利用和声搜索算法求解投资组合最优化研究

何红+拓守恒

文章编号：1001-148X（2014）04-0142-07

摘要：随着社会的进步， 经济呈多元化趋势发展， 多元化的投资就显得尤为重要。为了使投资收益尽可能大、风险尽可能小，通过对基数约束均值-方差模型进行详细分析，本文提出了基于和声搜索算法的投资优化组合求解算法，通过对5个投资案例进行仿真测试，验证采用这种算法是有效可靠的。

关键词：投资优化组合；和声搜索算法； 基数约束均值-方差模型

中图分类号：F83059 文献标识码：A

收稿日期：2013-12-30

作者简介：何红（1978-），女，陕西蒲城人，陕西理工学院历史文化与旅游学院教师，研究方向：区域旅游经济；拓守恒（1978-），男，宁夏中卫人，陕西理工学院数学与计算机科学学院副教授，研究方向：智能优化算法与信息处理。

基金项目：陕西省教育厅专项科研计划项目，项目编号：12JK0147；陕西（高校）哲学社会科学重点研究基地汉水文化研究中心计划项目，项目编号：SLGH1248。受国际金融风暴的影响，人们开始专注于多种投资理财，投资者在进行投资目标选择时必然要考虑投资的收益和风险问题，怎样选择最优的投资优化（Portfolio optimization: PO）方案成为重要课题。和声搜索（Harmony Search：HS）算法是一种新型的群体智能优化算法，近年来得到了广泛应用，但对投资组合优化问题却鲜有应用。本文提出一种改进的和声搜索算法，并试图用其进行投资组合优化问题求解。

一、CCMV投资优化模型带有基数约束的投资组合优化模型 ［1-2］是建立在MV模型基础之上，引入了风险规避参数，具体模型如下：minf(X)=(1－λ)•Re－λ•Ri(1)Ri=∑Di=1∑Dj=1xixjδij(2)Re=∑Di=1xiμi(3)st∑Di=1zi=K(4)∑Di=1xi=1 (5)ξizi≤xi≤ζizi, zi∈{0,1},i=1,…,D.(6)公式（1）中Re表示投资收益，Ri表示投资风险，λ是风险规避参数；公式（2）-（5）中，D表示可投资的资产总数目，μi是第i种投资的期望收益率(i=1,2,…,D),xi表示第i种资产的投资比例， δij表示第i种资产与第j中资产之间的协方差；zi表示第i中资产是否要选择投资，若zi=1，表示选择第i种资产进行投资，zi=0，表示不对其进行投资，K表示可选择投资的资产总数量；ξi和ζi分别表示第i种投资在总投资中所占比例的下限和上限。从公式（1）的目标函数可以看出：当λ=0时，不考虑投资风险，优化的目标是收益最大化；反之，当λ=0时，不考虑投资收益，仅仅选择投资风险最小的资产进行投资。当然，投资选择需要同时考虑收益和风险，目的是收益尽可能大，风险尽可能小。因此，需要在收益和风险之间找的一种平衡。当λ在（0,1）之间任取值λ′，都会获得相应的期望收益Re′和风险值Ri′，所有λ在（0,1）中的取值，得到的（Re′，Ri′）就构成了问题的有效前沿。CCMC模型是一种约束优化问题，求解算法必须保证获得的最优解是可行解，一般对于约束优化问题都采用约束处理技术，比如罚函数法等，但是计算代价很大，并且效果不一定理想。由公式（4）-（5）可以看出约束条件是混合的二次整数规划问题。对公式（4），如果K*=∑Di=1zi>K,根据风险规避参数Ci的值（公式7），采用轮盘赌算法随机选择（Ci值小的被选中概率较大）一些资产将其去除；反之，如果K*

二、利用和声搜索算法求解CCMV投资优化模型（一）标准HS算法HS算法中的几个重要概念：（1）和声记忆库（harmony memory:HM），类似于遗传算法中的种群，初始时在搜索空间内随机产生。HM=X1

X2



XHMS=x11x12…x1D

x21x22…x2D



xHMS1xHMS2…xHMSD（2）和声记忆库选择概率（Harmony memory consideration rate：HMCR）。（3）音高调整概率(pitch-adjusting rate:PAR)。（4）音高调整步长(pitch bandwidth:BW)。标准和声搜索算法思想如下：（1）产生新和声Xnew=(x1,x2,…,xD)，产生方法如下：if rand

{xnewi=xai(a=U{1,2,…,HMS}

if rand

xnewi=xnewi±rand×BW(i)}

else

xnewi=xLi+rand×(xUi-xLi) （2）判断Xnew是否比和声记忆库最差和声Xidworst（idworst是HM中最差和声的索引）。如果是，将其用Xnew替换。（3）重复（1）（2）直到结束条件满足。（二）改进的HS算法HS算法具有很强的全局探索能力，但是求解精度较低，学者们对HS做了很多改进 ［3-4］，并且在实践中得到了很好应用。例如无线传感器网络优化，电力系统优化配置等工程优化领域［5-10］。本文提出一种动态降维调整策略对和声搜索算法改进，将其应用于投资组合优化问题。由于投资组合优化问题是高维复杂优化问题，算法容易陷入局部搜索而丢失全局最优解。本文算法的主要思想是对一个高维复杂优化问题，为了保证算法的全局探索能力，在搜索开始时采用多维度扰动，随着搜索的进行逐步减少扰动维数。到了后期，为了获得高精度的最优解，算法进行少维度调整，主要进行局部搜索，算法伪代码如下：

基于动态降维调整策略的和声搜索算法While t

If rand < PAR  xnewi=xnewi±rand•BW(i); %规则②

EndIf

Else xnewi = xLi  + rand•(xUi -xLi ); %规则③

EndEndIF

EndFor t=t+1;EndWhile本文算法流程如图1所示。在本文算法中，调整概率TP=TPmax－(TPmax－TPmin)•(t/Tmax)2 随着迭代次数的增加逐步减小（如图2），其中TPmax 和TPmin分别为最大调整概率值和最小调整概率值。在算法优化开始时，以较大的概率TPmax进行扰动，主要进行全局探索优化，随着搜索的进行，调整概率TP随之变小，使得搜索逐步从全局探索变为局部微调。设置J=ceil(rand*D)是为了防止优化调整概率太小，可能导致所有维都得不到调整。因此，需要从1到D中随机选取一维J ，使得该维必须得到调整，避免了算法“空转”。（类似于差分进化算法进行交叉时，随机选择1个J，使其能够得到交叉的机会）。另外，本文算法中的参数PAR和BW与算法IHS［4］中的更新一致，根据算法的迭代动态更新。对于投资组合优化问题，和声记忆库HM中每一个和声X就是一种投资分配方案，通过本文的动态和声调整策略，使其HM的中和声得到优化。由于CCMV模型中不同的λ会产生不同的最优投资方案，可以让λ从0以较小的步长变化到1，这样产生的多个最优投资形成了最优有效前言，具体方法如下列伪代码：For λ=0:step:1利用本文和声搜索算法计算最优投资方案X*;计算此时的风险与收益（Re，Ri），并将其记录在最优前端（Pareto）集合中。

End图1 基于动态降维调整的和声搜索算法流程图图2调整概率TP变化曲线三、仿真实验为了评估本文算法对投资组合优化问题的优化性能，选取5组测试数据（HangSeng 31种资产； DAX100 85种资产；FTSE100 89种资产；S&P100 98种资产；Nikkei 225种资产），测试数据来源于http://peoplebrunelacuk/~mastjjb/jeb/orlib/portinfohtml。实验1问题参数设置：准备投资资产总数K不限，投资比例下上限不限，λ=0:002:1（让λ从0以步长002变化到1）。实验2问题参数设置：准备投资资产总数K=10，投资比例下上限：ξi=001，ζi=1，λ=0:002:1。本文算法参数设置如表1。算法仿真实验是在Lenovo PC电脑Inter(R) Core(TM) i5-3407CPU @32GHz, 4GB内存，Windows XP操作系统，所有测试程序采用Matlab R2009a编写。为了比较本文算法的性能，将其和遗传算法（GA）、粒子群优化（PSO）算法、模拟退火算法（SA）、禁忌搜索（TS）进行比较，保证比较的公平性，对每一个测试问题，算法独立运行20次，选取平均值进行比较。实验结果的评价指标如下：（1）到最优前端平均距离（Mean Euclidian distance）。根据λ计算得到的收益与风险的有效前沿与标准最优前端之间的平均距离。（2）收益率误差方差（Variance of return error）。（3）收益率误差均值(Mean return error)。实验1的测试结果如表2，本文算法获得的最优有效前端如图3-图7。

表1 本文算法参数设置HMSHMCRPARBWTP目标函数评价次数FEs100.99PARmax=0.99

PARmin=0.1BWmax=(xU-xL)/20

BWmin=(xU-xL)/(1e+8)TPmax=0.6

TPmin=5/D1000D

表2 实验1测试结果比较测试数据[]评价指标[]GA[]PSO[]TS[]SA[]本文算法HangSeng[]到最优前端平均距离[]5.9007E-04[]7.4137E-04[]5.9764E-04[]6.0520E-04[]9.71433E-07D=31[]收益率误差方差[]0.2898 []0.3928 []0.2904 []0.2913 []0.0251[]收益率误差均值[]0.1064 []0.1301 []0.1070 []0.1093 []0.0101DAX100[]到最优前端平均距离[]1.1499E-03[]1.3617E-03[]1.2407E-03[]1.1801E-03[]3.3906E-06D=85[]收益率误差方差[]0.3073 []0.3928 []0.2904 []0.2913 []0.2008[]收益率误差均值[]0.1151 []0.1301 []0.1070 []0.1093 []0.0217FTSE100 []到最优前端平均距离[]3.0260E-04[]3.3286E-04[]3.1773E-04[]3.2530E-04[]3.6412E-06D=89[]收益率误差方差[]0.5021 []0.5360 []0.7030 []0.6694 []0.2571[]收益率误差均值[]0.0574 []0.0638 []0.0578 []0.0579 []0.0319S&P100 []到最优前端平均距离[]6.2033E-04[]7.8676E-04[]6.2033E-04[]6.2033E-04[]3.8627E-06D=98[]收益率误差方差[]0.6097 []0.6857 []1.0011 []0.9504 []0.2880[]收益率误差均值[]0.2130 []0.2460 []0.1248 []0.1474 []0.0268Nikkei[]到最优前端平均距离[]1.5024E-03[]2.8747E-04[]1.5130E-04[]1.8610E-04[]1.0058E-05 D=225[]收益率误差方差[]0.2112 []0.4253 []0.2178 []0.2105 []0.1836[]收益率误差均值[]0.9332 []0.1401 []0.0737 []0.0723 []0.1900

实验2的测试结果如表3，本文算法获得最优有效前沿和标准最优前沿比较如图8-图12。从表2可以看出对于实验1，5组测试数据，“本文算法获得最优前端”距离“标准最优前端”的平均距离都小于1E-05,非常接近最优前端，并且本文算法对3个评价指标的测试结果都明显好于GA、PSO、TS和SA。由图3-图7来看，本文算法获得的最优前端和标准最优前端几乎是重叠的，并且分布非常均匀，说明本文算法在不对投资比例和投资数目做限制时是可行有效的。

表3实验2测试结果比较测试数据[]评价指标[]GA[]PSO[]TS[]SA[]本文算法HangSeng[]到最优前端平均距离[]3.9E-03[]4.9E-03[]3.95E-03[]4.0E-03[]7.73E-05D=31[]收益率误差方差[]1.6541[]2.2421[]1.6578[]1.6628[]1.6205[]收益率误差均值[]0.6072[]0.7427[]0.6107[]0.6238[]0.6051DAX100[]到最优前端平均距离[]7.6E-03[]9.0E-03[]8.2E-03[]7.8E-03[]1.47E-04D=85[]收益率误差方差[]1.7541[]2.2421[]1.6578[]1.6628[]1.2642[]收益率误差均值[]0.6572[]0.7427[]0.6107[]0.6238[]0.7093FTSE100 []到最优前端平均距离[]2.0E-03[]2.2E-03[]2.1E-03[]2.15E-03[]3.72E-05D=89[]收益率误差方差[]2.866[]3.0596[]4.0123[]3.8205[]2.6632[]收益率误差均值[]0.3277[]0.364[]0.3298[]0.3304[]0.394S&P100[]到最优前端平均距离[]4.1E-03[]5.2E-03[]4.1E-03[]4.1E-03[]7.34E-05D=98[]收益率误差方差[]3.4802[]3.9136[]5.7139[]5.4247[]3.6033[]收益率误差均值[]1.2158[]1.404[]0.7125[]0.8416[]0.9746Nikkei[]到最优前端平均距离[]9.93E-03[]1.9E-03[]1E-03[]1.23E-03[]7.73E-05D=225[]收益率误差方差[]1.2056[]2.4274[]1.2431[]1.2017[]1.1805[]收益率误差均值[]5.3266[]0.7997[]0.4207[]0.4126[]0.6051图3 实验1中数据HangSeng（D=31）的最优前沿比较图4 实验1中数据DAX100（D=85）的最优前沿比较图5 实验1中数据FTSE100（D=89）的最优前沿比较图6 实验1中数据S&P100（D=98）的最优前沿比较

endprint

从表3可以看出对于实验2，5组测试数据，“本文算法获得最优前端”距离“标准最优前端”的平均距离都小于1E-04,也很接近最优前端。与GA、PSO、TS、SA相比，本文算法对第1个评价指标的测试结果明显占优，对其它2个指标也具有一定的优势。由图8-图12可以看出（标准最优前端是在没有对投资数目和投资比例做限制时获得的），本文算法获得的最优前端和标准最优前端也很接近，并且分布也较为均匀。图7 实验1中数据Nikkei（D=225）的最优前沿比较图8 实验2中数据HangSeng（D=31）的最优前沿比较图9 实验2中数据DAX100（D=85）的最优前沿比较图10 实验2中数据FTSE100（D=89）的最优前沿比较图11 实验2中数据S&P100（D=98）的最优前沿比较图12 实验2中数据Nikkei（D=225）的最优前沿比较

四、结论分析本文提出的动态调整策略是为了在全局探索（Exploration）和局部开发(Exploitation)之间实现有效平衡，在迭代初期需要较强的全局扰动能力，此时可以在优化目标向量 xnew上加大扰动力度，增强种群多样性，使其具有较强的全局探索能力。随着优化的进行，到了后期，多数个体可能已经聚集在了全局最优解附近，此时开始加强局部最优解的探索。为了有较高的成功率，对优化目标向量 xnew，选择较少的维数进行优化调整，从而增强算法的求解精度。通过2个实验来看，本文算法对投资组合优化问题的求解是可行有效的。

参考文献：

［1］ T.J. Chang, N. Meade, J.E. Beasley, Y.M. Sharaiha, Heuristics for cardinality constrained portfolio optimization［J］．Computers & Operations Research,2000,27:1271-1302.

［2］ 王贞. 几类投资组合优化模型及其算法［D］．西安：西安电子科技大学,2012.

［3］ Q.K. Pan, P.N. Suganthan, M.F. Tasgetiren, J.J. Liang, A self-adaptive global best harmony search algorithm for continuous optimization problems, Appl.Math. Comput. 2010,No.216:830-848.

［4］ M. Mahdavi, M. Fesanghary, and E. Damangir.An improved harmony search algorithm for solving optimization problems［J］． Appl. Math.Comput., 2007，188（2）：1567-1579.

［5］ Hoang D C, Yadav P, Kumar R, et al. A robust harmony search algorithm based clustering protocol for wireless sensor networks［C］//Communications Workshops (ICC), 2010 IEEE International Conference on. IEEE, 2010: 1-5.

［6］ Jaberipour M, Khorram E. Solving the sum-of-ratios problems by a harmony search algorithm［J］．Journal of computational and applied mathematics, 2010, 234(3): 733-742.

［7］ Poursha M, Khoshnoudian F, Moghadam A S. Harmony search based algorithms for the optimum cost design of reinforced concrete cantilever retaining walls［J］．International Journal of Civil Engineering, 2011, 9(1): 1-8.

［8］ Khazali A H, Kalantar M. Optimal reactive power dispatch based on harmony search algorithm ［J］．International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2011, 33(3): 684-692.

［9］ Khazali A H, Parizad A, Kalantar M. Optimal voltage/reactive control by an improve harmony search algorithm［J］．Int. Rev. Electr. Eng.-I. v5, 2010: 217-224.

［10］Khorram E, Jaberipour M. Harmony search algorithm for solving combined heat and power economic dispatch problems［J］．Energy Conversion and Management, 2011, 52(2): 1550-1554.

A Solution to Portfolio Optimization Problems based on Harmony

Search Algorithm HE Hong1，TUO Shou-heng2

(1. School of History and Tourism, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,China;2. School

of Mathematics and Computer Science, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, China)

Abstract：With the progress of the society, economy has appeared diversified development trends, so it is important to build diversified portfolios. To make investment profit as large as possible, and to make the investment risk as small as possible, we analyze cardinality constrained mean-variance (CCMV) model in detail, and propose an improved harmony search algorithm to solve portfolio optimization problems. Finally, five portfolio problems are used to test the proposed algorithm. The results show that the proposed algorithm has some advantages in precision.

Key words：portfolio optimization; Harmony Search Algorithm; Cardinality Constrained Mean-Variance Model

（责任编辑：关立新）

endprint

从表3可以看出对于实验2，5组测试数据，“本文算法获得最优前端”距离“标准最优前端”的平均距离都小于1E-04,也很接近最优前端。与GA、PSO、TS、SA相比，本文算法对第1个评价指标的测试结果明显占优，对其它2个指标也具有一定的优势。由图8-图12可以看出（标准最优前端是在没有对投资数目和投资比例做限制时获得的），本文算法获得的最优前端和标准最优前端也很接近，并且分布也较为均匀。图7 实验1中数据Nikkei（D=225）的最优前沿比较图8 实验2中数据HangSeng（D=31）的最优前沿比较图9 实验2中数据DAX100（D=85）的最优前沿比较图10 实验2中数据FTSE100（D=89）的最优前沿比较图11 实验2中数据S&P100（D=98）的最优前沿比较图12 实验2中数据Nikkei（D=225）的最优前沿比较

四、结论分析本文提出的动态调整策略是为了在全局探索（Exploration）和局部开发(Exploitation)之间实现有效平衡，在迭代初期需要较强的全局扰动能力，此时可以在优化目标向量 xnew上加大扰动力度，增强种群多样性，使其具有较强的全局探索能力。随着优化的进行，到了后期，多数个体可能已经聚集在了全局最优解附近，此时开始加强局部最优解的探索。为了有较高的成功率，对优化目标向量 xnew，选择较少的维数进行优化调整，从而增强算法的求解精度。通过2个实验来看，本文算法对投资组合优化问题的求解是可行有效的。

参考文献：

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［3］ Q.K. Pan, P.N. Suganthan, M.F. Tasgetiren, J.J. Liang, A self-adaptive global best harmony search algorithm for continuous optimization problems, Appl.Math. Comput. 2010,No.216:830-848.

［4］ M. Mahdavi, M. Fesanghary, and E. Damangir.An improved harmony search algorithm for solving optimization problems［J］． Appl. Math.Comput., 2007，188（2）：1567-1579.

［5］ Hoang D C, Yadav P, Kumar R, et al. A robust harmony search algorithm based clustering protocol for wireless sensor networks［C］//Communications Workshops (ICC), 2010 IEEE International Conference on. IEEE, 2010: 1-5.

［6］ Jaberipour M, Khorram E. Solving the sum-of-ratios problems by a harmony search algorithm［J］．Journal of computational and applied mathematics, 2010, 234(3): 733-742.

［7］ Poursha M, Khoshnoudian F, Moghadam A S. Harmony search based algorithms for the optimum cost design of reinforced concrete cantilever retaining walls［J］．International Journal of Civil Engineering, 2011, 9(1): 1-8.

［8］ Khazali A H, Kalantar M. Optimal reactive power dispatch based on harmony search algorithm ［J］．International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2011, 33(3): 684-692.

［9］ Khazali A H, Parizad A, Kalantar M. Optimal voltage/reactive control by an improve harmony search algorithm［J］．Int. Rev. Electr. Eng.-I. v5, 2010: 217-224.

［10］Khorram E, Jaberipour M. Harmony search algorithm for solving combined heat and power economic dispatch problems［J］．Energy Conversion and Management, 2011, 52(2): 1550-1554.

A Solution to Portfolio Optimization Problems based on Harmony

Search Algorithm HE Hong1，TUO Shou-heng2

(1. School of History and Tourism, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,China;2. School

of Mathematics and Computer Science, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, China)

Abstract：With the progress of the society, economy has appeared diversified development trends, so it is important to build diversified portfolios. To make investment profit as large as possible, and to make the investment risk as small as possible, we analyze cardinality constrained mean-variance (CCMV) model in detail, and propose an improved harmony search algorithm to solve portfolio optimization problems. Finally, five portfolio problems are used to test the proposed algorithm. The results show that the proposed algorithm has some advantages in precision.

Key words：portfolio optimization; Harmony Search Algorithm; Cardinality Constrained Mean-Variance Model

（责任编辑：关立新）

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从表3可以看出对于实验2，5组测试数据，“本文算法获得最优前端”距离“标准最优前端”的平均距离都小于1E-04,也很接近最优前端。与GA、PSO、TS、SA相比，本文算法对第1个评价指标的测试结果明显占优，对其它2个指标也具有一定的优势。由图8-图12可以看出（标准最优前端是在没有对投资数目和投资比例做限制时获得的），本文算法获得的最优前端和标准最优前端也很接近，并且分布也较为均匀。图7 实验1中数据Nikkei（D=225）的最优前沿比较图8 实验2中数据HangSeng（D=31）的最优前沿比较图9 实验2中数据DAX100（D=85）的最优前沿比较图10 实验2中数据FTSE100（D=89）的最优前沿比较图11 实验2中数据S&P100（D=98）的最优前沿比较图12 实验2中数据Nikkei（D=225）的最优前沿比较

四、结论分析本文提出的动态调整策略是为了在全局探索（Exploration）和局部开发(Exploitation)之间实现有效平衡，在迭代初期需要较强的全局扰动能力，此时可以在优化目标向量 xnew上加大扰动力度，增强种群多样性，使其具有较强的全局探索能力。随着优化的进行，到了后期，多数个体可能已经聚集在了全局最优解附近，此时开始加强局部最优解的探索。为了有较高的成功率，对优化目标向量 xnew，选择较少的维数进行优化调整，从而增强算法的求解精度。通过2个实验来看，本文算法对投资组合优化问题的求解是可行有效的。

参考文献：

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［2］ 王贞. 几类投资组合优化模型及其算法［D］．西安：西安电子科技大学,2012.

［3］ Q.K. Pan, P.N. Suganthan, M.F. Tasgetiren, J.J. Liang, A self-adaptive global best harmony search algorithm for continuous optimization problems, Appl.Math. Comput. 2010,No.216:830-848.

［4］ M. Mahdavi, M. Fesanghary, and E. Damangir.An improved harmony search algorithm for solving optimization problems［J］． Appl. Math.Comput., 2007，188（2）：1567-1579.

［5］ Hoang D C, Yadav P, Kumar R, et al. A robust harmony search algorithm based clustering protocol for wireless sensor networks［C］//Communications Workshops (ICC), 2010 IEEE International Conference on. IEEE, 2010: 1-5.

［6］ Jaberipour M, Khorram E. Solving the sum-of-ratios problems by a harmony search algorithm［J］．Journal of computational and applied mathematics, 2010, 234(3): 733-742.

［7］ Poursha M, Khoshnoudian F, Moghadam A S. Harmony search based algorithms for the optimum cost design of reinforced concrete cantilever retaining walls［J］．International Journal of Civil Engineering, 2011, 9(1): 1-8.

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［9］ Khazali A H, Parizad A, Kalantar M. Optimal voltage/reactive control by an improve harmony search algorithm［J］．Int. Rev. Electr. Eng.-I. v5, 2010: 217-224.

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A Solution to Portfolio Optimization Problems based on Harmony

Search Algorithm HE Hong1，TUO Shou-heng2

(1. School of History and Tourism, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000,China;2. School

of Mathematics and Computer Science, Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, China)

Abstract：With the progress of the society, economy has appeared diversified development trends, so it is important to build diversified portfolios. To make investment profit as large as possible, and to make the investment risk as small as possible, we analyze cardinality constrained mean-variance (CCMV) model in detail, and propose an improved harmony search algorithm to solve portfolio optimization problems. Finally, five portfolio problems are used to test the proposed algorithm. The results show that the proposed algorithm has some advantages in precision.

Key words：portfolio optimization; Harmony Search Algorithm; Cardinality Constrained Mean-Variance Model

（责任编辑：关立新）

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