分数阶微分方程非线性边值问题*

王兰芳

(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)

分数阶微分方程非线性边值问题*

王兰芳

(吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首 416000)

研究一类分数阶微分方程非线性边值问题的存在性，利用不动点定理，得到了非线性边值问题至少存在1个解的充分条件.

分数阶微分方程；非线性边值问题；不动点

近年来，分数阶导数及分数阶微分方程已在数学、物理、生物、化学、多孔介质和粘弹性材料等学科和工程领域得到了重要应用[1].作为应用的理论基础,分数阶微分方程的理论研究得到学者们的高度关注，并在分数阶微分方程初值问题、边值问题以及混沌控制与同步等方面获得不少研究成果.但是，在边值问题研究成果中，非线性边值问题的结果并不多[2].最近，文献[3]研究了一类高阶分数阶微分方程三点线性边值问题.在文献[3]的基础上，笔者研究以下高阶分数阶微分方程非线性边值问题解的存在性：

(1)

设B=C[0，1]表示全体连续函数u:[0，1]→R构成的Banach空间,其中范数‖u‖=max{u(t)|t∈[0，1]}.并作下列假设:

(H1)f:[0,1]×R→R是连续可微函数；

(H2)H:C[0,1]→R,H(0)=0,存在常数0

(H3)f(t,u)≥0,f(t,0)≠0,(t,u)∈[0，1]×[0,∞)；

(H4)对C[0，1]中的任意非负元素u,H(u)≥0.

1 预备知识

定义1[1]函数y:(0,∞)→R的α(α>0)阶分数阶积分定义为

定义2[1]函数y:(0,∞)→R的α(α>)0阶Caputo型分数阶导数定义为

其中n=[α]+1,[α]表示α的整数部分.

类似文献[3]中引理2.4,可证明如下结论：

引理3 设g∈C1[0，1],如果条件(H1)，(H2)成立，那么函数u∈C[0,1]是边值问题

引理4[3]G(s,s)≥G(t,s)≥0,(t,s)∈[0，1]×[0，1].

2 主要结果

由引理2和引理3可知u是问题(1)的解当且仅当u是T的不动点.此外，不难证明如下结论：

注1 如果(H1)—(H4)成立，那么算子T:P→P是全连续算子.

证明由假设可知，存在正常数r0,0

0≤f(t,u)≤Mu+L(t,u)∈[0,1]×[0,+∞).

(2)

(3)

h‖u‖≤(h+M/Γ(α+1))(r+L/Γ(α+1))≤r,

为陈述和证明定理2,进一步引入以下基本假设:

(H5)存在非负函数p∈L1[0，1]和单调非减函数ψ:[0,∞)→[0,∞)，并且p在[0，1]的具有正测度的子集上大于0，使得对∀(t,u)∈[0，1]×R，成立|f(t,u)|≤p(t)ψ(u|).

定理2 如果(H1)—(H4)成立，那么边值问题(1)至少存在1个解.

证明下证算子T,T1,T2满足引理5相应条件，从而存在不动点.由(H4)知，存在r>0使得

(4)

下证引理5的结论(ⅱ)不成立.假设(ⅱ)成立，则存在λ∈(0,1),u∈∂Ω使得u=λTu,得到

(5)

由(5)式及(H2)—(H4)可推出

因为x∈∂Ωr,‖x‖=r,所以r/(qψ(r))≤1/(1-h)，与(4)式矛盾，故(ⅱ)不成立.

[1] KILBAS A A,SRIVASTAVA HARI M,et al. Theory and Applications of Fractional Differential Equations[M].Amsterdam:North-Holland Math. Stud.,Elsevier Science B.V.,2006:204.

[2] ZHONG Wenyong,LIN Wei. Nonlocal and Multiple-Point Boundary Value Problems for Fractional Differential Equations[J].Comput. Math. Appl.,2010,59:1 345-1 351.

[3] ZHONG Wenyong,WANG Lanfang.Monotone and Concave Positive Solutions to Three-Point Boundary Value Problems of Higher-Order Fractional Differential Equations[J].Abstr. Appl. Anal.,2014,Volume 2014,Article ID 728491,In Press.

[4] O′REGAN D. Fixed-Point Theory for the Sum of Two Operators[J].Appl. Math. Lett.,1995,9:1-8.

(责任编辑 向阳洁)

NonlinearBoundaryValueProblemsofFractionalDifferentialEquations

WANG Lanfang

(College of Mathematics and Statistics,Jishou University,Jishou 416000,Hunan China)

The existence of nonlinear boundary value problems of fractional differential equations is studied.Using fixed-point theorems,some sufficient conditions are obtained to guarantee the existence of at least one solution of the nonlinear boundary value problems.

fractional differential equations;nonlinear boundary value problems;fixed points

1007-2985(2014)06-0007-03

2014-05-11

湖南省自然科学基金资助项目(11JJ3007)

王兰芳(1964—)，女，湖南醴陵人，吉首大学数学与统计学院副教授，主要从事教学与微分方程研究.

O175.8

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.06.002