浅析向量法求解二面角

赵雄

摘 要：用向量法求解二面角降低了综合法的解题技巧，把抽象的几何问题代数化，并有很强的规律性和可操作性。本文通过对平面法向量方向的判断和利用平面法向量的夹角来表示二面角的平面角以及在两个半平面内用垂直公共棱的两个向量之间夹角来表示二面角的平面角对二面角问题的求解进行阐述。

关键词：二面角；法向量；方向；基向量；平面角

随着新课程标准的不断推进，空间向量作为研究空间几何的强有力工具，给空间几何问题的研究注入了新的生机和活力，开辟了很多解题的新途径，新方法，新思路。空间向量法将抽象的几何问题代数化，以算代证，将问题具体化，并有很强的规律性和可操作性。因此，在解决空间几何问题中普遍使用，尤其是用法向量求解二面角大大降低了综合法的解题技巧，使得解题思维更直接清晰，解题过程更简洁流畅。

借助平面法向量求二面角时，二面角的平面角θ的大小与法向量的所成角α（α=＜n1，n2＞）相等或互补，当二面角两个法向量都指向二面角的内部或外部时，θ=π-α；当两个法向量一个指向二面角的内部而另一个指向二面角的外部时θ=α对于法向量的方向的判断一直是个难点，具体问题中如何判断法向量的方向，具体方法如下：

在二面角的公共棱上任取一点M，在二面角内部任取一点N（分别在两个半平面内各取一点A，B，则线段AB的中点（N）在二面角的内部），构造向量MN，根据向量的数量积和向量的夹角的定义，法向量n1，n2的方向均指向二面角内部时，n1·MN＞0且n2·MN＞0（若n1，n2均指向二面角外部时有n1·MN＜0且n2·MN＜0）即n1·MN与n2·MN同号时，二面角两个半平面的法向量都指向二面角的内部（或外部），这是二面角θ=π-＜n1，n2＞。

法向量n1的方向指向二面角内部，n2的方向指向二面角外部时，有n1·MN＞0且n2·MN＜0，即 n1·MN与n2·MN异号时，二面角两个半平面的法向量一个指向二面角的内部，另一个指向二面角的外部，这是二面角θ=＜n1，n2＞。为方便记忆概括为“同进同出互补，一进一出相等”。

例题：如图，四棱锥P—ABCD中，

底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，

AB=2AD，PD⊥底面ABCD。

（Ⅰ）证明：PA⊥BD；

（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-

C的余弦值。

此法是先通过空间向量的坐标形式求出两个法向量的夹角的余弦值，再通过利用MN·n1和MN·n2的值的符号来判断法向量的方向进而确定二面角平面角的余弦值。

此法思路清晰直接，通过代数计算代替综合法的“作，证，求”，降低了对逻辑推理能力和空间想象能力的要求，但增加了计算量，方法可行但不方便。为回避求平面法向量和判断法向量方向，我们可以在二面角的两个半平面内找与公共棱垂直的两个向量的夹角来表示二面角的平面角。

用基底向量法即选取空间任意不共面的三个向量作为基向量，根据空间向量的基本定理，将所需的向量用基底表示出来，再利用向量的“线性运算”“数量积”等进行求解，用这两个向量的夹角直接表示二面角。

点评：用坐标向量法求解二面角，没有求二面角的两个半平面的法向量，而是在二面角两个半平面内找个两个与棱垂直的向量，用这两个向量的夹角直接表示二面角。用坐标法计算降低了对平面向量基向量运算的思维过程的要求，使整个解题思路更加直接清晰，解题过程更加流畅与完整。

空间图形奇异多姿，然而透视奇异有法眼，破解诡秘有法术。我们自有“一举突破”之招术，“一气呵成”之招数，“一锤定音”之招法，将几何问题代数化，立体问题坐标化，我们解答空间几何问题就能按图索骥，得心应手，运筹帷幄，决胜千里。

参考文献：

[1]杨 华.对用法向量求二面角的思考[J].中学数学教学参考（上旬），2012（7）：53—54.

[2]齐相国.法向量求二面角时法向量方向的判断方法[J].数学通讯，2009（4）：22—23.