一道图形填数题的解法及拓展

2014-09-16 21:08赵银梅杜客君
中学数学杂志(初中版) 2014年4期
关键词:圈内数学考试骨干教师

赵银梅+杜客君

题目把数字1,2,3,…,9分别填入图1的9个圈内,要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和等于18.

(1)给出符合要求的填法;

(2)共有多少种不同填法?证明你的结论.

分析此题的一般性解法是设九个未知数,列6个方程,解决难度大.另一种常用方法就是采用试一试,运气成分很大.这种类型题的解法一般应考虑最大的数或最小的数的摆放位置,问题便迎刃而解.

解(1)设用A,B,C,D,E,F,G,H,M分别代表这九个圈.

数字“1”不能填在A,B,C,D,E,F这六个圈内.由题意可知,三数之和等于18,1只能与8,9组合.因为“1”无论填在这6个圈中的哪一个圈内,数字8,9都会重复,所以“1”只能填在G,H或M中.

不妨把“1”放在G中,则E与D这两个圈中分别只能放8与9,不妨把9放到E中,则A与B分别只能放2,7或3,6或4,5.放2,7或3,6均矛盾,故只能放4,5.当A中放5时,因为D中放的8,所以C中放5,不合题意,故A中只能放4,则B中放5.根据同一边上三个圈内之数的和等于18,便可以推出C中填6,F中填7,H中填2,M中填3.结果见图2.

(2)因“1”可分别放入G,H或M中,由对称性可知,每一种放法都有两种不同的填法,3×2=6(种),所以一共有6种不同填法.

图1图2拓展把数字1,2,3,…,9分别填入图1的9个圈内,要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和相等,则这个和的最大值是多少?最小值是多少?

解把填入A,B,C三圈中的三个数之和记为x;D,E,F三圈中的三个数之和记为y;G,H,M三圈中的三个数之和记为z;同一边上三个圈中的三个数之和记为a.则有:

x+y+z=45,

z+3y+2x=6a,

2x+y=3a,解得:x=15,

y=3a-30,

z=60-3a.

又因为1+2+3≤y≤7+8+9,

1+2+3≤z≤7+8+9,

所以6≤3a-30≤24,

6≤60-3a≤24,解得:12≤a≤18

当a=12时,因为1+2+9=12,所以9只能放到G,H或M中.其中的一种填法如图3所示:

所以和的最大值是18,最小值是12.

图3图4现留给读者三个问题,请思考:

问题1:当a=13,14,15,16,17时,能把1,2,3,…,9,这9个数按上述要求填入图1中吗?

问题2:把数字1,2,3,…,9分别填入图1的9个圈内,要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和相等,一共有多少种不同的填法?

问题3:把数字1,2,3,…,15分别填入图4的15个圈内,要求△ABC和△DEF的每条边上四个圈内数字之和相等,一共有多少种不同的填法?

作者简介赵银梅,女,巴中市第四批中青年数学骨干教师,多次荣获县、市数学赛课一等奖.对新课改教学,数学考试命题,数学解题方法探究等有一定研究,发表论文多篇.endprint

题目把数字1,2,3,…,9分别填入图1的9个圈内,要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和等于18.

(1)给出符合要求的填法;

(2)共有多少种不同填法?证明你的结论.

分析此题的一般性解法是设九个未知数,列6个方程,解决难度大.另一种常用方法就是采用试一试,运气成分很大.这种类型题的解法一般应考虑最大的数或最小的数的摆放位置,问题便迎刃而解.

解(1)设用A,B,C,D,E,F,G,H,M分别代表这九个圈.

数字“1”不能填在A,B,C,D,E,F这六个圈内.由题意可知,三数之和等于18,1只能与8,9组合.因为“1”无论填在这6个圈中的哪一个圈内,数字8,9都会重复,所以“1”只能填在G,H或M中.

不妨把“1”放在G中,则E与D这两个圈中分别只能放8与9,不妨把9放到E中,则A与B分别只能放2,7或3,6或4,5.放2,7或3,6均矛盾,故只能放4,5.当A中放5时,因为D中放的8,所以C中放5,不合题意,故A中只能放4,则B中放5.根据同一边上三个圈内之数的和等于18,便可以推出C中填6,F中填7,H中填2,M中填3.结果见图2.

(2)因“1”可分别放入G,H或M中,由对称性可知,每一种放法都有两种不同的填法,3×2=6(种),所以一共有6种不同填法.

图1图2拓展把数字1,2,3,…,9分别填入图1的9个圈内,要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和相等,则这个和的最大值是多少?最小值是多少?

解把填入A,B,C三圈中的三个数之和记为x;D,E,F三圈中的三个数之和记为y;G,H,M三圈中的三个数之和记为z;同一边上三个圈中的三个数之和记为a.则有:

x+y+z=45,

z+3y+2x=6a,

2x+y=3a,解得:x=15,

y=3a-30,

z=60-3a.

又因为1+2+3≤y≤7+8+9,

1+2+3≤z≤7+8+9,

所以6≤3a-30≤24,

6≤60-3a≤24,解得:12≤a≤18

当a=12时,因为1+2+9=12,所以9只能放到G,H或M中.其中的一种填法如图3所示:

所以和的最大值是18,最小值是12.

图3图4现留给读者三个问题,请思考:

问题1:当a=13,14,15,16,17时,能把1,2,3,…,9,这9个数按上述要求填入图1中吗?

问题2:把数字1,2,3,…,9分别填入图1的9个圈内,要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和相等,一共有多少种不同的填法?

问题3:把数字1,2,3,…,15分别填入图4的15个圈内,要求△ABC和△DEF的每条边上四个圈内数字之和相等,一共有多少种不同的填法?

作者简介赵银梅,女,巴中市第四批中青年数学骨干教师,多次荣获县、市数学赛课一等奖.对新课改教学,数学考试命题,数学解题方法探究等有一定研究,发表论文多篇.endprint

题目把数字1,2,3,…,9分别填入图1的9个圈内,要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和等于18.

(1)给出符合要求的填法;

(2)共有多少种不同填法?证明你的结论.

分析此题的一般性解法是设九个未知数,列6个方程,解决难度大.另一种常用方法就是采用试一试,运气成分很大.这种类型题的解法一般应考虑最大的数或最小的数的摆放位置,问题便迎刃而解.

解(1)设用A,B,C,D,E,F,G,H,M分别代表这九个圈.

数字“1”不能填在A,B,C,D,E,F这六个圈内.由题意可知,三数之和等于18,1只能与8,9组合.因为“1”无论填在这6个圈中的哪一个圈内,数字8,9都会重复,所以“1”只能填在G,H或M中.

不妨把“1”放在G中,则E与D这两个圈中分别只能放8与9,不妨把9放到E中,则A与B分别只能放2,7或3,6或4,5.放2,7或3,6均矛盾,故只能放4,5.当A中放5时,因为D中放的8,所以C中放5,不合题意,故A中只能放4,则B中放5.根据同一边上三个圈内之数的和等于18,便可以推出C中填6,F中填7,H中填2,M中填3.结果见图2.

(2)因“1”可分别放入G,H或M中,由对称性可知,每一种放法都有两种不同的填法,3×2=6(种),所以一共有6种不同填法.

图1图2拓展把数字1,2,3,…,9分别填入图1的9个圈内,要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和相等,则这个和的最大值是多少?最小值是多少?

解把填入A,B,C三圈中的三个数之和记为x;D,E,F三圈中的三个数之和记为y;G,H,M三圈中的三个数之和记为z;同一边上三个圈中的三个数之和记为a.则有:

x+y+z=45,

z+3y+2x=6a,

2x+y=3a,解得:x=15,

y=3a-30,

z=60-3a.

又因为1+2+3≤y≤7+8+9,

1+2+3≤z≤7+8+9,

所以6≤3a-30≤24,

6≤60-3a≤24,解得:12≤a≤18

当a=12时,因为1+2+9=12,所以9只能放到G,H或M中.其中的一种填法如图3所示:

所以和的最大值是18,最小值是12.

图3图4现留给读者三个问题,请思考:

问题1:当a=13,14,15,16,17时,能把1,2,3,…,9,这9个数按上述要求填入图1中吗?

问题2:把数字1,2,3,…,9分别填入图1的9个圈内,要求△ABC和△DEF的每条边上三个圈内数字之和相等,一共有多少种不同的填法?

问题3:把数字1,2,3,…,15分别填入图4的15个圈内,要求△ABC和△DEF的每条边上四个圈内数字之和相等,一共有多少种不同的填法?

作者简介赵银梅,女,巴中市第四批中青年数学骨干教师,多次荣获县、市数学赛课一等奖.对新课改教学,数学考试命题,数学解题方法探究等有一定研究,发表论文多篇.endprint

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