构造函数法和导数思想的结合应用

李新成

摘要：利用构造函数模型的思想，讨论微分思想在中学数学解题中的作用，从而增加学生的解题方法，提高学生学习数学的趣味性，推动学生的解题能力。

关键词：函数模型法；微分思想；数学模型

中图分类号：G632.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）33-0077-02

构造函数模型是一种富有创造性的方法，它很好地体现了数学中发散、类比、化归的思想，也渗透着猜想、试验、探索、概括、特殊化的思想。在近年高考中有不少精彩的题目，而且有些是压轴题中经常考查的，是高考考查的重要思想方法之一。而导数方法与构造函数模型思想一旦结合起来，问题的设计便更加广阔，解决问题的方法就更为简便。本文期望利用构造函数模型的思想，以导数为工具探讨中学数学解题的方法技巧，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。

一、导数工具有助于学生把握函数性质

在高中阶段，学生主要通过学习函数的定义域、值域等性质，来理解函数.函数的这些性质都可通过图像表示，因而，通过函数的图像，函数的性态也容易掌握了。但是，对于非初等函数，不易作出图像，学生就可以利用函数的导数判定单调区间、极值点、最值点，再结合描点法，就能大概作出函数的图像.在直观上提高学生对函数性质的掌握。

二、微分方法与函数模型法相结合的作用

通过数学模型建立函数关系，然后用导数作为工具，可以解决数学上用初等数学方法不能解决的许多问题，充分发挥微分思想在中学数学解题中的作用，从而提高解决问题的能力.以导数作为工具，结合函数模型法思想，在不等式的证明、数列的求和问题，以及实际问题等方面有非常重要的作用。

1.利用结合思想可以证明不等式。在新课程的高考中，与不等式的证明等相关的问题，包含的信息量较大.利用微分思想来证明，可以先构造一个辅助函数，使函数和不等式建立联系.然后对函数求导，得到单调性，使所解決问题转化为比较函数值大小的问题。

例1.证明：若x>0，则有ln（1+x）>x-■x2.

证明：构造函数f（x）=ln（1+x）-（x-■x2），可求得其定义域为（-1，+∞），可以计算得f'（x）≥0，即f（x）在（-1，+∞）上是单调递增。所以当x>0时，f（x）>f（0）=0，故不等式成立。

2.利用结合思想可以求实常量的取值范围。求实常量的取值范围是数学中的一个重要内容，求实常量取值范围的很多问题依靠常规的方法很难处理，利用结合思想，处理起来非常方便，下面通过例子来具体说明。

例2.若对？坌x∈R，不等式x4-4x3>2-m恒成立，求出实数m的取值范围。

分析：将含参数的不等式问题转化为函数问题，利用导数求得函数最小值，方可确定出参数的范围。

解：构造辅助函数f（x）=x4-4x3，再设f'（x）=0，可求得x=0或x=3.

当x<0时，f'（x）<0；当03时，f'（x）>0.所以x=3时，f（x）取得极小值为-27，从而f（x）有最小值为-27，则f（x）|min=-27>2-m，故有m>29.

注：构造多项式函数是解决本题的关键。

3.利用结合思想可以解决数列问题。通过数学模型建立函数关系，然后用导数作为工具，可以解决学生难以掌握的、有时技巧性很高或者计算十分烦琐的数列的和的问题。

例3.求和：S■=C■■+2C■■+3C■■+…nC■■（n∈N*）.

解：因（1+x）n=C■■+C■■x+C■■x2+…+C■■xn，则该式两边都是关于x的函数，两边都对x求导得：n（1+x）n-1=C■■+2C■■x+3C■■x2+…+nC■■xn-1，令x=1，即得Sn=n·2n-1

4.利用结合思想可以研究方程根的情况。通过数学模型建立函数关系，然后用微分思想可以很容易确定方程根的问题，具体方法为：观察函数的图形变化，得出函数的图像与x轴的交点个数，最后得出所求范围内方程解的个数。

例5.若a>3，则方程x3-ax2+1=0在[0，2]上有多少个根？

解：设f（x）=x3-ax2+1，求导可得：当a>0，x∈（0，2）时，f（x）在（0，2）上单调递减，且f（0）·f（2）<0，故f（x）在[0，2]上有且只有一个根。

5.利用结合思想近似计算。由导数的定义知，当Δx充分小时，f（x0+Δx）≈f（x0）+f'（x0）·Δx.

例6.不查表，求sin46°的值。

解：令y=sinx，取x0=45°，x=45°+1°，代入上式即可得结论。

6.利用结合思想是学好理科其他课程的前提。微分学发展初始，就与物理、化学、生物、天文、工程以及地质学等学科密不可分。只要涉及到变化问题，就可以利用导数讨论该过程的变化情况。所以，无论物理还是化学问题都可以通过微积分的思想来解决了。

7.利用结合思想解决立体几何中的问题。

例7.设A，B是球面上的两点，弧AmB是过A、B两点的大圆的劣弧，弧AnB是过A、B两点的任意小圆的弧。设小圆的半径为r，圆心为o'；大圆的半径为R，圆心为o，大圆面与小圆面交于A、B。求证：弧AmB<弧AnB。分析：这道题把导数和立体几何的知识结合在了一起，再根据球面距离的定义，最终得证。

证明：记∠AOB=α，∠AO'B=β，则有AB=2Rsin■及AB=2rsin■.

因为R>r，由题意sin■

现在只要证明Rα

故只需证明■<■=■.

为此构造函数f（x）=■，x∈（0，π）.

因为f'（x）<0，即f（x）在（0，π）上是减函数，结论得证。

8.建立微分模型是解决实际问题的关键。“学以致用”，只有懂得数学如何去应用，才是提高学生对数学感兴趣的关键。万事万物都在变化，大多数实际问题都可通过建立微分模型来解决。具体为：翻译实际问题，建立微分模型，通过求导运算，得到问题的解决。新课程实行以来，逐渐加大了对实际问题的考查力度，比如优化问题、路线问题等，通过建立微分模型来解决非常方便。

例8.用PVC材料制作一个立方体容器，其长为12m，要求容器的底面长、宽差1m，当高为多少时，容积最大？并求出Vmax.

解：设容器长为xm，则宽为（x+1）m，高为（2-2x）m.

设容器的容积为Vm3，则有V=-2x3+2x2，（00；当x∈（■，1）时，V'<0.

因此，当x=■时，Vmax=■，这时高为■，故高为■m时容器的容积最大，最大容积为■m3.

参考文献：

[1]北京师范大学数力系.数学分析（上册）[M].第三版.北京：高等教育出版社，1998.

[2]祁丽娟.谈在高中数学课程中开设导数及其应用的必要性[J].甘肃教育，2006，（4）.

[3]成兵.例说构造辅助函数证明不等式的魅力[J].中学生数理化（高中版学研版），2011，（7）.