以学生经历数学化过程为目标设计教学活动

张苾菁

荷兰数学家弗赖登塔尔曾经说过：“儿童与其说是学习数学，不如说是学习数学化。”这个理念，老师们想必都非常熟悉。当然，不可否认，很多情况下，类似这样言简意赅的理念即便是被人们在不经意间记住了，若要真的用于指导自己的教学，还得再下一番工夫好好去琢磨。事实上，对于理念的实践，很多情况下我们是在一种似懂非懂的浅表状态下进行的，因为没有触及其本质的要求，所以教学行为缺乏一种高位的设计，课堂所呈现出的整体性和连贯性不足，甚至会出现为了迎合某种时髦的形式导致教学目标偏离方向。

何谓数学化？人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。数学化分为两个层次，横向数学化和纵向数学化。横向数学化是指从真实生活走进符号世界,而纵向数学化是指在符号世界中进行移动。

举个例子，教学“运算律”，老师们通常会这样执教。

教学片段一

1.师：同学们，六一儿童节快到了，王阿姨准备买一些衣服作为节日礼物送给福利院的孩子们，请看图片（图略）。

2.师：仔细观察，从图中我们可以知道哪些信息？要解决什么问题？根据这些信息，你会列式解答吗？

3.学生独立思考后，交流出两种解题思路。

生1：分别买5件夹克和5条裤子，再算出总价。

65×5+45×5

=325+225

=550（元）

生2：先算出一套衣服的价钱，再算出总价。

（65+45）×5

=110×5

=550（元）

4.师：你们看，由于思考问题的角度不同，有的同学先算买夹克衫和买裤子各用了多少元，还有的同学先算买一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

前面的数学活动其实就是实现了学生将知识从具体的情境中分离抽象出来的过程，是将生活问题抽象成数学问题的一个典型，其实质就是学生带着自己的知识经验，朝学科知识逐渐靠近。情境帮助学生建立了从生活走向数学的通道，从根本上促进学生意义建构的主动发生。因此，我们说，要让学生经历数学化的过程，首先要关注情境的运用，通过数学的现实性来实现数学化。当学生对此问题列出不同的算式，准备进行解答时,这其实就是利用数学的现实性进行横向数学化的过程。横向数学化，其主要手段就是抽象和概括。但是，教学是不是就此完成了任务？学生的思维又该如何向纵深发展呢？

我们需要思考的是，对于乘法分配律的理解，学生的难点到底在哪里？

我们知道，对于乘法交换律和乘法结合律，由于等式左边和右边的数并没有因为交换和结合而发生改变，原来两个数交换位置还是两个数，原来三个数结合以后还是三个数，并且都只限于一种乘法计算，学生理解起来难度不大；但是对于乘法分配律来说，等号左右两边数的个数发生了变化，由形式上的三个数变成了四个数，并且既有加法运算又有乘法运算，这两个变化是学生理解的难点。因此，对于“乘法分配律”这个规律的前提：“两个数的和与一个数相乘以及两个数分别与这个数相乘”在算式中的特征的观察是非常重要的，这直接影响着对规律最终的理解和表述。如果仅凭一个算式就让学生观察算式的特点对于提炼算式中数的特征和数与数之间的关系，显得过于单薄，教师需要变化算式的条件引发学生的有意注意。

教学片段二

1.师：如果还是买上衣和裤子，不过要买8套，你会怎么解决？（65+45）×8=65×8+45×8。（这个例子是加数不变，只变化乘数，为的就是聚焦乘数的变化给等号两侧算式带来的变化。）

2.如果现在将短袖和裤子配成一套，买这样的5套，你能列式解决吗？（32+40）×5=32×5+40×5。（这个例子是乘数不变，只变化加数，看看这样变化对算式带来的影响。）

3.在此基础上，屏幕上已经形成了三道等式。学生在初次尝试建立等式，继而变化乘数、变化加数的过程中，结合具体情境所体现的意义，初步体验到等式左右结构变化的规律，进而让学生抛开具体情境，尝试用数学语言来表述。这是学生从横向数学化走向纵向数学化的一个桥梁。从这个环节开始，学生就可以将注意的重心聚焦于对算式内部特征的研究了。

4.师：观察下面的三道算式，等号左右两边有几个不同的数？在进行什么运算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

生：有三个数，加法和乘法。

师：等号两边的算式都在进行加法和乘法运算，它们的运算顺序一样吗？

生：不一样，左边是先加后乘，右边是两部分同时先乘然后再加。

师：能把它们运算顺序具体地说一说吗？

在教师的引导下，学生能作如下语言表述。

生1：左边算的是“65与45的和乘5”，右边算的是“65乘5的积与45乘5的积相加”（65和45分别乘5，再相加），结果相等。

生2：左边算的是“65与45的和乘8”，右边算的是“65乘8的积与45乘8的积相加”，结果相等。

……

小结：通过刚才同学的发言，我们发现等号左边的算式都有一个共同特点，都是先算“两个数的和乘一个数”（板书）；等号右边也都有一个共同特点，都是把这两个数分别乘上这个数，结果相等。

师：谁来把刚才你发现的这个情况用自己的话说说？

……

（从结合具体式子的语言表述，逐渐走向概括的语言表述，是发展学生数学抽象、概括能力的一个良好时机。）

师：刚才我们是通过3组算式发现的规律，这是巧合还是规律呢？是不是所有类似这样的等式都能成立呢？你有没有什么好办法？

师：想一想，能换不同的数据，再写几组类似这样的等式吗？请大家在自备本上试一试、写一写，然后把你的发现在小组里说一说。

师：同学们一定又写出了好多这样的等式吧？课件出示一组等式。

（35+65）×12=35×12+65×12

（23+27）×7=23×7+27×7

（56+14）×50=56×50+14×50

（28+2）×16=28×16+2×16

（15+45）×36=15×36+45×36

……（举例的时候，类型重复的不要写，但是特殊情况要考虑，这是一种方法上的教学。）

师：同学们，这样的等式写得完吗？同样类型的式子肯定写不完，那么怎样的式子具有代表性呢？我们能不能想个办法，用一个等式把具有这种特点的等式都表示出来呢？用你喜欢的方式来表达，可采用文字、图画、字母等。

生独立在本子上尝试，完成后跟同桌交流。

师：大家一定想出很多方法来表示这样的等式。是啊，表示的方法可以多种多样，但表达的意思都一样。那同学们知道这种等式所表示的意思吗？用自己的话和同桌交流一下。

师引导学生归纳：这样的等式都表示一个相同的规律：两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘，再把两个乘积相加。（课件出示规律文字）如果我们用字母a、b、c来分别表示不同的三个数，那么这个规律可以怎么写呢？可以写成（课件出示字母公式）（a+b）×c=a×c+b×c。

师：这就是乘法分配律。（出示课题）同学们会用自己的语言来说一说什么是乘法分配律吗？同桌之间说一说。

在这个环节中，我们把数学问题从具体情境中剥离了出来，不再依附于情境，直接利用数学符号研究数学规律，教师设计了几个不同思维的数学活动，逼着学生用数学的方法思考问题，表达数学规律，其目的是促进学生的认知高水平发展。首先是基于模仿，其次是进行不完全归纳，最后是形成一般规律。这个过程是学生的认知水平由事实性水平向概念性、方法性水平不断向纵深发展的阶段，也可以看作纵向数学化深入的结果。这才是数学活动所期许达成的目标。因此，关注活动的指向，体验数学的抽象性，实现数学化是我们目前应该更为关注的问题。

总之，横向数学化生成生活与数学的联系，偏向于实践活动；纵向数学化生成抽象数学知识间的联系，偏重于帮助学生提升数学思维。在我们的数学课堂教学中,横向数学化和纵向数学化应该是同时存在的，学生在经历数学化过程中的思考体验会给后续的学习带来深远影响。

学习了这堂课以后，学生会进一步形成猜测，两个数的和与一个数相乘有这样的规律，那么三个数、四个数的和与一个数相乘也有这样的规律吗？乘法有分配律，除法有吗？如果把括号里的加号改成减号，这个等式还成立吗？由前面的结论引申出的这些新问题，是否有必要借助于情境来说明道理？还是让学生经历发现问题—提出假设—举例验证—归纳规律的过程？答案是不言而喻的。

我们当下的数学课堂，不是缺乏情境的创设，而是缺乏从情境走向对数学问题研究时的数学化立场。如果说从生活走向数学为教学创造了一个适宜的起点的话，那么，对于数学知识内部的观察、整理、辨析、联结则是发展学生数学思维的重要过程。这个过程应该在有思维含量的数学活动中被充分地展开。若是在这项工作上我们再作深入的思考和有效的实践，我们数学课的数学味会更浓郁。♪

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荷兰数学家弗赖登塔尔曾经说过：“儿童与其说是学习数学，不如说是学习数学化。”这个理念，老师们想必都非常熟悉。当然，不可否认，很多情况下，类似这样言简意赅的理念即便是被人们在不经意间记住了，若要真的用于指导自己的教学，还得再下一番工夫好好去琢磨。事实上，对于理念的实践，很多情况下我们是在一种似懂非懂的浅表状态下进行的，因为没有触及其本质的要求，所以教学行为缺乏一种高位的设计，课堂所呈现出的整体性和连贯性不足，甚至会出现为了迎合某种时髦的形式导致教学目标偏离方向。

何谓数学化？人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。数学化分为两个层次，横向数学化和纵向数学化。横向数学化是指从真实生活走进符号世界,而纵向数学化是指在符号世界中进行移动。

举个例子，教学“运算律”，老师们通常会这样执教。

教学片段一

1.师：同学们，六一儿童节快到了，王阿姨准备买一些衣服作为节日礼物送给福利院的孩子们，请看图片（图略）。

2.师：仔细观察，从图中我们可以知道哪些信息？要解决什么问题？根据这些信息，你会列式解答吗？

3.学生独立思考后，交流出两种解题思路。

生1：分别买5件夹克和5条裤子，再算出总价。

65×5+45×5

=325+225

=550（元）

生2：先算出一套衣服的价钱，再算出总价。

（65+45）×5

=110×5

=550（元）

4.师：你们看，由于思考问题的角度不同，有的同学先算买夹克衫和买裤子各用了多少元，还有的同学先算买一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

前面的数学活动其实就是实现了学生将知识从具体的情境中分离抽象出来的过程，是将生活问题抽象成数学问题的一个典型，其实质就是学生带着自己的知识经验，朝学科知识逐渐靠近。情境帮助学生建立了从生活走向数学的通道，从根本上促进学生意义建构的主动发生。因此，我们说，要让学生经历数学化的过程，首先要关注情境的运用，通过数学的现实性来实现数学化。当学生对此问题列出不同的算式，准备进行解答时,这其实就是利用数学的现实性进行横向数学化的过程。横向数学化，其主要手段就是抽象和概括。但是，教学是不是就此完成了任务？学生的思维又该如何向纵深发展呢？

我们需要思考的是，对于乘法分配律的理解，学生的难点到底在哪里？

我们知道，对于乘法交换律和乘法结合律，由于等式左边和右边的数并没有因为交换和结合而发生改变，原来两个数交换位置还是两个数，原来三个数结合以后还是三个数，并且都只限于一种乘法计算，学生理解起来难度不大；但是对于乘法分配律来说，等号左右两边数的个数发生了变化，由形式上的三个数变成了四个数，并且既有加法运算又有乘法运算，这两个变化是学生理解的难点。因此，对于“乘法分配律”这个规律的前提：“两个数的和与一个数相乘以及两个数分别与这个数相乘”在算式中的特征的观察是非常重要的，这直接影响着对规律最终的理解和表述。如果仅凭一个算式就让学生观察算式的特点对于提炼算式中数的特征和数与数之间的关系，显得过于单薄，教师需要变化算式的条件引发学生的有意注意。

教学片段二

1.师：如果还是买上衣和裤子，不过要买8套，你会怎么解决？（65+45）×8=65×8+45×8。（这个例子是加数不变，只变化乘数，为的就是聚焦乘数的变化给等号两侧算式带来的变化。）

2.如果现在将短袖和裤子配成一套，买这样的5套，你能列式解决吗？（32+40）×5=32×5+40×5。（这个例子是乘数不变，只变化加数，看看这样变化对算式带来的影响。）

3.在此基础上，屏幕上已经形成了三道等式。学生在初次尝试建立等式，继而变化乘数、变化加数的过程中，结合具体情境所体现的意义，初步体验到等式左右结构变化的规律，进而让学生抛开具体情境，尝试用数学语言来表述。这是学生从横向数学化走向纵向数学化的一个桥梁。从这个环节开始，学生就可以将注意的重心聚焦于对算式内部特征的研究了。

4.师：观察下面的三道算式，等号左右两边有几个不同的数？在进行什么运算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

生：有三个数，加法和乘法。

师：等号两边的算式都在进行加法和乘法运算，它们的运算顺序一样吗？

生：不一样，左边是先加后乘，右边是两部分同时先乘然后再加。

师：能把它们运算顺序具体地说一说吗？

在教师的引导下，学生能作如下语言表述。

生1：左边算的是“65与45的和乘5”，右边算的是“65乘5的积与45乘5的积相加”（65和45分别乘5，再相加），结果相等。

生2：左边算的是“65与45的和乘8”，右边算的是“65乘8的积与45乘8的积相加”，结果相等。

……

小结：通过刚才同学的发言，我们发现等号左边的算式都有一个共同特点，都是先算“两个数的和乘一个数”（板书）；等号右边也都有一个共同特点，都是把这两个数分别乘上这个数，结果相等。

师：谁来把刚才你发现的这个情况用自己的话说说？

……

（从结合具体式子的语言表述，逐渐走向概括的语言表述，是发展学生数学抽象、概括能力的一个良好时机。）

师：刚才我们是通过3组算式发现的规律，这是巧合还是规律呢？是不是所有类似这样的等式都能成立呢？你有没有什么好办法？

师：想一想，能换不同的数据，再写几组类似这样的等式吗？请大家在自备本上试一试、写一写，然后把你的发现在小组里说一说。

师：同学们一定又写出了好多这样的等式吧？课件出示一组等式。

（35+65）×12=35×12+65×12

（23+27）×7=23×7+27×7

（56+14）×50=56×50+14×50

（28+2）×16=28×16+2×16

（15+45）×36=15×36+45×36

……（举例的时候，类型重复的不要写，但是特殊情况要考虑，这是一种方法上的教学。）

师：同学们，这样的等式写得完吗？同样类型的式子肯定写不完，那么怎样的式子具有代表性呢？我们能不能想个办法，用一个等式把具有这种特点的等式都表示出来呢？用你喜欢的方式来表达，可采用文字、图画、字母等。

生独立在本子上尝试，完成后跟同桌交流。

师：大家一定想出很多方法来表示这样的等式。是啊，表示的方法可以多种多样，但表达的意思都一样。那同学们知道这种等式所表示的意思吗？用自己的话和同桌交流一下。

师引导学生归纳：这样的等式都表示一个相同的规律：两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘，再把两个乘积相加。（课件出示规律文字）如果我们用字母a、b、c来分别表示不同的三个数，那么这个规律可以怎么写呢？可以写成（课件出示字母公式）（a+b）×c=a×c+b×c。

师：这就是乘法分配律。（出示课题）同学们会用自己的语言来说一说什么是乘法分配律吗？同桌之间说一说。

在这个环节中，我们把数学问题从具体情境中剥离了出来，不再依附于情境，直接利用数学符号研究数学规律，教师设计了几个不同思维的数学活动，逼着学生用数学的方法思考问题，表达数学规律，其目的是促进学生的认知高水平发展。首先是基于模仿，其次是进行不完全归纳，最后是形成一般规律。这个过程是学生的认知水平由事实性水平向概念性、方法性水平不断向纵深发展的阶段，也可以看作纵向数学化深入的结果。这才是数学活动所期许达成的目标。因此，关注活动的指向，体验数学的抽象性，实现数学化是我们目前应该更为关注的问题。

总之，横向数学化生成生活与数学的联系，偏向于实践活动；纵向数学化生成抽象数学知识间的联系，偏重于帮助学生提升数学思维。在我们的数学课堂教学中,横向数学化和纵向数学化应该是同时存在的，学生在经历数学化过程中的思考体验会给后续的学习带来深远影响。

学习了这堂课以后，学生会进一步形成猜测，两个数的和与一个数相乘有这样的规律，那么三个数、四个数的和与一个数相乘也有这样的规律吗？乘法有分配律，除法有吗？如果把括号里的加号改成减号，这个等式还成立吗？由前面的结论引申出的这些新问题，是否有必要借助于情境来说明道理？还是让学生经历发现问题—提出假设—举例验证—归纳规律的过程？答案是不言而喻的。

我们当下的数学课堂，不是缺乏情境的创设，而是缺乏从情境走向对数学问题研究时的数学化立场。如果说从生活走向数学为教学创造了一个适宜的起点的话，那么，对于数学知识内部的观察、整理、辨析、联结则是发展学生数学思维的重要过程。这个过程应该在有思维含量的数学活动中被充分地展开。若是在这项工作上我们再作深入的思考和有效的实践，我们数学课的数学味会更浓郁。♪

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荷兰数学家弗赖登塔尔曾经说过：“儿童与其说是学习数学，不如说是学习数学化。”这个理念，老师们想必都非常熟悉。当然，不可否认，很多情况下，类似这样言简意赅的理念即便是被人们在不经意间记住了，若要真的用于指导自己的教学，还得再下一番工夫好好去琢磨。事实上，对于理念的实践，很多情况下我们是在一种似懂非懂的浅表状态下进行的，因为没有触及其本质的要求，所以教学行为缺乏一种高位的设计，课堂所呈现出的整体性和连贯性不足，甚至会出现为了迎合某种时髦的形式导致教学目标偏离方向。

何谓数学化？人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。数学化分为两个层次，横向数学化和纵向数学化。横向数学化是指从真实生活走进符号世界,而纵向数学化是指在符号世界中进行移动。

举个例子，教学“运算律”，老师们通常会这样执教。

教学片段一

1.师：同学们，六一儿童节快到了，王阿姨准备买一些衣服作为节日礼物送给福利院的孩子们，请看图片（图略）。

2.师：仔细观察，从图中我们可以知道哪些信息？要解决什么问题？根据这些信息，你会列式解答吗？

3.学生独立思考后，交流出两种解题思路。

生1：分别买5件夹克和5条裤子，再算出总价。

65×5+45×5

=325+225

=550（元）

生2：先算出一套衣服的价钱，再算出总价。

（65+45）×5

=110×5

=550（元）

4.师：你们看，由于思考问题的角度不同，有的同学先算买夹克衫和买裤子各用了多少元，还有的同学先算买一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

前面的数学活动其实就是实现了学生将知识从具体的情境中分离抽象出来的过程，是将生活问题抽象成数学问题的一个典型，其实质就是学生带着自己的知识经验，朝学科知识逐渐靠近。情境帮助学生建立了从生活走向数学的通道，从根本上促进学生意义建构的主动发生。因此，我们说，要让学生经历数学化的过程，首先要关注情境的运用，通过数学的现实性来实现数学化。当学生对此问题列出不同的算式，准备进行解答时,这其实就是利用数学的现实性进行横向数学化的过程。横向数学化，其主要手段就是抽象和概括。但是，教学是不是就此完成了任务？学生的思维又该如何向纵深发展呢？

我们需要思考的是，对于乘法分配律的理解，学生的难点到底在哪里？

我们知道，对于乘法交换律和乘法结合律，由于等式左边和右边的数并没有因为交换和结合而发生改变，原来两个数交换位置还是两个数，原来三个数结合以后还是三个数，并且都只限于一种乘法计算，学生理解起来难度不大；但是对于乘法分配律来说，等号左右两边数的个数发生了变化，由形式上的三个数变成了四个数，并且既有加法运算又有乘法运算，这两个变化是学生理解的难点。因此，对于“乘法分配律”这个规律的前提：“两个数的和与一个数相乘以及两个数分别与这个数相乘”在算式中的特征的观察是非常重要的，这直接影响着对规律最终的理解和表述。如果仅凭一个算式就让学生观察算式的特点对于提炼算式中数的特征和数与数之间的关系，显得过于单薄，教师需要变化算式的条件引发学生的有意注意。

教学片段二

1.师：如果还是买上衣和裤子，不过要买8套，你会怎么解决？（65+45）×8=65×8+45×8。（这个例子是加数不变，只变化乘数，为的就是聚焦乘数的变化给等号两侧算式带来的变化。）

2.如果现在将短袖和裤子配成一套，买这样的5套，你能列式解决吗？（32+40）×5=32×5+40×5。（这个例子是乘数不变，只变化加数，看看这样变化对算式带来的影响。）

3.在此基础上，屏幕上已经形成了三道等式。学生在初次尝试建立等式，继而变化乘数、变化加数的过程中，结合具体情境所体现的意义，初步体验到等式左右结构变化的规律，进而让学生抛开具体情境，尝试用数学语言来表述。这是学生从横向数学化走向纵向数学化的一个桥梁。从这个环节开始，学生就可以将注意的重心聚焦于对算式内部特征的研究了。

4.师：观察下面的三道算式，等号左右两边有几个不同的数？在进行什么运算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

生：有三个数，加法和乘法。

师：等号两边的算式都在进行加法和乘法运算，它们的运算顺序一样吗？

生：不一样，左边是先加后乘，右边是两部分同时先乘然后再加。

师：能把它们运算顺序具体地说一说吗？

在教师的引导下，学生能作如下语言表述。

生1：左边算的是“65与45的和乘5”，右边算的是“65乘5的积与45乘5的积相加”（65和45分别乘5，再相加），结果相等。

生2：左边算的是“65与45的和乘8”，右边算的是“65乘8的积与45乘8的积相加”，结果相等。

……

小结：通过刚才同学的发言，我们发现等号左边的算式都有一个共同特点，都是先算“两个数的和乘一个数”（板书）；等号右边也都有一个共同特点，都是把这两个数分别乘上这个数，结果相等。

师：谁来把刚才你发现的这个情况用自己的话说说？

……

（从结合具体式子的语言表述，逐渐走向概括的语言表述，是发展学生数学抽象、概括能力的一个良好时机。）

师：刚才我们是通过3组算式发现的规律，这是巧合还是规律呢？是不是所有类似这样的等式都能成立呢？你有没有什么好办法？

师：想一想，能换不同的数据，再写几组类似这样的等式吗？请大家在自备本上试一试、写一写，然后把你的发现在小组里说一说。

师：同学们一定又写出了好多这样的等式吧？课件出示一组等式。

（35+65）×12=35×12+65×12

（23+27）×7=23×7+27×7

（56+14）×50=56×50+14×50

（28+2）×16=28×16+2×16

（15+45）×36=15×36+45×36

……（举例的时候，类型重复的不要写，但是特殊情况要考虑，这是一种方法上的教学。）

师：同学们，这样的等式写得完吗？同样类型的式子肯定写不完，那么怎样的式子具有代表性呢？我们能不能想个办法，用一个等式把具有这种特点的等式都表示出来呢？用你喜欢的方式来表达，可采用文字、图画、字母等。

生独立在本子上尝试，完成后跟同桌交流。

师：大家一定想出很多方法来表示这样的等式。是啊，表示的方法可以多种多样，但表达的意思都一样。那同学们知道这种等式所表示的意思吗？用自己的话和同桌交流一下。

师引导学生归纳：这样的等式都表示一个相同的规律：两个数的和与一个数相乘，等于这两个数分别与这个数相乘，再把两个乘积相加。（课件出示规律文字）如果我们用字母a、b、c来分别表示不同的三个数，那么这个规律可以怎么写呢？可以写成（课件出示字母公式）（a+b）×c=a×c+b×c。

师：这就是乘法分配律。（出示课题）同学们会用自己的语言来说一说什么是乘法分配律吗？同桌之间说一说。

在这个环节中，我们把数学问题从具体情境中剥离了出来，不再依附于情境，直接利用数学符号研究数学规律，教师设计了几个不同思维的数学活动，逼着学生用数学的方法思考问题，表达数学规律，其目的是促进学生的认知高水平发展。首先是基于模仿，其次是进行不完全归纳，最后是形成一般规律。这个过程是学生的认知水平由事实性水平向概念性、方法性水平不断向纵深发展的阶段，也可以看作纵向数学化深入的结果。这才是数学活动所期许达成的目标。因此，关注活动的指向，体验数学的抽象性，实现数学化是我们目前应该更为关注的问题。

总之，横向数学化生成生活与数学的联系，偏向于实践活动；纵向数学化生成抽象数学知识间的联系，偏重于帮助学生提升数学思维。在我们的数学课堂教学中,横向数学化和纵向数学化应该是同时存在的，学生在经历数学化过程中的思考体验会给后续的学习带来深远影响。

学习了这堂课以后，学生会进一步形成猜测，两个数的和与一个数相乘有这样的规律，那么三个数、四个数的和与一个数相乘也有这样的规律吗？乘法有分配律，除法有吗？如果把括号里的加号改成减号，这个等式还成立吗？由前面的结论引申出的这些新问题，是否有必要借助于情境来说明道理？还是让学生经历发现问题—提出假设—举例验证—归纳规律的过程？答案是不言而喻的。

我们当下的数学课堂，不是缺乏情境的创设，而是缺乏从情境走向对数学问题研究时的数学化立场。如果说从生活走向数学为教学创造了一个适宜的起点的话，那么，对于数学知识内部的观察、整理、辨析、联结则是发展学生数学思维的重要过程。这个过程应该在有思维含量的数学活动中被充分地展开。若是在这项工作上我们再作深入的思考和有效的实践，我们数学课的数学味会更浓郁。♪

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