数学物理反问题中变分正则化方法的应用研究

赵 越 丁晓岩 吴 磊

(1:吉林建筑大学计算机科学与工程学院,长春 130118; 2:通化市东昌区江东乡中心小学,通化 134000)

0 引言

反问题是一类由输出结果反求原象的应用类数学问题.其具有非常广泛的理论研究和工程应用背景,近年来已经成为数学、地球物理、系统工程等学科交叉融合的研究热点之一[1-2].要完成数学物理反问题的求解并非易事,原因如下：① 由于噪声或客观观测条件的限制,原始数据所在的数据集合可能不属于问题精确解所在的集合；② 近似解可能不够稳定,也就是说较小的观测误差也可能引起近似解较大偏离真解[3-4].也就是说,数学物理反问题往往为不适定问题.而正则化方法正是解不适定问题的一种重要的手段.对正则化方法进行研究就很有意义.

1 变分正则化方法及稳定性研究

若要求解如下的算子方程:

Az=u,z∈F,u∈U

(1)

算子A连续,为度量空间(F,ρF)到(U,ρU)的映射.但A-1存在但不连续.由于解的唯一性满足,而解的存在性、稳定性无法保证,所以方程(1)的求解为不适定问题.

现在考虑方程右端项uT的准确解zT:

AzT=uT,zT∈F,uT∈U

(2)

由于得到的实际观测值与uT有一定差异,故我们只能得到近似值uδ.这里要求ρU(uT,uδ)≤δ,其中，非负值δ为误差水平.现在问题就转化为在已知误差水平δ的前提下,求方程(1)的近似解.季洪诺夫最早提出了由正则化算子得到近似解的方法.

定义1 现有一个由度量空间U到F的算子P(u,α),其依赖于大于零的参数α.若它满足以下两个条件,则称其为方程(1)在u=uT邻域内的正则化算子.

(1) ∀δ′>0,算子P(u,α)(α>0)对所有符合ρU(u,uδ)≤δ≤δ′条件的任意u∈U均有定义；

(2) 一定有这样的以δ为自变量的函数α=α(δ),任取ε>0,一定有δ(ε)≤δ.此时如果ρU(uδ,uT)≤δ(ε)(uδ为定义域U内的任意观测值),必有ρF(zα,zT)≤ε,其中zα=P(uδ,α(δ)).

也就是说,如果ρU(uδ,uT)≤δ,则我们可将zα=P(uδ,α)作为uδ的近似解.其中正则化参数α我们可以根据原始观测值uδ的误差水平δ确定.此时zα为方程(1)的正则解.

对于方程(1)而言,正则化算子常常不唯一.即对于每一个算子P(uδ,α),以及正则化参数α的选择方法,共同构成求解反问题近似解的一种稳定化算法.

更进一步,我们可以选择这样的过程来构造原问题的近似解.首先,构造正则化算子P(u,α);其次,根据当前的误差水平δ选择合适的正则化参数α=α(δ).

2 正则化算子的构造方法研究

对于正则化算子的构造,现采用季洪诺夫提出的展平泛函来实现.对任意大于零的正则化参数α,可使用如下泛函作为展平泛函.

Hα(z,u)=ρU2(Az,u)+αΩ[z],z∈F,u∈U

(3)

也就是说,精确值uT对应精确定zT,此时一定有ρU(AzT,uT)=0.而uT往往不能准确给出,所以我们取近似观测值uδ.对于uδ∈U,我们取其相应的广义解,即变分问题

(4)

的极小解(一定存在,但可能不唯一)作为问题的解.为了保证解唯一,我们可以在前述极小解中按照某种度量方式取得唯一的最小解.

如果取稳定化泛函Ω[z]=‖z‖F2,则季洪诺夫展平泛函可表示为:

Hα(z,u)=‖Az-u‖U2+α‖z‖F2

(5)

由如下欧拉方程:

αzαδ+A*Azαδ=A*uδ

(6)

其中，A*为A的伴随算子.

可以得到:

Pαuδ=zαδ=(A*A+αI)-1A*uδ

(7)

3 变分正则化方法误差分析

若zα与zT分别对应于方程(1)的正则近似值和右端精确值u,此时zα=Pαu,则有:

‖zαδ-zT‖≤‖zαδ-zα‖+‖zα-zT‖=‖Pα(uδ-u)‖+‖zα-zT‖≤δ‖Rα‖+‖zα-zT‖

(8)

正因如此,变分正则化方法是对近似解的精确性和稳定性之间的一种折衷.如果能选取合适的正则化参数,则问题一定可以得到很好的解决.

4 结语

实践表明,变分正则化方法能够很好的完成一部分数学物理反问题的解决.但本文仅对其进行了初步的探索,而实际遇到的问题往往要比本文提出的解决方法复杂许多.这就要求我们至少完成两方面的工作:一是进一步探索变分正则化方法的适用范围；二是探索其他能够有效解决数学物理反问题的正则化方法.相信通过大量的研究和实践我们一定能够找到更加合适的正则化方法,更好地为实际工程问题中出现的反问题服务.

参 考 文 献

[1] 钱坤明.一类具有单调算子的非线性不适定问题的迭代Tikhonov正则化方法[D].济南:山东大学,2011.

[2] 何方敏,李青侠,朱 威,李 毅.一种自适应Tikhonov正则化参数估计方法[J].华中科技大学学报(自然科学版),2013(6):37-40.

[3] 李功胜,谭永基,王孝勤.确定地下水污染强度的反问题方法[J].应用数学,2005(1):93-97.

[4] 李功胜,马逸尘.应用正则化子建立求解不适定问题的正则化方法探讨[J].数学进展,2000(6):536-540.