Lévy过程驱动的HJM框架下债券市场无套利的充分条件

杜凤娇

(徐州工程学院 数学与物理科学学院,江苏 徐州 221111)

0 引言

Heath等[1]提出的利率期限结构建模方法是期限结构理论发展史上的重要里程碑.相对于基于即期利率模型的期限结构理论,HJM框架具有更多的优越性[2].因此,HJM框架一经问世,就引起了金融理论界的广泛关注.Björk,Chiarella等[3-5]进一步讨论了在HJM框架下,远期利率方程由Poisson型跳跃过程驱动时的利率期限结构相关问题,更好地拟合了远期利率和即期利率收益的“尖峰厚尾”现象.赵静娴等[6]就跳跃-扩散型远期利率方程进行了相关问题的讨论.

Poisson型跳跃在有限时段内以概率1跳跃次数有限,而Lévy过程是更一般的跳跃过程,将Poisson型跳跃-扩散模型作为其特例,它在有限时段内可以有可列无限次跳跃.关于Lévy过程的详细介绍参见文献[7-8].Eberlein等[9-10]讨论了Lévy过程驱动的HJM 框架下债券市场的几个主要金融理论问题.本文讨论与文献[10]相同的问题,主要采用Musiela等[11-12]提出的远期测度方法和Chan[13]构造的Lévy过程等价鞅测度技巧,获得了Lévy过程驱动的HJM框架下债券市场无套利的充分条件,为进一步研究这种债券市场下各种债券衍生产品的定价打下理论基础.

1 Lévy过程驱动的HJM框架下的债券市场模型

考虑一连续时间交易经济系统,交易时段为[0,T*]．设Y={Yt,0≤t≤T*}是定义在带流概率空间(Ω,F,(Ft),P)上的一维Lévy过程,且有标准分解

Yt=cWt+Mt+αt,

(1)

其中W={Wt,0≤t≤T*}是一维标准Brown运动,M={Mt,0≤t≤T*}为纯跳跃Lévy过程,c和α是常数.假设对所有的h∈(-h1,h2),0

设到期日为T(

df(t,T)=α(t,T)dt+σ(t,T)dYt,

(2)

其中对每个T,α(t,T)和σ(t,T)为R上适应的随机过程且σ(t,T)是有界的.

将(1)式代入(2)式，整理可得

df(t,T)=(α(t,T)+ασ(t,T))dt+σ(t,T)cdWt+σ(t,T)dMt,

(3)

对(3)式积分,得

(4)

其中f(0,·):[0,T*]→R为Borel可测函数.T时刻到期的零息债券价格B(t,T)可由远期利率表示,即

从而

由(4)得

记

则

本文考虑的债券价格B(t,T)满足以下Lévy过程驱动的随机微分方程:

dB(t,T)=B(t-,T)(a(t,T)dt+b(t,T)dYt)

=B(t-,T)((a(t,T)+αb(t,T))dt+cb(t,T)dWt+b(t,T)dMt).

对固定的到期日T∈(0,T*),到期日为T*的债券价格B(t,T*)满足方程

dB(t,T*)=B(t-,T*)(a(t,T*)dt+b(t,T*)dYt)

=B(t-,T*)((a(t,T*)+αb(t,T*))dt+cb(t,T*)dWt+b(t,T*)dMt).

dB-1(t,T*)=-B-2(t-,T*)dB(t,T*)+B-3(t-,T*)B2(t-,T*)b2(t,T*)c2dt

+(B-1(t,T*)-B-1(t-,T*)+B-2(t-,T*)B(t-,T*)b(t,T*))ΔMt,

从而

+(b(t,T)-b(t,T*))dYt)+B(t,T)(B-1(t,T*)-B-1(t-,T*))

2 Lévy过程驱动的HJM框架下债券市场无套利的充分条件

本节讨论由Lévy过程驱动的HJM框架下债券市场不存在套利机会的充分条件．为此，定义远期债券价格过程

∀t∈[0,T], 0

记ΔB-1(t,T*)=B-1(t,T*)-B-1(t-,T*),则

dFB(t,T,T*)=FB(t-,T,T*)((a(t,T)-a(t,T*)+c2b2(t,T*)-c2b(t,T)b(t,T*))dt

+(b(t,T)-b(t,T*))dYt+b(t,T*)ΔMt)+B(t,T)ΔB-1(t,T*)

+B(t,T)ΔB-1(t,T*)b(t,T)ΔMt,

进一步计算并整理得

dFB(t,T,T*)=FB(t-,T,T*)((αb(t,T)-αb(t,T*)+a(t,T)-a(t,T*)+c2b2(t,T*)

-c2b(t,T)b(t,T*))dt+c(b(t,T)-b(t,T*))dWt+(b(t,T)-b(t,T*))dMt

+b(t,T*)dMt+B(t-,T*)ΔB-1(t,T*)+B(t-,T*)b(t,T)ΔB-1(t,T*)dMt)

其中

a1(t,T)=αb(t,T)-αb(t,T*)+a(t,T)-a(t,T*)+c2b2(t,T*)-c2b(t,T)b(t,T*),

a2(t,T)=c(b(t,T)-b(t,T*)),a3(t,T)=b(t,T),a4(t,T)=B(t-,T*),

其中v,v1,v2为Lévy测度.从而

(5)

现给出本文的引理.

(6)

定义一个过程Zt，

其中ε(·)为Doleas-Dale指数半鞅[7].由Doleas-Dale公式可解得

则Zt是一个非负鞅,满足Z0=1.

将(6)式整理得

(7)

(7)式两边对T求导并整理得

(8)

(9)

(9)式的解为

证明类似于文献[13]中的方法,从略.

风险中性测度(risk neutral measure)的引进是期权定价理论上的一个重要里程碑.Harrison 等[14-15]首先证明了市场无套利等价于存在一个风险中性测度Q,使得市场中任何投资收益的贴现价格过程在Q测度下都是鞅.一般过程驱动的金融市场的相应结果由Delbaen等[16]给出.这样,只要对所有不同到期日的债券能同时选择出一公共的远期鞅测度,则在由Lévy过程驱动的HJM框架下的债券市场中,不同到期日的债券之间就不存在套利.因此,由引理1和2,得到本文的最终结论.

3 结果

Lévy过程驱动的HJM框架下债券市场无套利的充分条件如下：

定理1(无套利充分条件) 若存在R值Ft适应过程Gt,H(t,x),H1(t,x)及H2(t,x)，使得

且对任意的T≤T*,Gt,H(t,x),H1(t,x)及H2(t,x)满足方程(7)或(8)．那么由Lévy过程驱动的HJM框架下债券市场不存在套利.

参考文献:

[1] Heath D,Jarrow R,Morton A.Bond pricing and the term structure of interest rates:a new methodology for contingent claim valuation[J].Econometrica,1992,60(1):77.

[2] Björk T.Interest rate theory[C]//Runggaldier W,et al.Forthcoming in iroceedings CIME conference,Bressanone.Berlin:Springer,1996:53-122.

[3] Björk T,Kabanov Y,Runggaldier W.Bond market structure in the presence of marked point processes[J].Math Finance,1997,7(2):211.

[4] Björk T,Di Masi G,Kabanov Y.et al.Towards a general theory of bond markets[J].Finance Stoch,1997,1(2):141.

[5] Chiarella C.Sklibosios C.A class of jump-diffusion bond pricing models within the HJM framework[J].Asia-Pacific Financial Markets,2003,10(2):87.

[6] 赵静娴,杨宝臣.HJM框架下服从跳扩散过程的利率模型[J]．武汉科技大学学报：社会科学版,2005,7(4):18．

[7] He Shengwu,Wang Jiagang,Yan Jiaan.Semimartingale theory and stochastic calculus[M].Beijing:Science Press, Boca Raton，FL:CRC Press,1992.

[8] Sato K I.Lévy processes and infinitely divisible distributions[M].Cambridge:Camb Univ Press,1999.

[9] Eberlein E,Sebastian R.Term structure models driven by general Lévy processes[J].Math Finance,1999,9(1):31.

[10] Eberlein E,Jacod J,Raible S.Lévy term structure models:no-arbitrage and completeness[J].Finance Stoch,2005,9(1):67.

[11] Musiela M,Rutkowski M.Continuous-time term structure models:forward measure approach[J].Finance Stoch,2005,9(1):261.

[12] Musiela M,Rutkowski M.Martingale methods in fnancial modelling[M].2nd ed.Berlin:Spring-Verlag，2005.

[13] Chan T.Pricing contingent claims on stocks driven by Lévy processes[J].Ann Appl Prob,1999,9(2):504.

[14] Harrison J M,Kreps D M.Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets[J].J Econ Theory,1979,20(3):381.

[15] Harrison J M,Pliska S R.Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading[J].Stochastic Process Appl,1981,11(3)：215.

[16] Delbaen F,Schachermayer W.A general version of the fundamental theorem of asset pricing[J].Math Ann，1994,300(3)：463.