∠DAE，∠CFO=∠CBF+∠BCF，

∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF.

同理∠CEO=∠AFO，

∴AF∥EC，

∴四边形AFCE是平行四边形.

方法二：利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形.endprint

本题组的第（2）题，可以通过∠1+∠6=180°，∠1+∠5=180°，得到∠5=∠6，根据“内错角相等，两直线平行”得到a∥b，这是解决问题的关键.

第（3）题，可以通过∠1+∠6=180°，∠1+∠7=180°得到∠7=∠6，根据“同位角相等，两直线平行”得到a∥b，这是解决问题的关键.通过中间角作桥梁，找到一对同位角相等或内错角相等，从而使问题得到解决.在交流中，学生发现本题组有多种解法，灵活多样.学生思维活跃.

2.变变数据

“变变数据”是指利用等价条件来替换已知条件或部分已知条件或增加条件内涵，以拓展学生对题意本质的理解，达到训练学生思维的目的.

【例4】（1）已知x=2是方程3（x+2）-2a=1的解，求a的值.（解题过程略）

通过将条件“x=2”变式，将题目变化为：

（2）已知3（x-4）=x-8与方程3（x+2）-2a=1有相同的解，求a的值.

在教学中，有些学生本来对第（2）问无从下手，教师提示：从第（1）问你得到什么启发？由于教师对题式中部分条件的变式，不仅为求解上例设计了适当的坡度，降低了题目难度，而且也帮助学生理解了题目的本意，并且为这类习题的求解提供了切实可行的解决方案.

【例5】若三角形的两边长分别为3和5，则第三边x的取值范围是.

变式训练：

（1）若等腰三角形的周长为20cm，且一边长为6cm，则其他两边长为；

（2）若等腰三角形的一边长为5，一边长为6，则它的周长为；

（3）若等腰三角形的一边长为4，一边长为9，则它的周长为.

这组例题都应用了三角形三边关系定理解题，而变式训练（1）（2）（3）又要应用分类讨论的思想，对等腰三角形的底边长和腰长进行分类讨论，作出取舍处理，才能得出正确答案.这组训练题有效地训练了学生思维的灵活性和思维的深刻性，培养了学生的应变能力.

（四）解题方法的变式训练

解题方法的变式训练也就是我们常说的“一题多解”训练.在教学中，教师要善于设置“一题多解”变式训练，引导学生从不同的角度思考解决同一个问题，使学生从单一的思维模式中解放出来，达到以创新方式来解答问题的目的.培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性.

例如，判断一个四边形是否为平行四边形可以有多种方法：①平行四边形的定义；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.

图2【例6】如图2所示，四边形ABCD是平行四边形，它的两条对角线相交于点O，点E是DO的中点，点F是BO的中点.连结AE、CE、AF、CF，求证：四边形AFCE是平行四边形.

教师：同学们，你是怎样证明的？找到几种证明方法？

分析：判断四边形AFCE是平行四边形，可以有以下多种判断方法.

方法一：利用平行四边形的定义来进行判断.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠ADE=∠CBF，BO=DO，

∵点E是DO的中点，点F是BO的中点，

∴DE=BF，

∴△ADE≌△CBF，

∴∠DAE=∠BCF，

∵∠AEO=∠ADE+∠DAE，∠CFO=∠CBF+∠BCF，

∴∠AEO=∠CFO，∴AE∥CF.

同理∠CEO=∠AFO，

∴AF∥EC，

∴四边形AFCE是平行四边形.

方法二：利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形.endprint