一种基于循环自适应波束成形的稳健的DOA递推估计算法

赵璧原, 戴旭初

(中国科学技术大学电子工程与信息科学系 合肥 230027)

一种基于循环自适应波束成形的稳健的DOA递推估计算法

赵璧原, 戴旭初

(中国科学技术大学电子工程与信息科学系 合肥 230027)

基于循环自适应波束成形算法和循环频率的递推估计算法，提出一种稳健的DOA估计的递推算法。算法的主要特点是在循环频率存在偏差和时变的情况下，能够对静止辐射源或运动辐射源的DOA进行实时的估计和可靠的跟踪。仿真实验表明，所提算法性能稳定，较现有的一些算法(如循环MUSIC算法、平均循环相关矩阵算法等)具有更好的估计和跟踪性能。

DOA估计和跟踪； 循环平稳信号； 循环频率偏差； 运动辐射源

引 言

利用信号的循环平稳特性进行波达方向DOA(Direction of Arriving)估计，充分利用了循环平稳统计量对干扰和噪声的抑制作用，因此这类方法不仅具有良好的信号选择性，而且能够取得比常规DOA估计方法更优异的性能[1]。

Agee等在1990年提出了一种利用信号循环平稳特性的自适应波束成形方法——SCORE算法[2]。SCORE算法不需要参考信号以及感兴趣信号的DOA，只需要知道感兴趣信号的循环频率，是一种盲波束成形算法。Wu Q等在1996年提出了循环自适应波束成形CAB(Cyclic Adaptive Beamforming)方法[3]，而由CAB方法求得的波束成形矢量，具有正比于信号导向矢量的性质。Lee J H等在2010年提出了一种稳健的自适应波束成形算法[4]——CFE-SCORE算法，该算法考虑了循环频率存在偏差的情况，对SCORE算法进行改进，并利用递推计算自适应地估计和纠正循环频率偏差CFE(Cycle Frequency Error)，然而CFESCORE算法获得的波束成形矢量不具有正比于导向矢量的性质。

在实际应用环境中，辐射源的位置可能是变化的，这使得信号到达接收阵列的DOA是时变的，如果采用传统的批处理方法对DOA进行估计，不仅会导致较大的估计偏差，同时也难以对其进行实时的估计和跟踪[5]。现有的一些DOA跟踪算法大多基于子空间跟踪算法，没有利用到信号的循环平稳特性，估计性能受噪声和干扰的影响较大[5，6]。另外，由于辐射源的运动等因素的影响，信号的实际循环频率可能是变化的，这使得在阵列的接收端难以精确地已知信号的循环频率，此时如果利用信号的循环平稳性进行DOA估计和跟踪，则可能因为循环频率的偏差导致性能的退化[4]。因此，在循环频率有偏差或时变条件下，研究基于循环平稳性的DOA估计和跟踪方法及实现算法，具有重要的意义。

本文在分析CAB与CFE-SCORE算法特点和相互关系的基础上，通过有机地融合两者的优势，提出了一种稳健的DOA递推估计算法，其能够在循环频率存在偏差或时变的情况下，对静止辐射源或运动辐射源的DOA进行实时估计和有效跟踪。

1 信号模型与问题描述

1.1 循环平稳信号及其特性

标量信号s(k)的循环自相关及共轭循环自相关函数分别定义为[2]

其中，＜·＞∞表示在无穷的时间长度上取平均，∗表示取共轭。如果存在延时τ及非零参数α，使得rαss(τ)或rαss∗(τ)不为零，那么称s(k)具有循环平稳性或共轭循环平稳性，其循环频率为α。

类似地，矢量信号x(k)的循环自相关及共轭循环自相关矩阵分别定义为

在实际应用中，通常取τ=0；当x(k)具有循环平稳性时，令u(k)=x(k)ej2παk，而当x(k)具有共轭循环平稳性时，令 u(k)=x∗(k)ej2παk，则式(3)和式(4)可以统一表示为

由于循环平稳和共轭循环平稳信号定义的类似性，为了便于描述，本文只考虑信号具有循环平稳性的情况，但是其方法和结果同样适用于共轭循环平稳的信号。

1.2 天线阵列的接收信号模型

考虑一个均匀线性天线阵列，其阵元数目为M个，相邻阵元的间距为d，不失一般性，选第1个阵元为参考点，则第i个阵元到第1个阵元的距离为di=(i－1)d，i=2，3，…，M。

天线阵列接收到的M×1维数据矢量x(k)可以表示为

其中，ap为第p个远场窄带信号sp(k)的导向矢量，即

up=cosφp为第p个信号sp(k)的方向余弦，φp为来波方向(DOA)与阵列方向的夹角，λ为波长；i(k)为平稳的干扰信号矢量，n(k)为平稳的噪声矢量。

另外，在式(8)表示的信号模型中，假设P个信号均为循环平稳信号，第p个信号sp(k)的循环频率记为αp，信号与干扰之间、信号与噪声之间互不循环相关[3，4，7]。由于不同信号的载波频率和符号率存在差异，通常情况下其循环频率各不相同，故不同的信号之间互不循环相关[3]。

根据式(1)～式(5)和式(8)，以及信号模型的假设，有

1.3 问题描述

不失一般性，假设我们感兴趣的信号为sp(k)。盲波束成形的思想是在φp未知以及没有sp(k)的训练序列的条件下，仅利用sp(k)的统计特性来设计一个加权矢量w∈CM×1，使得y(k)=wHx(k)是sp(k)的估计(k)；或者说，设计一个波束成形矢量w∈CM×1，尽可能抑制x(k)中的噪声、干扰以及我们不感兴趣的信号sq(k)(q≠p)，从而获得感兴趣的信号sp(k)。

进一步地，如果w∝ap，则我们能够利用w获得ap的估计。由式(9)可知，ap是φp的函数，故可以通过求解一个简单的优化问题得到φp的估计，即

本文将在现有研究的基础上，利用信号的循环平稳特性，在循环频率αp有误差和φp慢时变的条件下，提出一种改进的递推算法对波束成形矢量w进行实时的递推估计，进而实现对时变φp的实时估计和跟踪。

2 现有算法回顾

2.1 SCORE算法

定义一个参考信号z(k)=cHu(k)，c为控制矢量。SCORE算法[2]利用感兴趣信号sp(k)的循环平稳性来寻找波束成形矢量ws，使得(k)=y(k)=wHsx(k)是sp(k)的估计。求解ws的优化目标函数为

对式(12)求解后可以得到

2.2 CAB算法

与SCORE算法不同，CAB算法[3]寻找波束成形矢量wc的基本思想是使y(k)=wHcx(k)与z(k)=cHcu(k)的相关性最大，其wc是通过求解式(15)的约束最优化问题来获得的，即

利用拉格朗日数乘法求解式(15)，可得到

2.3 CFE-SCORE算法

由上文的讨论可知，SCORE、CAB等基于循环平稳的波束成形类算法需要已知感兴趣信号的循环频率αp这一先验信息。但是，当给定的循环频率αp存在较小偏差时，算法性能将严重退化[4]。在实际应用中，很难保证预先已知的循环频率与实际值精确相同，因此，设计一种对循环频率误差进行补偿或校正的算法尤为重要。文献[4]在SCORE算法的基础上，增加了循环频率误差估计和校正的环节，给出了CFESCORE算法，其在循环频率存在偏差的情况下，仍然可以获得稳健的性能。

3 基于CAB算法的DOA递推估计方法

由于CFE-SCORE算法是基于SCORE算法来设计的，虽然其具有对循环频率误差进行估计和校正的能力，但是所获得的波束成形矢量(n)不具备正比于导向矢量ap的性质，因此无法直接应用于实时的DOA估计和跟踪。另外，由式(17)可知，CAB算法获得波束成形矢量wc正比于ap，可直接用于对DOA的实时估计，但是CAB算法本身不具有对循环频率进行估计和校正的能力。

仔细观察式(14)和式(17)可知，ws与wc之间有如下关系

基于这一观察，给出一种将CAB算法和CFE-SCORE算法中的循环频率估计算法融合起来的方法，并提出一种基于CAB算法的DOA递推估计方法，该方法包括三个算法模块，即循环频率αp的递推估计模块、基于CAB的波束成形矢量wc的递推估计模块以及φp的递推估计模块。

3.1 循环频率αp的递推估计

③循环频率αp的递推估计

3.2 波束成形矢量wc的递推估计

其中0＜β2＜1为遗忘因子。应该注意到，式(28)右端的更新项(即右端的第二项)，利用了与时刻n最近的L个数据样本点，这主要是为了增强递推估计过程的稳健性[4]。

3.3 φp的递推估计

在式(31)中，t为迭代的次数，t=1，2，…；μ2为一个小的正数，选择适当μ2，可保证式(31)迭代过程收敛，其收敛值即为φp(n)的估计p(n)。

3.4 φp的递推估计算法总结

递推计算:对于n=L，L＋1，…，按照下列步骤进行递推计算

4 仿真实验

为了验证本文提出的DOA递推估计算法的有效性，我们做了大量的仿真实验。在仿真实验中，为了便于性能比较，我们采用与文献[3]和[7]相同的仿真条件和参数设置，即:采用10阵元均匀线阵，阵元间距与波长关系满足d=λ/2；P=2，s1(k)和s2(k)均为BPSK信号，且互不相关，感兴趣的信号为s1(k)；噪声为高斯白噪声；L=100，q=1.9，控制矢量 c=[1，0，… ，0]T。

实验一:阵列输出信干噪比以及算法的收敛情况

阵列输出信干噪比(SINR)的定义为[8]

其中R1=σ2s1a1a1H，σ2s1为信号s1(k)的功率。

在该仿真实验中，s1(k) 和 s2(k) 的符号率均设为0.5，α1=2，α2=3.7，φ1=65°，φ2=30°，采样率为Fs=16；β1=β2=1/40；＾α01=2.01；s1(k)的功率与噪声功率比(信噪比SNR)为10dB，s1(k)与s2(k)的功率比(信干比SIR)为4dB；独立进行100次仿真实验，并对这100次的实验结果进行平均。

图1给出了CAB算法[3]与本文算法的SINR随x(k)长度的变化情况。从图1中可以看出:①CAB算法没有进行循环频率偏差的校正，其输出SINR会随着数据长度k的增加呈现出周期性的变化，而本文算法在经过最初的振荡后，能够提供稳定的输出SINR；②本文提出的递推估计算法在k大于2000时收敛，且收敛后的性能稳定。

图1 输出信干噪比与数据长度k的关系

图2 DOA估计性能与信噪比的关系

实验二:DOA估计性能与信噪比的关系

信噪比从－5dB变化到30dB，每隔5dB进行一组实验，每组独立重复100次；其它的实验条件和仿真参数设置同实验一。本文算法、常规Cyclic-MUSIC算法[9]、平均循环相关矩阵(ACCM)算法[7]对感兴趣信号的DOA进行估计的性能比较如图2所示。从仿真结果可以看出，本文算法能够在一定程度上消除循环频率偏差对DOA估计带来的影响，并且估计性能明显优于Cyclic-MUSIC算法和ACCM算法。

实验三:对时变循环频率的估计和跟踪性能

信噪比为10dB，其它实验条件同实验一。α1按正弦规律从1.99缓慢变化到2.01，即α1(k)=2－0.005cos(2πfαk)，fα为循环频率变化的频率，此处取fα=1/(2N)，N为实验数据总长度。实验中，初始的循环频率设为＾α01=1.98，遗忘因子取为β1=β2=1/40。循环频率估计的均方根误差与k的关系曲线、循环频率跟踪曲线与实际循环频率变化曲线分别如图3(a)和图3(b)所示。从图中可以看出，本文算法不仅能很好地估计循环频率，并且具有优异的循环频率跟踪性能。

图3 循环频率的估计和跟踪性能

实验四:循环频率误差固定情况下，对运动辐射源的DOA估计和跟踪性能

设接收阵列的位置为坐标原点，辐射源沿x轴方向匀速运动，方位角从65°变化到25°，在此期间，信号s1(k)共发出800个符号(约25000个采样点)；其它的实验条件、参数与实验一相同，获得的仿真结果如图4所示。

从仿真结果中可以看出，本文算法在循环频率存在固定偏差的情况下仍具有很好的DOA跟踪性能。除了在最初阶段有一定的抖动外，跟踪误差能够控制在1°以内，实现了在循环频率存在偏差的情况下对DOA的有效估计和跟踪。

图4 运动辐射源的DOA跟踪

实验五:循环频率缓慢变化情况下，对循环频率、运动辐射源DOA的估计和跟踪性能

辐射源的运动参数同实验四，其它的实验参数同实验三。获得的仿真结果如图5所示。从图中容易看出，无论是对循环频率的变化还是对辐射源的DOA变化，本文算法都能取得良好的估计和跟踪性能。

5 结束语

通过分析CAB算法和CFE-SCORE算法的原理和特点，利用两者所获得的波束成形矢量的关系，设计了一种基于CAB的稳健的DOA估计的递推算法，其主要特点是能够在循环频率存在偏差和时变的情况下，对静止辐射源或运动辐射源的DOA进行实时的估计和可靠的跟踪。仿真实验表明，本文算法比现有的一些算法(如循环MUSIC算法、平均循环相关矩阵算法等)具有更好的跟踪性能和稳定性。

需要指出的是，本文算法中的一些参数选取(如β1、β2和L等)对算法的性能有一定的影响，它们的选择应与循环频率的大小和时变的快慢程度、辐射源的运动速度等因素有关。实际应用时，可根据不同的环境和条件适当地对其进行调整，以满足实际的应用需求。不同的参数选择对算法性能影响的理论分析是一个比较困难的问题，仍有待于进一步的深入研究。

图5 时变循环频率下的运动辐射源DOA的估计和跟踪性能

[1] 肖立胜，朱良学.阵列信号处理中基于循环平稳特性DOA估计的研究现状及发展展望[C].中国电子学会电路与系统学会第十八届年会，长沙，2004.

[2] Agee B， Schell S V，Gardner W A.Spectral Self-coherence Restoral:a New Approach to Blind Adaptive Signal Extraction Using Antenna Arrays[J].Proceedings of the IEEE，1990，78(4):753～767.

[3] Wu Q，Wong K M.Blind Adaptive Beamforming for Cyclostationary Signals[J].IEEE Transactions on Signal Processing，1996，44(11):2757～2767.

[4] Lee J H，Huang C C.Robust Adaptive Beamforming for Multiple Signals of Interest with Cycle Frequency Error[J].EURASIP Journal on Advances in Signal Processing， 2010，(1):873 ～916.

[5] 艾名舜，马红光，刘 刚.一种低复杂度的动目标DOA估计算法[J].电路与系统学报，2011，16(3):138～142.

[6] 赵汇强，张玉萍，全厚德.运动目标DOA自适应跟踪算法[J].火力与指挥控制，2012，37(6):152～156.

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[8] Lee J H， Huang C C.Robust Cyclic Adaptive Beamforming Using a Compensation Method[J].Signal Processing，2012，92:954～962.

[9] Schell S V， Calabretta R A， Gardner W A，et al.Cyclic MUSIC Algorithms for Signal-selective Direction Estimation[C].IEEE International Conference on Acoustics， Speech and Signal Processing(ICASSP-89)， 1989，4(5):2278 ～2281.

赵璧原 1987年生，硕士，主要从事阵列信号处理方面的研究。

戴旭初 1963年生，教授，博士生导师，主要研究方向为无线宽带通信系统、盲自适应信号处理。

A Robust DOA Recursive Estimation Algorithm Based on Cyclic Adaptive Beamforming

Zhao Biyuan， Dai Xuchu

Based on the cyclic adaptive beamforming algorithm and cycle frequency recursive estimation algorithm，a new robust DOA recursive estimation algorithm is proposed.The main feature of the proposed algorithm is that in the presence of CFE(Cycle Frequency Error)or time-varying cycle frequency，the proposed algorithm can real-timely estimate DOA of stationary radiation source and reliably track DOA of moving radiation source.Simulation results show that compared with some existing algorithms， such as the Cyclic MUSIC and Averaged Cyclic Correlation Matrix methods， the proposed algorithm possesses better robustness and outperformance in DOA estimation and tracking.

DOA estimation and tracking； Cyclostationary signal； Cycle frequency error； Moving radiation source

TN971

A

CN11-1780(2014)04-0039-08

2014-03-27 收修改稿日期:2014-04-12