用傅里叶定律分析无限大平行平板中的准稳态

罗 宏

(苏州科技学院 数理学院，江苏 苏州 215009)

1 引 言

准稳态法测量材料的热物性是一种较精确的动态测量方法，在各类固、液以及纳米材料的热物性测量中得到了应用[1-4]. 其特点是效率高，所得数据较多. 准稳态实验作为测量比热容和导热系数的方法也引入了大学物理实验教学中[5-6]，作为一种应用动态方法的实验，开阔了学生的思路和视野.

2 无限大平行平板中准稳态分析

在实验中常采用第二类边界条件下的无限大平板模型作为准稳态实验的基础[1,3-5]. 导热系数及比热容的计算式由平板的温度分布函数导出[5，7]. 进一步了解温度分布函数的推导过程则涉及到解第二类边界条件下的热传导微分方程:

(1)

用到分离变量法，以及傅里叶分析等[8].

将以上方法应用到实验教学中，存在2个问题，其一是对大部分学生而言理论基础要求过高，其二是公式的推导过程并没有帮助学生了解准稳态是怎样的物理过程及其特点.

本文根据一维情况下的傅里叶定律

(2)

结合比热容的定义

dQ=cmdt,

(3)

分析了实验系统中的准稳态物理过程及其物理特征，并推出导热系数的计算公式，得到了与解偏微分方程一致的结果.

如图1所示，无限大各向同性的均匀平行平板厚度为d，一个表面绝热，另一个表面的热流密度-qc为常量，此处负号是考虑其方向为负. 假设平板的导热系数λ、比热容c和密度ρ不随温度变化. 建立如图1所示坐标，使x轴垂直于平行平面，原点位于绝热表面上.

图1 恒热流密度下的无限大平行平板

由系统的对称性知，热流密度必然与x轴平行，并且x相同的位置，热流密度相同，热流密度是x的一维函数. 平板被持续加热，其温度必然不断升高. 但由于流入的热流密度始终为常量，可以合理猜想流入的热量被平板各处均匀吸收. 当然这是经过初始过渡过程之后，达到“稳定”的状态，即准稳态时的情况. 由以上分析，假设平板中的热流密度为

q=ax+b,

(4)

以下由微元法，通过物理过程说明这正是系统“稳定”后的状况，并求出常量a，b.

将平板沿平行于表面的方向分为无穷多个等厚的薄层，薄层厚度Δx趋向于无穷小. 任取相邻的2个薄层Vi+1，Vi+2，如图2所示. 图中所示热流密度为箭头所指面上所流过的热流密度. 因薄层为任取，以下的讨论具有普遍性.

图2 平板中的2个薄层微元

研究Vi+1，由热容式(3)及能量守恒知，时间dτ内，流入流出的热量差等于温度变化而吸收的热量

ΔQ=(qi-qi+1)Adτ=cΔmdti+1,

(5)

由Δm=ρAΔx(ρ为板的密度)，式(5)变为

(6)

当Δx趋向于无穷小，等式左端即热流密度的导数dq/dx. (6)式以及(2)式描述了热量在板内流动、吸收的情况，限定了热流密度和温度的关系，是热流密度和温度必须满足的等式.

以下类比力学中稳定平衡的概念，通过说明(4)式所代表的状态是平衡且稳定的，来说明这种状态会自发、持续存在.

首先说明(4)式代表“平衡”的状态，即可以持续存在的状态. 由(6)式可看出，等式左侧热流密度对空间的导数处处为常量时[热流密度为空间的线性函数，即(4)式]，等式右侧所有薄层中温度对时间导数为常量. 当各处温度的时间导数为常量时，其空间梯度必为时不变函数，则由(2)式，要求热流密度为时不变函数. (4)式满足这一要求. 同时也要求外加热流密度为常量，这正是假设的条件. 由此(4)式满足了(2)和(6)式，同时是时不变的状态，可以持续存在. 此时，热流密度线性变化，各薄层吸热速率相同，导致温升速率相同. 相同的温升速率说明温度梯度不随时间变化，又保证了此热流密度不发生改变，状态持续存在. 温升速率相同，是准稳态的特征，此状态为准稳态.

接下来，说明其是“稳定平衡”，也就是如果系统不在此状态，会自发地向此状态演化. 需要考虑2个相邻的薄层，分析热流密度偏离上述状态之后，系统如何自我调节. 如果qi-qi+1>qi+1-qi+2，则由(6)式知ti+1升高的速率大于ti+2，导致两薄层间的温度差加大，由(2)式知qi+1将增大，其结果是qi-qi+1减小，qi+1-qi+2增大，上面不等式两端的差距缩小. 若qi-qi+1

由以上文中分析可以得出，无限大平行平板系统趋向且稳定于热流密度随x线性变化的状态. 此时，所有部分温升速率相同，这正是准稳态的特征.

根据边界条件及(4)式，q(0)=b=0，q(d)=-qc=ad，则b=0，a=-qc/d,代入(4)式得：

(7)

将(7)式代入傅里叶定律(2)式，

(8)

将上式从0到x积分，得到x处温度

(9)

可见温度场为抛物线函数. 若x=d，则可得

(10)

式中Δt=t(d)-t(0),为平板2个表面的温度差，上面已经说明，其为常量. 此式为准稳态下，利用无限大平行平板测量导热系数的计算公式. (9)和(10)两式与用热传导微分方程(1)推导出的结果相同[7]，验证了结果正确.

3 结束语

准稳态下的平行平板问题在热物性参量的测量中常被用到. 本文从热流密度着手，这正是从准稳态的特点出发. 准稳态的特点是物体中所有点的温升速率都相等，由傅里叶定律知，这就导致空间中的热流密度不随时间变化. 从不变量着手可以更容易地解决问题，所以从热流密度着手有其合理性. 热传导微分方程(1)式本身就是建立在傅里叶定律和比热容定义式基础之上. 所以本文的方法和传统的方法有相同的基础. 只是本文的方法更强调物理的概念和过程. 相对于解偏微分方程的方法，更简单易懂，利于教学. 学生反复应用物理的概念、分析物理过程，有利于学生熟悉物理概念、建立物理直觉.

参考文献：

[1] 周乐平，王补宣. 准稳态法测量纳米颗粒悬浮液的热物性[J]. 工程热物理学报，2003,24(6):1038-1039.

[2] 何茂刚，钟秋，薛榕,等. 变容积量热器法测量液体比热容研究[J]. 热科学与技术，2008,7(1):70-74.

[3] 周孑民,曾文辉,叶良春,等. 有机玻璃热物性准稳态法实验研究[J]. 工业计量，2005,15(6):10-12.

[4] 卢建航,孙宏,尹海山. 用准稳态法测定橡胶及橡胶基复合材料的导热系数和比热容[J]. 轮胎工业,2001,12(5):305-309.

[5] 赵海发，刘世刚，金恩培,等. 新型准稳态法不良导体热物性参数测定仪的原理与应用研究[A]. 全国高等学校物理基础课程教育学术研讨会[C]. 2008:400-402.

[6] 张红佳，郭永利，李正,等. 真空热流法测定不良导体的导热系数[J]. 物理实验，2012,32(9): 5-7.

[7] 郭重雄，余其铮，薛洪福. 导热系数和比热准稳态测量方法的分析[J]. 哈尔滨工业大学学报，1984(2):62-72.

[8] 雷柯夫 A B. 热传导理论[M]. 裘烈钧，丁履得，译. 北京：高等教育出版社，1955:155-157.