关于无垂直传染及无因病死亡的标准的SIR传染病模型

王雪明 曹占营

摘 要：在我国的历史上，鼠疫、霍乱、天花等频频流行； 疟疾、血吸虫病、黑热病、梅毒等广泛存在，给人民的生活带来深重的灾难.这些传染病和一些新出现的传染病都来势凶猛，危害着人们的健康，如AIDS、SARS等.因此， 研究传染病动力学模型有重要意义.本文主要目的是研究无垂直传染及无因病死亡的标准的SIR传染病模型。

关键词：无垂直传染；SIR传染病模型；垂直

早期的传染病模型大多假设种群总数为常数或者渐近常数，在某些条件下是合理的，如：疾病在种群中传播速度很快且在短期内没有出生和死亡或出生率和死亡率能够相互平衡、环境封闭等。但在实际问题中，不论是动物或者是植物的数量总是随着外界扰动而发生波动。因此，假设总人口大小为常数是不合理的，需要研究总人口具有种群动力学的传染病模型。关于这类模型已被Anderson和May（1979）在实验室所验证，还有 McNeill（1976）也研究疾病对人类总人口的影响.从数学上看，这类模型的研究更加困难，因为总人口的变化增加了方程的维数。

一、无垂直传染及无因病死亡的标准的SIR传染病模型

（1.11）

其中b为出生率，d为死亡率，α为恢复率。

令s=，i=，r=，可行域为

Ω={s≥0，i≥0，r≥0，s+i+r=1}

则方程变为

（1.12）

这里s+i+r=1。

由于系统（1.12）前两个方程中不含变量，所以我们如果仅关心疾病是否流行，则可以仅从前两个方程来研究s与的性态，若需要了解的性态可再由第三个方程讨论。

由前两个方程构成的平面系统为

（1.13）

其中（s，i）∈D{（s，i）│0≤s≤1，0≤i≤1，s+i≤1}

为求系统（1.13）的平衡点，令其右端为0，从而求出可能的两组解

，0

， ，

二、主要结论

令R0=则当R0<1时，疾病逐渐消失。当R0>1时，疾病将流行且最终成地方病。当R0=1是区分疾病是否消失的阀值。

参考文献：

[1] 杨光. SIR传染病数学模型的隔离控制[J].生物数学学报，2009，24（3）：479-483.

[2] 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松. 常微分方程.第三版[M].北京：高等教育出版社，2006.