怎样解这类数学题

向红梅 王波

摘 要：学完勾股定理之后。资料之中出现了这类求最短距离的题：1、如图，某地要在河边修建一个泵站，分别向A、B两村送水灌溉农田，已知A村，B村分别距离河边2千米和7千米，且A、B两村相距13千米，水泵站应修建在什么地方可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵的位置。2、如图所示，A﹑B两村在河CD的同侧，A﹑B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km。现要在河边建一水厂向A﹑B两村输送自来水，铺设水管的费用为2万元/千米，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最低，并求出总费用。

关键词：怎样解这类数学题；反考；研究

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）16-210-01

学完勾股定理之后。资料之中出现了这类求最短距离的题：

如图，某地要在河边修建一个泵站，分别向A、B两村送水灌溉农田，已知A村，B村分别距离河边2千米和7千米，且A、B两村相距13千米，水泵站应修建在什么地方可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵的位置。

看到这道题后，按传统的方法：

解：（1）以河边为对称轴，作B点的对称 B′。连接AB1交河边于O点。O点就水泵站的位置。

（2）过A点分别做河边与BB′的垂线，交河边、BB′于D、E

AD=EC=2千米

BE=BC-EC=7-2=5千米

∵ AE⊥BB′

∴ △AEB、△A B′E为直角三角形

AE2=AB2-BE2

AE=12千米

B′E= B′C+C E

又∵ B′C=BC

B′E=9千米

A B′2=AE2+ B′E2

A B′=15千米

∵ 河垂直平分B B′

∴ OB=O B′

∴ AO+OB=A0+O B′

=A B′

∴ 水泵管最短为15千米

做完这个题后，假想一下，如果水泵站建在D点会怎么样呢？AD=2千米 AB=13千米，这刚好是15千米吗？

如图所示，A﹑B两村在河CD的同侧，A﹑B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km。现要在河边建一水厂向A﹑B两村输送自来水，铺设水管的费用为2万元/千米，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最低，并求出总费用。

这一道题，根据传统的方法：

解：（1）以CD为对称轴作B点的对称点B，连接AB′交C D于O，O点就是水厂位置。

（2） A B′=5km（过程略）

∴ 最短距离为5km

最少费用：5×2=10万元

假想：将水厂就建在C点会怎样？

解：连接AB

AB2=AE2+（BD-DE）2

AB2=32+（3-1）2

AB=√13km≈3.61

最短距离：AC+AB=1+3.61=4.61km

传统方法是不是错了？我们可以多举一些数字试一试便知：探究方法也有漏洞。这类题该如何来解呢？值得我们去反考、研究。