椭圆易错点分析

刘军成+卢丽君

高考中对椭圆的考查主要从以下几个方面：①椭圆的概念与方程；②椭圆的几何性质；③直线与椭圆的位置关系.这些地方也是考生容易出现错误的地方，要引起重视.

易错1 第一定义及方程

例1 椭圆的一个顶点为[A2，0]，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.

错解 [A2，0]为长轴端点，[a=2]，[b=1]，椭圆方程为：[x24+y2=1].

错因 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.

正解 （1）当[A2，0]为长轴端点时，[a=2]，[b=1]，椭圆的标准方程为[x24+y2=1].

（2）当[A2，0]为短轴端点时，[b=2]，[a=4]，椭圆的标准方程为：[x24+y216=1].

点拨 椭圆的标准方程有两种，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况.

例2 已知方程[x2k-5+y23-k=-1]表示椭圆，求[k]的取值范围.

错解 由[k-5<0，3-k<0，]得[3

错因 椭圆的标准方程中要求[a>b>0]，当[a=b]时，并不表示椭圆.

正解 由[k-5<0，3-k<0，k-5≠3-k，]得[3

∴[k]的取值范围是[3

例3 椭圆[x24+y23=1]的左焦点为[F1]，直线[x=m]与椭圆相交于点[A，B]，当[△F1AB]的周长最大时，[△F1AB]的面积是 .

错解 直线[x=m]交[x]轴于[P]，要使[△F1AB]的周长最大，由对称性知，只需[AF1+AP]最大.利用勾股定理和[A]点的纵坐标列方程求解，此时计算复杂，很难得出结果.

错因 没有利用椭圆的定义，[AF1+AF2=2a]，结合三角形知识求解.

正解 直线[x=m]交[x]轴于[P]，要使[△F1AB]的周长最大，由对称性知，只需[AF1+AP]最大.

而[AF1+AP=2a-AF2+AP≤2a]，

当[AF1]与[AP]重合时取得最大值，[AF1=b2a=32]，

所以[SΔF1AB=2×12×2×32=3].

点拨 本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是构造目标函数，即代数方法.二是数形结合，即几何方法.本题抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解.

易错2 椭圆的几何性质

例4 已知椭圆[x2k+8+y29=1]的离心率[e=12]，求[k]的值.

错解 由方程可知，[a2=k+8]，[b2=9]，得[c2=k-1].由[e=12]得，[k=4].

错因 因为[k+8]与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在[x]轴上，也可能在[y]轴上.

正解 当椭圆的焦点在[x]轴上时，[a2=k+8]，[b2=9]，则[c2=k-1].

由[e=12]得，[k=4].

当椭圆的焦点在[y]轴上时，[a2=9]，[b2=k+8]，则[c2=1-k].

由[e=12]得，[k=-54].

∴满足条件的[k=4]或[k=-54].

点拨 本题着重考查椭圆方程的特点，以及椭圆的离心率与[a，b，c]之间的关系.

例5 椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的左、右顶点分别是[A，B]，左、右焦点分别是[F1，F2].若[|AF1|，|F1F2|，|BF1|]成等比数列，则此椭圆的离心率为 .

错解 由椭圆的性质可知，[AF1=a-c]，[F1F2=2c]，[F1B=a+c].又已知[|AF1|，|F1F2|，|BF1|]成等差数列，故[a-c+a+c=2?2c]，即[a=2c]，则[a2=5c2].故[e=ca=12].

错因 没看清题意，[|AF1|，|F1F2|，|BF1|]成等比数列，在表示[AF1]，[|F1F2|]，[F1B]的时候也容易出错.

正解 已知[|AF1|，|F1F2|，|BF1|]成等比数列，

故[（a-c）（a+c）=（2c）2]，即[a2-c2=4c2]，则[a2=5c2].

故[e=ca=55].即椭圆的离心率为[55].

点拨 圆锥曲线求解中，审题很关键，充分挖掘题目信息是解题的前提，离心率的计算需要列出有关[a，c]的方程.

例6 椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的右焦点[F]，其右准线与[x]轴的交点为[A]，在椭圆上存在点[P]满足线段[AP]的垂直平分线过点[F]，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A. [（0，22]] B. [（0，12]]

C. [[2-1，1）] D. [[12，1）]

错因 不能很好地利用垂直平分线的性质、设点、求直线方程等等，陷入复杂的计算中.

正解 由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点[F]，即F点到P点与A点的距离相等.

而[|FA|=a2c-c=b2c]， [|PF|∈[a-c，a+c]]，

于是[b2c∈[a-c，a+c]，]即[ac-c2≤b2≤ac+c2]，

结合[e∈（0，1）]，有[e∈[12，1）].

点拨 求离心率的范围一般是通过已知条件建立关于[a，b，c]的不等式，然后化为离心率[e]的不等式求解，同时要注意离心率[e]自身的范围.

易错3 椭圆的第二定义及焦半径的应用

例7 椭圆[x216+y212=1]的右焦点为[F2]，过点[A1，3]，点[M]在椭圆上. 求当[PA+2PF2]为最小值时，点[P]的坐标.

错解 设[P]是椭圆上任一点，由[PF1+PF2=2a]知，[PA+2PF2=PA+2（2a-PF1）][=PA-2PF1+4a，]

当[P]，[A]，[F1]三点共线时，有最小值[4a=16].

错因 本题关键在于未知式[PA+2PF2]中的“[2]”的处理，[P]，[A]，[F1]共线时不一定取最小值.运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性.

正解 由已知得，[a=4]，[c=2].

所以[e=12]，右准线[l：x=8].

过[A]作[AQ⊥l]，垂足为[Q]，交椭圆于[P]，

故[PQ=2PF2].

显然[PA+2PF2]的最小值为[AQ]，即[P]为所求，

因此[yP=3]，且[P]在椭圆上.

故[xP=23].所以[P23，3].

点拨 本题的关键是求出离心率[e=12]，把[2PF]转化为[P]到右准线的距离，从而得最小值.一般地，求[PA+1ePF2]均可用此法.巧用焦半径[PF2]与点准距[PQ]互化是解决有关问题的重要手段.

易错4 直线与椭圆的位置关系

例8 已知椭圆[x22+y2=1]，

（1）求过点[P12，12]且被点[P]平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过[A2，1]引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点[P]，[Q]，[O]为原点，且有直线[OP]，[OQ]斜率满足[kOP?kOQ=-12]，求线段[PQ]中点[M]的轨迹方程.

错因 本题中四问都跟弦中点有关，不能充分利用弦中点的性质是解题受阻的原因.

正解 设弦两端点分别为[Mx1，y1]，[Nx2，y2]，线段[MN]的中点[Rx，y]，

则[x12+2y12=2，①x22+2y22=2，②]作差得，

[x1+x2x1-x2+2y1+y2y1-y2=0].

结合[x1+x2=2x， ③y1+y2=2y， ④]

有[x+2yy1-y2x1-x2=0].（*）

（1）将[x=12]，[y=12]代入（*）得，[y1-y2x1-x2=-12]，

故所求直线方程为：

[2x+4y-3=0].

代入椭圆方程，[Δ=36-4×6×14>0]，

符合题意，[2x+4y-3=0]为所求.

（2）将[y1-y2x1-x2=2]代入（*）得所求轨迹方程为：[x+4y=0].（椭圆内部分）

（3）将[y1-y2x1-x2=y-1x-2]代入（*）得所求轨迹方程为：[x2+2y2-2x-2y=0].（椭圆内部分）

（4）由[x21+2y21=2，①x22+2y22=2，④]得，

[x21+x22+2y21+y22=4].

由[x1+x2=2x， ③y1+y2=2y，④]得，

[x21+x22=4x2-2x1x2]，[y21+y22=4y2-2y1y2]，

整理得[4x2-2x1x24+4y2-2y1y2=2]，

结合[y1y2=-12x1x2]，化简得[x2+2y2=1].

此即为所求轨迹方程.

点拨 （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹.

（2）“点差法”，解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率，设而不求，整体代换.endprint

易错3 椭圆的第二定义及焦半径的应用

例7 椭圆[x216+y212=1]的右焦点为[F2]，过点[A1，3]，点[M]在椭圆上. 求当[PA+2PF2]为最小值时，点[P]的坐标.

错解 设[P]是椭圆上任一点，由[PF1+PF2=2a]知，[PA+2PF2=PA+2（2a-PF1）][=PA-2PF1+4a，]

当[P]，[A]，[F1]三点共线时，有最小值[4a=16].

错因 本题关键在于未知式[PA+2PF2]中的“[2]”的处理，[P]，[A]，[F1]共线时不一定取最小值.运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性.

正解 由已知得，[a=4]，[c=2].

所以[e=12]，右准线[l：x=8].

过[A]作[AQ⊥l]，垂足为[Q]，交椭圆于[P]，

故[PQ=2PF2].

显然[PA+2PF2]的最小值为[AQ]，即[P]为所求，

因此[yP=3]，且[P]在椭圆上.

故[xP=23].所以[P23，3].

点拨 本题的关键是求出离心率[e=12]，把[2PF]转化为[P]到右准线的距离，从而得最小值.一般地，求[PA+1ePF2]均可用此法.巧用焦半径[PF2]与点准距[PQ]互化是解决有关问题的重要手段.

易错4 直线与椭圆的位置关系

例8 已知椭圆[x22+y2=1]，

（1）求过点[P12，12]且被点[P]平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过[A2，1]引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点[P]，[Q]，[O]为原点，且有直线[OP]，[OQ]斜率满足[kOP?kOQ=-12]，求线段[PQ]中点[M]的轨迹方程.

错因 本题中四问都跟弦中点有关，不能充分利用弦中点的性质是解题受阻的原因.

正解 设弦两端点分别为[Mx1，y1]，[Nx2，y2]，线段[MN]的中点[Rx，y]，

则[x12+2y12=2，①x22+2y22=2，②]作差得，

[x1+x2x1-x2+2y1+y2y1-y2=0].

结合[x1+x2=2x， ③y1+y2=2y， ④]

有[x+2yy1-y2x1-x2=0].（*）

（1）将[x=12]，[y=12]代入（*）得，[y1-y2x1-x2=-12]，

故所求直线方程为：

[2x+4y-3=0].

代入椭圆方程，[Δ=36-4×6×14>0]，

符合题意，[2x+4y-3=0]为所求.

（2）将[y1-y2x1-x2=2]代入（*）得所求轨迹方程为：[x+4y=0].（椭圆内部分）

（3）将[y1-y2x1-x2=y-1x-2]代入（*）得所求轨迹方程为：[x2+2y2-2x-2y=0].（椭圆内部分）

（4）由[x21+2y21=2，①x22+2y22=2，④]得，

[x21+x22+2y21+y22=4].

由[x1+x2=2x， ③y1+y2=2y，④]得，

[x21+x22=4x2-2x1x2]，[y21+y22=4y2-2y1y2]，

整理得[4x2-2x1x24+4y2-2y1y2=2]，

结合[y1y2=-12x1x2]，化简得[x2+2y2=1].

此即为所求轨迹方程.

点拨 （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹.

（2）“点差法”，解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率，设而不求，整体代换.endprint

易错3 椭圆的第二定义及焦半径的应用

例7 椭圆[x216+y212=1]的右焦点为[F2]，过点[A1，3]，点[M]在椭圆上. 求当[PA+2PF2]为最小值时，点[P]的坐标.

错解 设[P]是椭圆上任一点，由[PF1+PF2=2a]知，[PA+2PF2=PA+2（2a-PF1）][=PA-2PF1+4a，]

当[P]，[A]，[F1]三点共线时，有最小值[4a=16].

错因 本题关键在于未知式[PA+2PF2]中的“[2]”的处理，[P]，[A]，[F1]共线时不一定取最小值.运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性.

正解 由已知得，[a=4]，[c=2].

所以[e=12]，右准线[l：x=8].

过[A]作[AQ⊥l]，垂足为[Q]，交椭圆于[P]，

故[PQ=2PF2].

显然[PA+2PF2]的最小值为[AQ]，即[P]为所求，

因此[yP=3]，且[P]在椭圆上.

故[xP=23].所以[P23，3].

点拨 本题的关键是求出离心率[e=12]，把[2PF]转化为[P]到右准线的距离，从而得最小值.一般地，求[PA+1ePF2]均可用此法.巧用焦半径[PF2]与点准距[PQ]互化是解决有关问题的重要手段.

易错4 直线与椭圆的位置关系

例8 已知椭圆[x22+y2=1]，

（1）求过点[P12，12]且被点[P]平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过[A2，1]引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点[P]，[Q]，[O]为原点，且有直线[OP]，[OQ]斜率满足[kOP?kOQ=-12]，求线段[PQ]中点[M]的轨迹方程.

错因 本题中四问都跟弦中点有关，不能充分利用弦中点的性质是解题受阻的原因.

正解 设弦两端点分别为[Mx1，y1]，[Nx2，y2]，线段[MN]的中点[Rx，y]，

则[x12+2y12=2，①x22+2y22=2，②]作差得，

[x1+x2x1-x2+2y1+y2y1-y2=0].

结合[x1+x2=2x， ③y1+y2=2y， ④]

有[x+2yy1-y2x1-x2=0].（*）

（1）将[x=12]，[y=12]代入（*）得，[y1-y2x1-x2=-12]，

故所求直线方程为：

[2x+4y-3=0].

代入椭圆方程，[Δ=36-4×6×14>0]，

符合题意，[2x+4y-3=0]为所求.

（2）将[y1-y2x1-x2=2]代入（*）得所求轨迹方程为：[x+4y=0].（椭圆内部分）

（3）将[y1-y2x1-x2=y-1x-2]代入（*）得所求轨迹方程为：[x2+2y2-2x-2y=0].（椭圆内部分）

（4）由[x21+2y21=2，①x22+2y22=2，④]得，

[x21+x22+2y21+y22=4].

由[x1+x2=2x， ③y1+y2=2y，④]得，

[x21+x22=4x2-2x1x2]，[y21+y22=4y2-2y1y2]，

整理得[4x2-2x1x24+4y2-2y1y2=2]，

结合[y1y2=-12x1x2]，化简得[x2+2y2=1].

此即为所求轨迹方程.

点拨 （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹.

（2）“点差法”，解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率，设而不求，整体代换.endprint