高速电主轴轴向振动研究

陈小安，张 朋，合 烨，刘俊峰

（重庆大学 机械传动国家重点实验室，重庆 400044）

高速电主轴为集原动机－传动装置－执行机构－控制系统于一身、实现“近零传动”的机电耦合系统，已成为高端数控机床的核心功能部件［1－2］。高速电主轴可靠的动力学行为是保证高品质加工的重要因素。Wang等［3－4］以轴承静力学模型为基础分析高速电主轴径向振动固有特性，研究高转速对转子一阶径向振动固有频率影响。Jorgensen等［5－6］据影响系数法建立电主轴转子动力学模型，讨论不同工况下转子径向振动响应。Li等［7－8］建立热 －机耦合电主轴动力学模型，分析机－电－热耦合作用下转子动态特性。Jiang等［9］建立转子动力学模型，探讨转子几何因素对径向振动特性影响。

虽对高速电主轴动力学行为讨论已较深入，但大多研究转子径向振动，忽略轴向振动。加工制造过程中尤其精密、超精密加工，电主轴用于立式加工场合增多，对转子轴向振动特性要求更高，见图1。

本文针对高速电主轴转子轴向振动问题，在考虑热态特性及电磁作用基础上，用有限元法建立轴承－转子动力学模型；据动力学模型计算转子系统固有模态，发现一阶固有振型为转子轴向刚体振动，其固有频率远低于一阶径向振动，固有频率计算结果较实验结果误差小；据线性二次型最优控制理论建立闭环系统动力学模型表明，闭环系统对轴向振动抑制效果显著。

图1 高速电主轴轴向加工Fig.1 Axial machining of highspeed motorized spindles

1 动力学模型

高速电主轴动力学行为受轴承动态支承、热态、电机电磁及转子动态等特性联合作用影响［7－8］。

1.1 轴承模型

高速运行的角接触球轴承在轴向载荷Fa、径向载荷Fr及弯矩载荷M的联合作用下，内外圈会发生相对轴向位移δa、径向位移δr及角位移θ，计入内外圈热膨胀位移εit，εet，得角接触球轴承内部几何约束关系见图2。图中，E，E’，m，m’分别为轴承运行前后钢球球心及内沟曲率中心；n为外沟曲率中心；任意钢球位置Ψj处内沟曲率中心坐标为 Axj，Azj；Vxj，Vzj为钢球球心位置参数；α为原始接触角；αij，αej分别为轴承运行时内外接触角。

图2 轴承内部几何关系Fig.2 Geometrical relationship inside the bearing

据套圈控制理论及赫兹接触理论［3］，联立钢球平衡方程与内圈平衡方程可得轴承拟静力平衡方程［10］为

式中：Fb为内圈载荷向量；Kb为动态支承刚度矩阵，包括轴向、径向及角刚度阵；δb为轴承内圈位移向量。

1.2 转子－轴承动力学模型

应用 Timoshenko梁理论［11］，考虑转子轴向、径向及角摆动振动，且耦合入轴承动态支承刚度，以离心力、电磁不平衡拉力［12－13］为外载荷的高速电主轴转子动力学方程为

式中：Ms，Cs，Ks分别为转子质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵；X为节点位移向量；FC，FM分别为离心力载荷向量及电磁不平衡拉力载荷向量。

2 计算、实验结果及分析

本文以2GDZ15型高速电主轴为分析对象，对轴承动态支撑刚度、转子固有模态及响应进行计算及实验研究。

2.1 轴承动态支承刚度

2GDZ15型高速电主轴前后轴承型号为B7011CD／P4A及B7009CD／P4A，定位预紧。其轴向、径向及角刚度见图3。由图3看出，转速升高，钢球离心力增大，与外圈接触力增大，接触刚度增大，轴承轴向刚度、径向刚度及角刚度均随转速升高而增大。

图3 轴承刚度Fig.3 Bearings stiffness

2.2 转子有限元模型

2GDZ15型高速电主轴转子系统有限元模型见图4。简化转子的细小结构，将其划分为16个单元，17个节点；轴上附加转动零件等效简化成套环；轴承支撑位于三角形处。

图4 转子有限元模型Fig.4 The finite element model of the rotor

2.3 转子模态计算结果及分析

用子空间迭代法［3］求解有限元模型动力学方程，获得一阶轴向、径向振型见图5、图6。由两图看出，转子一阶轴向振型为刚体振动；一阶径向振型为中部振动，最大振动幅值出现在尾端。

求解四种转速下有限元模型，其轴向、径向一阶固有频率计算结果见表1。由表1看出，高速电主轴轴向振动一阶固有频率低于径向振动；随转速升高，轴向、径向振动一阶固有频率增大，此因轴承轴向、径向刚度随转速升高而增大。

图5 转子一阶轴向振型Fig.5 The first axial vibration mode of rotor

图6 转子一阶径向振型Fig.6 The first radial vibration mode of rotor

表1 转子一阶固有频率Tab.1 The first normal frequencies of the rotor

2.4 转子振动实验结果及分析

实验装置由2ZDG15型高速电主轴、WD501型电涡流式位移传感器及前置器、B＆K2692－014电荷放大器、SC305－UTP型数据采集分析仪及信号处理分析软件组成。电主轴运行稳定后用电涡流位移传感器测量电主轴转子前端轴向、径向振动位移，流程见图7。

图7 振动测试分析流程图Fig.7 The flow chart of vibration testing and analysis

四种转速下转子轴向振动位移信号频谱见图8。由图8看出，一阶固有频率处均出现振动峰值，转速升高振幅有所增加，与计算结果相符；一、二倍转频处出现较小振动峰值，其原因为离心力载荷及电磁不平衡拉力载荷频率分别为一、二倍转频［12－13］，转子运行时轴心线与定子轴心线摆动偏移造成两种载荷在转子轴向产生微小分量，而对轴向振动影响作用不大。

图8 轴向振动信号频谱图Fig.8 The spectrum curve of axial vibration signal

四种转速下，转子径向振动固有频率分别为1 617 Hz、1 620 Hz、1 625 Hz、1 633 Hz，随转速升高态势与轴承径向刚度随转速升高相同，不再赘述。

表2 转子一阶固有频率误差Tab.2 The errors of the first normal frequencies of rotor

一阶固有频率计算结果与实验结果误差见表2。

3 轴向振动主动抑制分析

3.1 理论分析

高速电主轴轴向振动会对立式加工件品质产生不利影响，需对转子轴向振动进行主动抑制。其闭环系统见图9。用位移传感器测量转子轴向振动位移、速度（位移信号一阶微分）作为反馈信号；用DSP技术设计控制器（主要设计反馈增益矩阵G），完成预定控制目标；由于电磁非接触加载装置响应频率高，加载载荷可控，操作方便，故可通过设计电磁非接触加载装置对转子进行轴向加载，形成闭环控制系统，完成高速电主轴轴向振动主动抑制。

图9 轴向振动主动抑制系统Fig.9 The active inhibition system for axial vibration

由于只进行转子轴向刚体振动的主动抑制，故有限元动力学方程只保留轴向振动自由度，其矩阵或向量均加下标a表示；理论上离心力及电磁不平衡拉力只存在于径向，方程中不含此项，只有轴向外载荷F及控制力Fa。闭环转子系统有限元动力学方程为

取归一化振型向量，将动力学方程转换到模态坐标q下，即

式中：ζ为轴向振动阻尼比；ω为轴向固有角频率。

模态坐标下转子轴向刚体动力学方程为

系统状态方程形式为

系统输出方程为

用线性二次型最优控制理论［14］，其性能泛函为

式中：CD为反馈阻尼；KD为反馈刚度。代入物理坐标下动力学方程得

很明显，闭环转子系统轴向阻尼、刚度大于开环系统。固有频率升高，振动阻尼增大，有外界扰动时其轴向振幅会迅速衰减。

3.2 实例计算

无轴向载荷2GDZ15型高速电主轴运行于12 000 r／min时开、闭环系统在单位脉冲力作用下的动力学响应见图10。由图10看出，闭环系统轴向振幅迅速衰减，已发挥主动抑制作用。增益矩阵第一元素对应反馈阻尼值，随其增大轴向振动响应衰减速度增快；增益矩阵第二元素对应反馈刚度值，其较开环系统刚度值小，故随其增大轴向振动频率变化不大。

轴向载荷F＝25sin（1 000 t）N作用下2GDZ15型高速电主轴运行于12000 r／min时开、闭环系统响应见图11。由图11看出，闭环系统轴向振动瞬态幅值迅速衰减，此为反馈阻尼作用。随反馈阻尼增加瞬态幅值衰减速度增快；稳态幅值减小为因反馈刚度增大，与开环系统轴向振幅相比，闭环系统抑制效率分别为9.56%、21.84%、31.06%。

图10 单位脉冲力作用下轴向振动幅值响应Fig.10 The axial vibration displacement response caused by unitpulse force

4 结 论

（1）用于立式加工的高速电主轴其轴向振动大小对加工质量影响较大，对高速电主轴进行动力学分析时不能限于径向振动，亦需考虑轴向振动。

（2）经理论、实验研究，高速电主轴轴向振动一阶固有频率为刚体振动远低于一阶径向振动，更易产生共振，且离心力及电磁不平衡拉力对其均有影响，故高品质电主轴制造须进行严格的动平衡，或设计在线动平衡调节装置［15］，以保证电主轴转子振幅值在允许范围内。

图11 连续载荷作用下轴向振动幅值响应Fig.11 The axial vibration displacement response caused by continuous load

（3）因轴承刚度在热诱导力影响下预紧状态产生较大变化，其动态支撑刚度亦随之变化，故高速电主轴一阶轴向、径向振动固有频率随转速升高均有升高趋势。

（4）本文通过对高速电主轴轴向振动的主动抑制理论研究及实例计算表明，闭环系统受外界突发干扰时轴向振幅值迅速衰减，在连续载荷作用下其稳态振幅值有明显抑制作用。可为高品质电主轴设计开发提供理论支撑。

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