运动边界相似法及船舶结构动力分析应用

刘 峰，庞福振，，韩端锋，缪旭弘

（1.哈尔滨工程大学 船舶工程学院，哈尔滨 150001；2.中国人民解放军92857部队，北京 100007）

结构动力分析领域研究热点多集中于给定激励载荷的结构动力响应预报，较少涉及给定速度、加速度等运动边界条件的结构动力响应分析，尤其结构局部动力特性参数未知时，如何求得结构在给定运动边界条件的动力响应研究较少。船舶结构动力分析中常遇到设备动力参数未知时仅通过测量船舶动力设备机脚或基座振动速度、加速度响应预报结构动力响应；海洋工程结构分析时亦常遇到通过测量平台与立管交界处振动响应分析立管结构动响应、动强度等实际工程问题。

对给定激励力载荷的结构动力响应预报，大多基于模态分析理论、波动理论的理论解析法、有限差分法、有限元法、边界元法、统计能量法等结构动力分析方法［1－8］，基本可满足理论研究及工程需要。在给定运动边界条件的结构动力分析中，一般通过将给定运动边界条件转化为结构激励力载荷，利用解析法、数值计算法等实现结构动力分析。对由设备激励载荷引起的船舶振动预报中通过测量隔振器两端振动加速度、隔振器阻抗等参数建立由设备振动加速度到激励力载荷的转换方法，实现船舶设备在给定运动边界的动力分析［9－10］；但在进行设备振动向设备激励力转换时，除需测量隔振器两端振动加速度外，尚需测量隔振器阻抗［11－15］；仅知设备机脚或基座加速度响应而无隔振器阻抗等测试数据时，则无法实现设备振动响应向激励力的转换。因此，结构局部动力学特性参数未知时，如何获得结构给定运动边界的动力响应仍为结构动力分析难点。

由结构动力学知，结构边界条件可由位移形式给出，也可由力边界形式表达，两者本质上统一；若能利用结构位移边界与力边界的统一性原理，将结构位移边界条件转化为力边界条件，则可有效降低转换成本，避免转化方法导致的人为误差。为此，本文基于结构动力分析原理，以“设备－基座”振动系统为例，验证结构动力分析时力边界与运动边界的统一性；针对结构局部动力参数未知情况，通过保障结构运动边界条件一致，构造结构动力分析的“虚拟力”，提出结构动力分析的运动边界相似法，解决动力参数未知情况下给定运动边界条件的结构动力分析问题，并对其有效性进行验证；将运动边界相似法用于船舶结构水下振动声辐射研究，分析其水下振动声辐射。

1 结构动力分析运动边界相似法

1.1 运动边界与力边界统一性

进行结构动力分析时系统给定的运动边界条件可通过力边界表示；而给定的力边界条件也可由运动边界条件表示，即结构运动边界条件与力边界条件是统一的。该原理不仅对简单结构成立，复杂结构依然成立，为说明其原理的正确性，以二自由度系统振动为例证明如下。

图1 运动边界与力边界模型对比图Fig.1 Comparison models of given movement boundary and given force boundary

对图1“设备－基座”系统，若已知设备me的振动加速度 a1＝x0ω2ej（ωt＋π），则图 1（a）“设备 －基座”系统运动可表示为

式中：x1，x2为设备振动位移；x0为设备振动振幅；ki，ci为设备支撑刚度及阻尼；kb，cb为安装基础支撑刚度及阻尼；mb为安装基础质量。

求解式（1）得系统运动响应为

对图 1（b）“设备 －基座”系统，激励力 F＝F0ejωt作用于设备me时 运动方程可表示为

令式（2）与式（4）相等，得

由式（5）知，要使图1（b）“设备 －基座”系统运动响应与图1（a）一致，只需在图1（b）系统 me上施加激扰力 F＝F0ejωt＝Dx0ejωt／D1即可。可见，运动边界可由相应力边界条件表示。同样，若以振动位移x0为未知量，由式（2）与式（4）相等，得

要使图1（a）“设备－基座”系统运动响应与图1（b）一致，只需使图 1（a）设备 me运动保持为 x1＝D1F0ejωt／D，即力边界可由运动边界条件表示。因此，系统运动边界条件与力边界条件是统一的。

1.2 运动边界相似法

系统动力学特性参数已知时可直接用上节方法将系统运动边界转换成相应的激励力形式，实现结构动力分析；但系统动力参数未知时直接用上节方法确定结构激励力较困难。为此，可构造一相似系统，通过保障相似系统与原系统运动边界条件一致，构造相似系统动力分析所需“虚拟力”，通过对相似系统动力分析，间接获得原系统真实响应。

图2 运动边界相似模型图Fig.2 Model diagram of moving boundary similarity method

为详细说明运动边界相似法原理，仍以“设备－基座”系统为例。对图2“设备－基座”系统，若设备质量me未知，仅知其振动加速度 a1＝x0ω2ej（ωt＋π）时得

则相似系统运动方程可表示为

由此求得图2（b）相似系统响应为

对比式（2）、式（11）、式（12）知，相似系统动力响应与原系统动力响应一致。运动边界相似法可行。

1.3 运动边界相似法基本步骤

由分析知，无论系统参数是否已知，只要给定系统运动边界条件，即可将其转换成相应的力边界条件，从而方便实现系统动力分析。系统参数未知时，完成运动边界向力边界的转化步骤为：① 在结构运动边界处构造大质量刚体m0（可通过在运动边界处布放质量点等方式实现），使 m0me，m0ω2ki＋j ciω；② 由运动边界处振动加速度a及刚体质量m0计算施加于刚体运动边界处的相似力F’＝（m0＋me）a≈ m0a；③ 将运动边界相似力F’≈m0a施加于刚体m0处。即刚体质量m0愈大，计算精度愈高。本方法虽基于运动边界相似原理推导获得，表达形式与大质量法相似，但应用条件更严格，由此亦印证大质量法的正确性及有效性。

图3 舱段结构水下振动噪声模型图Fig.3 Underwater vibration and noise radiation model of a ship cabin

2 运动边界相似法有效性验证

验证模型见图3，船舶舱段为R＝1 500 mm半圆形结构，两端为舱壁，舱壁及壳体厚度t＝10 mm，船体结构内部肋骨间距L＝600 mm，厚 t＝10 mm，高h＝200 mm；舱段对称中心A，B点处受振动加速度激励，分析舱段在此振动激励载荷下半浸于海水中的振动声辐射。设材料杨氏模量E＝2×1011Pa，泊松比μ＝0.3，阻尼 η＝0.05。

便于分析，模型流场按要求［16］选流场半径R＝4.5 m，并在流场外表面布设无限元以提高计算精度；设刚体质量 m0分别为 100 kg，1 ton，10 ton，100 ton时计算舱段结构水下振动及声辐射响应，并与原模型进行对比。相似模型与原模型对比结果见图4～图6。图4中振动响应考核点见图3（a）。图5中5＃声压考核点位于模型对称中心处，R＝100 m处远场声压考核点位于5＃声压考核点正下方。由图4～图6看出，刚体质量m0＜104kg时，采用运动边界相似法所得舱段结构水下振动及声辐射与原模型存在较大误差，且m0愈小差异愈大；而刚体质量m0≥104kg时，用运动边界相似法所得舱段结构振动与原模型吻合较好，且m0愈大特性吻合度越高；一般船舶结构振动噪声分析时刚体质量足够大（m0≥108kg）则可满足精度要求。故已知设备下方基座面板振动加速度时可用运动边界相似法将测量所得振动加速度转化为相似模型的激励力载荷，从而间接实现结构水下振动噪声分析。因此，运动边界相似法在工程分析中可行。

图4 不同刚体质量的舱段典型部位振动加速度对比曲线Fig.4 Vibration acceleration curve of ship cabin with variant rigid body mass

图5 不同刚体质量时舱段水下辐射噪声对比曲线Fig.5 SPL of ship cabin with variant rigid body mass

图6 不同刚体质量时舱段结构水下振动及声辐射对比Fig.6 Underwater vibration and sound radiation of ship cabin with variant rigid body mass

3 运动边界相似法在船舶结构水下声辐射研究中应用

3.1 船舶结构振动噪声预报模型简介

某水面船舶齿轮箱基座位于船舶对称中心近艉部1／4L处，分析船舶在齿轮箱振动加速度激励载荷下水下振动及声辐射。已知该船齿轮箱基座处振动加速度线谱载荷为1 m／s2，载荷作用频段20～400 Hz；船长62 m，宽7.5 m，吃水2.5 m，排水量675 ton，结构损耗因子暂定η＝0.025，结构有限元模型见图7。

考虑船舶激励载荷为齿轮箱基座振动加速度，故用运动边界相似法分析船舶结构水下振动及声辐射。为保障分析精度，附加刚体质量m0＝108kg，流场域按要求［16－17］在用 R1＝10 m，R2＝25 m内、外流场等方式进行划分，并在外流场域外表面施加无反射边界条件，并在船体与流场交界面、内外流场交界面处沿船长方向均布设声压考核点。

图7 船舶结构水下振动噪声预报模型Fig.7 Underwater vibration and sound radiation model of a ship

图8 船体正下方R＝10 m处流场考核点声压沿船长分布Fig.8 SPL of ship versus ship length at distance of R＝10m from ship hull

3.2 船舶结构水下声辐射特性分析

船舶结构水下振动声辐射涉及固、液、声、气等多种耦合作用，在齿轮箱振动激励载荷下水下辐射噪声分布异常复杂。

3.2.1 船舶水下辐射噪声沿船长分布

图8为距船中R＝10 m处流场正下方考核点声压沿船长分布，图中横坐标x／L为无量纲船长，x为以船首为原点、船尾方向为正方向的船长坐标，L为船长；纵坐标为无量纲声压级Lp，定义为

式中：p为声压幅值或实部声压绝对值；p0＝1μPa为声压基准值；a0为常数。

由图8看出，船舶水下声辐射主要集中于齿轮箱基座（激励源）所在中尾部区域（3／4L处），且无论激励频率如何变化，齿轮箱基座舱室水下声辐射明显高于其它区域，尾部区域水下声辐射相对较大，船首区域水下声辐射相对较小；随激励频率的提高船舶水下辐射噪声逐渐减小，声辐射逐渐下降；主要由于本次输入载荷为齿轮箱基座恒定振动加速度，而激励频率升高时振动速度随激励频率降低，故低频辐射噪声较大，高频辐射噪声较低。对比图8流场域辐射声压沿船长分布曲线发现，激励频率较低时水面船舶水下辐射噪声沿船长分布较均匀，但随激励频率的提高水下辐射噪声不均匀性增大；频率不同水面船舶水下声辐射亮点位置亦改变。主要由于声波波长随频率变化所致，激励频率较低时，船体弯曲波及水中声波波长较大，故沿船长分布较均匀；但随频率的提高产生的辐射噪声声波较短，出现周期性峰波交替过程，故沿船长分布不均匀性较差。

3.2.2 船舶水下辐射噪声沿水平、吃水方向分布

图9为船舶水下辐射噪声沿水平及吃水方向分布，图10为x／L＝3／4剖面、R＝10 m处水下噪声沿船舶周向分布。由图9（a）看出，低频段（f＜100 Hz），船舶水下声辐射主要表现为船舶整体振动声辐射，水下声辐射沿船长分布相对均匀，但激励源及船舶尾部结构声辐射仍较显著；且水下声场沿船中对称轴线出现典型“蝶形”分布，由于船舶结构的不对称性，其声场在水平方向分布略显不对称。频率较高（f＞200 Hz）时，船舶水下声辐射不均匀性逐渐显现，水下声场在水平方向出现明显指向性，水下声辐射点源特性进一步显现，水下声辐射逐渐遵循球面衰减规律。激励频率提高（f＞300 Hz）时，水中声波波长减小，水面船舶水下声辐射不均匀性进一步加强，水下声辐射逐渐出现类似射线传播，声射线主要源于齿轮箱基座舱室周围区域。由图9（b）、图10看出，船舶水下声辐射沿横剖面分布呈对称分布，但由于船舶结构局部不对称性，水面船舶结构水下辐射声场呈一定不对称性：激励频率较低时水面船舶水下声场在横剖面处呈对称或“蝶形”分布于船体正下方及两侧；但激励频率较高（f＞200 Hz）时，声场分布对称性逐渐变差，声辐射主要集中于齿轮箱基座正下方区域；激励频率进一步提高（f＞300 Hz）时指向性更明显。

图9 船舶水下声辐射沿水平及吃水方向分布Fig.9 Sound radiation of ship along length and draft direction

图10 x／L＝3／4截面、R＝10 m流场处声压幅值周向分布曲线Fig.10 SPL of ship at cross section x／L＝3／4 at distance of R＝10 m from ship hull

综上分析知，船舶结构水下振动声辐射与激励作用位置、激励频率等因素密切相关。船舶结构水下辐射噪声主要集中于激励源附近的船舶中尾部区域，尾部次之，首部最小；低频段船舶水下声辐射沿船长分布较均匀，但随激励频率的提高水下辐射声场不均匀性逐渐增大，指向性更明显。

4 结 论

基于结构动力原理，以“设备－基座”振动系统为例，通过对某船舱段水下振动声辐射特性研究，结论如下：

（1）用本文所提运动边界相似法进行结构动力分析可行，即可通过保障结构运动边界条件一致，构造结构动力分析“虚拟力”，间接实现结构动力响应分析。

（2）用边界运动相似法进行结构动力分析需按要求进行。刚体质量愈大，计算精度愈高；不满足运动边界相似法条件要求时会致误差较大。

（3）本文方法虽基于运动边界相似原理推导得出，表达形式与大质量法相似，但应用条件更严格。该运动边界相似法多适用于板壳等组成结构；对厚壳、实体等结构而言，因其边界条件处振动位移、速度、加速度等不易有效获取，因而不适用。

（4）船舶结构水下振动声辐射与激励频率、激励作用位置等因素密切相关。近激励源处（中尾部）水下辐射噪声最大，船体尾部次之，船首最小。低频段时船舶水下声辐射沿船长分布较均匀，激励频率提高，水下辐射声场不均匀性会增大，指向性更明显。

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