光滑帽子动态本构模型验证及应用研究

刘俊新，杨春和，刘育田

(1.西南科技大学 土木工程与建筑学院,四川 绵阳 621010；2. 中国科学院 武汉岩土力学研究所 岩土力学与工程国家重点实验室,武汉 430071)

钻地武器指携带钻地弹头钻入地下目标引爆的精确制导武器。该种武器钻入地下目标过程及目标内部后的延时爆炸均涉及对目标组成部分在冲击荷载作用下动力响应。目标主要由岩土介质与混凝土组成。对压实黏土受冲击荷载作用的动力响应在防护工程及武器设计中有重要意义。

在冲击荷载作用下土体处于复杂应力状态，土体自身特征导致其与金属材料不同特性[1-3]，如：① 材料剪切破坏前会萌生大量微孔隙，引起体积变形增大而产生剪胀特性；② 材料应力-应变曲线及屈服强度表现出的明显静水压力与应变率相关性；③ 强度不服从各向同性假定，抗拉强度远低于抗压强度；④ 土体内部的含大量水或不含水孔穴的力学行为十分复杂。为此提出各种理论模型描述土的力学性能。

为分析爆炸与冲击荷载下土与结构物的相互作用，Schwer等[4-10]采用失效土壤与可压扁泡沫本构模型、土/混凝土本构模型、地质帽子模型(*Mat _Geologic _Cap_Model)及连续光滑帽子模型等四种本构模型进行数值模拟。该四种模型均为与压力相关的本构模型，只在描述剪切破坏时应力偏量第二不变量J2与压力p 采用不同拟合关系。第一、二种本构模型并未考虑剪切面与硬化面衔接，用体积应变与压力关系表述，且在较低静水压力状态时数值迭代不稳定，其应用有一定局限性；第三种本构模型则克服第一、二种的不足，在p-q表示的子午平面上增加一个帽子面，考虑剪切面与硬化面衔接，但二者相接时存在一阶不连续性，造成数值计算时收敛困难等；第四种本构模型基于Schwer 等[4]的光滑“cap”模型，克服第三种本构模型的不足，并引入Rubin缩比函数，考虑拉压强度差异及基于duvaut-lions类粘性应变率效应及能量理论的软化损伤效应。

国内对土体在冲击荷载作用下动力学响应研究成果较少，所用本构方程大多为第一、二种，如刘彦等[11-12]的研究。理论上光滑帽子模型能较好描述土体动态力学性能，但实际应用如对侵彻深度影响验证及不同本构模型、数值算法对侵彻深度影响尚未见报导。本文基于此进行研究。

1 光滑帽子模型

光滑帽子模型由地质帽子模型[4]发展而来。即将剪切屈服面与硬化帽子面用光滑曲线相连，克服因剪切面与硬化面相接时存在一阶不连续造成数值计算收敛困难等问题，并考虑应力张量第三不变量、应变率效应、损伤软化影响，见图1。

图1 光滑帽子模型二维示意图[10]

1.1 应力不变量

屈服面由应力张量第一不变量I1、偏应力张量第二不变量J2及第三不变量J3表示。

1.2 塑性面

屈服面函数由三个应力不变量及帽子面硬化参数表示[4,10]为

(1)

式中：Ff为剪切屈服面；Fc为硬化帽子；R为Rubin应力缩放函数；κ帽子硬化参数，即帽子面与剪切面交点对应的I1值。

1.3 剪切破坏面

低围压下材料剪切破坏[4,10]可表示为

Ff(I1)=α-λexp-βI1+θI1

(2)

式中：α，λ，β，θ为由常规三轴压缩试验结果拟合的参数。

1.4 硬化面

由于地质材料应力-应变曲线在低围压下表现出软化特征，高围压下表现出硬化特征，当材料处于由低围压至围压区域时，材料强度需结合帽子面及剪切面进行模拟。帽子模型由两分段函数表示。处于低围压状态时帽子函数为“1”；由低围压至高围压区域时帽子函数为椭圆，屈服函数完全依靠帽子面及剪切屈服面函数[4,10]，可表示为

Fc(I1,κ)=

(3)

帽子面硬化规律[4,10]表示为

D2(X(κ)-X0)2]}

(4)

1.5 Rubin缩尺函数

Q1=α1-λ1exp-β1I1+θ1I1

(5)

Q2=α2-λ2exp-β2I1+θ2I1

(6)

式中：α1,λ1,β1,θ1,α2,λ2,β2,θ2均为拟合参数。

1.6 损伤软化

光滑帽子模型中含两类损伤[14-15]，即应力张量第一应力不变量为压应力时引入延性损伤使应力折减；应力张量第一应力不变量为拉应力时引入脆性损伤使应力折减。损伤应力定义为

(7)

损伤累积受拉时用脆性损伤方程表示；受压时用延性损伤方程表示。

1.7 单元侵蚀

损伤参数d趋近于1时，单元会失去强度及刚度。为防止因刚度减小导致的计算困难，单元可据用户需要进行删除或保留。d>0.99及最大主应变超出用户设定值时，单元会被删除。

1.8 粘塑性率效应

(8)

1.9 参数确定

光滑帽子模型参数主要通过静水压力试验、常规三轴压缩试验、三轴拉伸试验、单轴应变试验、真三轴试验及SHPB试验确定。压实度为95%、含水量12.54%(最大干密度γd,max=2.02 g/cm3，最佳含水量ωopt=12.87%)西南红层泥岩粉碎土(土粒粒径小于2 mm)的光滑帽子模型参数[6,16]见表1。

表1 光滑帽子模型参数

2 动态本构模型合理性分析

为论证提出的动态本构模型能正确反映土体本身力学性能进行弹丸侵彻试验。采用数值模拟对弹丸侵彻试验重演，并分析本构模型合理性。

2.1 弹丸侵彻试验

试验在空气炮装置上进行，土体压实度为95%，含水率12.54%，外侧用钢筒约束，内径尺寸为150 mm× 1 000 mm，壁厚5 mm，物理模型制备采用分层静压法。钢质弹丸直径9.52 mm，侵彻速度v=200～300 m/s。试验试验装置包括静力及空气炮加载装置等。弹丸侵彻及开坑统计结果见表2。由表2看出，侵彻深度随侵彻速度增加而增加，无论速度大小均存在开坑现象，且开坑大小与速度相关。侵彻速度为202 m/s时其平均侵彻深度为37.06 mm、平均开坑直径19.71 mm、平均开坑深度5.00 mm；侵彻速度为310 m/s时其平均值分别为58.92 mm、41.98 mm、10.38 mm。

2.2 数值模型

图2 数值计算模型

计算模型取物理模型的1/4(无特殊说明，计算模型下同)，见图2，土体高度200 mm，半径75 mm，弹丸与约束钢筒为刚性体，土体、弹丸及约束钢筒均为Lagrange网格(土体完全损伤后自动删除)，底部为透射边界，弹丸与土体为侵蚀接触，土体与约束钢筒为面-面接触，罚因子取2.0，土体压实度95%，含水率12.54%，撞击速度分202 m/s，310 m/s两种，土体计算模型参数见表1。

表2 侵彻情况统计表

整理后弹丸侵彻速度与深度关系曲线见图3。由图3看出，撞击速度310 m/s、202m/s弹丸剩余速度25.79 m/s、40.24m/s时，其对应的侵彻深度为63.69 mm、44.74 mm；而模型试验确定的侵彻深度为58.92 mm、37.06 mm，计算结果基本合理。

图3 不同撞击速度下弹丸侵彻数值计算结果

3 不同本构模型对计算结果影响

通常采用Drucker-Prager模型、土壤与泡沫模型(Soil_and_Foam)、光滑帽子模型(Schwer_Murry_Cap_ Model)分析土壤在冲击荷载下的动力响应，其剪切屈服面采用不同拟合关系。

Drucker-Prager屈服面[17-18]为

(9)

Drucker-Prager模型的破坏曲面为圆锥体，其大小可通过α，k调整。据锥面与摩尔-库伦受拉子午线相互关系可确定α，k[17-18]为

(10)

式中：φ为摩擦角；c为粘聚力。

Soil_and_Foam屈服面[17-18]为

(11)

式中：a0，a1，a2为拟合参数；p=I1/3。

由以上分析知，光滑帽子模型考虑材料应变率效应、高围压下材料硬化及低围压下材料损伤软化、应力状态对屈服强度影响及压力导致的塑性体积应变。应变率效应导致材料抵抗变形能力增大，而因材料硬化引入的帽子面、屈服面、材料损伤软化及塑性体积应变导致材料抵抗变形能力减弱；土壤与泡沫模型及Drucker-Prager模型均为理想的弹塑性本构模型，其屈服面在π平面的形状为圆形，均考虑因剪切破坏引起的剪胀效应而未考虑应力状态对屈服面影响及应变率效应；两模型不同处在于土壤与泡沫模型考虑压力导致的塑性体积应变。因此为研究不同本构模型对侵彻过程影响，对弹丸侵彻试验进行数值模拟，弹丸侵彻速度为310 m/s时计算模型同前，计算结果见图6。由图6看出，侵彻至相同深度时光滑帽子模型消耗能量最小，土壤与泡沫模型次之，Drucker-Prager模型最大，且土壤与泡沫模型与光滑帽子模型结果较接近，说明因材料硬化引入的帽子面、屈服面、材料损伤软化及塑性体积应变导致材料抵抗变形能力减弱效应大于因应变率引起材料抵抗变形增强效应及塑性体积应变对侵彻深度影响。由于Drucker-Prager模型及土壤与泡沫模型对剪切面采用线性拟合，所致剪胀效应基本相同，但Drucker-Prager模型未考虑因压力导致的土体积减小，因此Soil_and_Foam模型较Drucker-Prager模型引起的剪胀小(因屈服准则参数不同)，故侵彻阻力亦小。Drucker-Prager模型中当侵彻速度下降至54.8 m/s时，数值迭代出现不稳定。

图4 土壤与泡沫模型剪切面拟合参数

表3 Drucker-Prage、土壤及泡沫、 光滑帽子模型剪切面参数统计表

4 不同数值算法对计算结果影响

由于土体破坏为延性破坏，与混凝土与岩石等脆性材料相比，残余强度与峰值强度相差较小，土体在冲击荷载作用下易发生大变形，破坏后土体对侵彻过程影响不可忽略。Lagrange算法中以物质坐标为基础，网格单元依附于物质网络，物质不会在单元与单元间发生流动。该方法优点为能精确描述结构边界运动，但处理大变形问题时会出现严重的网格畸变现象。为使计算进行须采用网格删除技术；Euler方法以空间坐标为基础，划分的网格及分析的物质结构相互独立，网格在整个分析过程中始终保持最初的空间位置不动，在整个数值模拟中各迭代过程计算数值精度不变；但该方法在物质边界的捕捉较困难, 用该方法时网格与网格间物质可流动；ALE兼具Lagrange方法与Euler方法特长，即在结构边界运动的处理上引进Lagrange方法特点，因此能有效跟踪物质结构边界运动；在内部网格划分上吸收Euler长处，即使内部网格单元独立于物质实体而存在，但其又不完全与Euler网格相同，网格可据定义的参数在求解过程中适当调整位置，使网格不致出现严重畸变。此有利于分析大变形问题，用此方法时网格与网格间物质也可流动；SPH 算法优点为无需网格、无单元网格畸变问题，能模拟爆炸引起的大变形，在模拟炸药爆炸物质飞溅方面更形象逼真；但SPH 算法精度不够高、界面处理不成熟，对邻粒子搜索需占用较多计算资源。

为研究不同数值算法对侵彻过程影响，对弹丸侵彻试验进行数值模拟。弹丸侵彻速度310 m/s，计算模型同上，土体分别采用SPH、ALE及Lagrange网格，土体用光滑帽子模型为本构模型，参数见表1，计算结果见图7。由图7看出，在MM_ALE算法中侵彻曲线斜率逐渐变小又逐渐增大，随侵彻速度减小，土体应变率效应逐渐减弱，说明土体抵抗变形能力变小；而当侵入到一深度时钢筒约束作用逐渐增强，此时土体抵抗变形能力开始增大；而SPH，MM-ALE算法侵彻曲线斜率逐渐变缓，说明侵彻后期侵入深度相同，所需能量减小，与事实不符，其原因为Lagrange算法采用网格删除技术，使其阻力减小；SPH算法虽未删除粒子，但其计算精度较差。而采用Lagrange算法时适当提高罚因子可有效弥补因网格删除导致的阻力减小，使侵彻深度达到合理范围，但并未改变侵彻速度、深度总体变化趋势。

图7 不同数值算法对侵彻过程影响

5 结 论

(1) 通过模型试验与数值方法对弹丸侵彻试验分析结果表明，光滑帽子模型能较好模拟在一定范围内冲击荷载作用下土体的动态力学响应。

(2) 侵彻到相同深度时光滑帽子模型消耗能量最小，土壤与泡沫模型次之，Drucker-Prager模型最大，土壤与泡沫模型与光滑帽子模型结果较接近。说明因材料硬化引入的帽子面、屈服面、材料损伤软化及塑性体积应变导致材料抵抗变形能力减弱效应大于因应变率引起材料抵抗变形增强效应及塑性体积应变对侵彻深度影响。

(3) Drucker-Prager模型及土壤与泡沫模型对剪切面用线性拟合引起的剪胀效应基本相同，但Drucker-Prager模型未考虑因压力导致土体积减小，Soil_and_ Foam模型较Drucker-Prager模型所致剪胀小(因屈服准则参数不同)，故侵彻阻力亦小。

(4) 在Drucker-Prager模型中侵彻速度下降到一定程度时，数值迭代出现不稳定。

(5) 采用MM-ALE算法，侵彻速度-侵彻深度曲线斜率基本开始逐渐变小，后又逐渐增大，而Lagrange算法及SPH算法曲线斜率逐渐变缓；SPH算法计算精度较差。

(6) 用Lagrange算法时适当提高罚因子可有效弥补因网格删除导致的阻力减小，使侵彻深度达到合理范围，但侵彻速度、深度总体变化趋势未改变。

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