构造法的数学思想及其运用

丁文敏

摘 要：构造的思想方法是解决数学问题常用的思想方法。本文介绍了方程构造法、命题构造法、模型同类构造、解图形构造、函数构造等构造法的运用。

关键词：数学教学 构造 运用

在数学教学中，我们常常采用构造方法来解决数学问题。因为有的结论难以直接表达，需要借助一定的条件才能转化到结论，于是就可以利用数学问题的特殊性，进行新的关系结构的设计，间接地寻找解决问题的具体方法。这种方法不是直接解决原问题，而是创造一个与原来问题有关或等价的新问题。它可以用于对经典数学的概念、定理的解释，也可以用于开发构造性数学的新领域。在解决初等数学问题时，构造思想方法得到广泛的应用。

用构造思想解题的巧妙之处在于构造一个与原问题有关的辅助新问题，希望通过它的解决来帮助解决原问题。一般情况下，创设一个比原问题更简单、更直观的新问题，使得原问题迎刃而解，此方法的运用就成功了。

一、方程构造法

遇到等量性的问题都可能使用方程这个工具，对于一些计算问题也可运用方程的思想来解决。 倘若一个量不能或难于直接求得，就设法导出它所满足的方程，于是问题就归结为求解方程了。我们可以根据解的定义构造方程，可以引入未知数，把问题转化为方程问题求解，可以用韦达定理逆定理构造方程，可以利用判别式构造方程，可以根据题目特点把问题转化为方程来解决。

例1：若a+b+c=m，1/a+1/b+1/c=1/m，a、b、c互不相等，求证a、b、c中必有一个等于m。

若将a、b、c看作未知量，由条件可知其和为m，两两积和ab+bc+ca=—。这样就可以设出abc后，按三次方程的韦达定理构造出a、b、c为根的方程。这样我们可以证明：令abc=n，则ab+bc+ca=—，因此a、b、c是方程t3－mt2+t－n=0的三个根。

方程（t－m）（t2+—)=0有一根t1=m，即a、b、c 中必有一个等于m。

由于我们从条件中求出了一元三次方程韦达定理中诸代数式之值，便可构造出a、b、c为根的三次方程，从而把原题的证明转化为方程根的讨论。

二、命题构造法

构造新命题以实现命题转换，是设置坡度简化解法的常用手段。特别是在某种情况下，把原命题强化更易得到证明，这时“强化命题”的结论是原命题结论的充分条件。常用的构造命题法有构造引理法，即在解题过程中，常常需要用某些尚未证明的结论作为引理加以应用。有些条件与结论关系隐晦的问题通过引理铺设台阶，使问题变得明朗化，有些比较复杂的问题需要构造多个引理来解决或简化。若解答命题A受阻时，则可把命题A转化为等价命题B，通过解答命题B，从而获得命题A的结论的方法叫构造等价命题法。构造的等价命题应是构造成已经解决或比原命题更容易解决的问题，以达到化难为易、化新为旧的目的。

三、模型构造法

模型就是为了便于对实际问题进行研究而建立的抽象的理想客体。它是以客观存在为原型的，对客观事物是一种近似反映，把原型抽象成“模型”，既有科学抽象过程，又有形象转化过程。

从数学思维过程来看，构建数学模型是抽象意识的体现，抽象性在数学概念的形成过程中是必不可少的。在运用模型构造法解题的过程中，要体会与揣摩其中的抽象思想，形成抽象意识，从而能从本质看问题，能有意识地区分主要因素与次要因素，抓住本质解决问题。从数学思维品质看，构造数学模型是思维的深刻性所要求的。

四、图形构造法

此方法是古典几何中的基本方法。图形不仅是几何问题的对象，而且可以用于解答似乎与几何无关的各类问题。

五、函数构造法

观察问题条件特征，联想有关数学知识（定理、法则、公式等）来构造函数是常能奏效的构造方法。函数构造的方法就是由命题及条件的数量关系组成一种新的函数关系，使得原来的问题在新的关系下实现转化，通过对函数的研究使问题获得解决。

运用构造的思想方法解题，运用者需要有扎实的数学功底，还必须具备由此及彼、由表及里的思维能力，具有丰富的联想能力，才能在具体的解题过程中，有能力弄清题意，借助联想，构造出新的数学形式，使所求的问题顺利得以转化、解决。

（作者单位：南阳农业职业学院）